книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

2. Модель конструкции ИМС представляет собой модель топо­ логического решения, которую в общем случае можно записать

на других уровнях объединенной модели в качестве исходной информации для построения функций ограничений, критериальных функций, исходных параметров.

Следует отметить, что задачи моделирования конструкторского этапа автоматизированного проектирования микроэлектронной аппаратуры решены на достаточно хорошем теоретическом и прак­ тическом уровне [23, 58]. Поэтому задачи топологического моде­ лирования ИМС подробно рассматривать не будем.

Как следует из рис. 2.3, блоки переработки информации свя­ заны между собой прямыми и обратными параметрическими свя­ зями, которые указывают на направление информационного взаи­ модействия между соответствующими блоками.

3. Модель физических полей в общем случае представляет собой иерархическую совокупность математических моделей элек­ тромагнитного и теплоэлектрического полей, имеющих место в конструкции ИМС. Формально модель физических полей можно записать в виде

где Я 2) — функция модели физического поля представлена в об­ щем случае дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Для формирования входной информации и граничных условий используют характеристики топологического решения конструкции Лгк= (хк„ . . . , *кт ), полученные на преды­

дущем этапе моделирования. Поскольку наличие теплоэлектриче­ ского поля характерно для большинства конструкций ИМС, то основное внимание уделим моделированию тепловых полей.

Результаты анализа модели теплоэлектрического поля конструк­ ции Хп= ( х п1, хП2, . - ‘ ,Хги) рекуррентно используют для уточне­ ния топологической модели конструктивного решения микросхемы, а также в качестве исходной информации для моделирования эле­ ментов схемы.

На данном этапе моделирования осуществляются формализа­ ция и решение задачи принятия оптимального конструктивного решения по критерию теплоэлектрической совместимости.

4. Модель технологического процесса производства ИМС со­ стоит из математических моделей основных технологических опе­ раций получения полупроводниковой биполярной структуры (эпи­ таксии, диффузии, фотолитографии) и технологической операции получения резистивных и проводящих пленок (декомпозированная

модель ионно-плазменного распыления) для гибридных интеграль­ ных микросборок. В общем случае эта модель описывается как

(2.П )

где 7W — множество выходных параметров модели технологиче­ ских процессов (толщина эпитаксиального и диффузионных слоев, сопротивления квадрата пленки TKR пленочного резистора и т. п.); функцию модели Л4> определим далее.

При разработке математических моделей технологического про­ цесса целесообразно предварительно осуществить его декомпози­ цию на локальные подпроцессы (операции), чтобы уменьшить сложность модели, а потом разработать математическое описание для каждого из элементов процесса. Важность этого этапа за­ ключается еще и в том, что параметры технологического процесса производства во многих случаях определяют конструктивные и функциональные характеристики элементов, компонентов и мик­ росхемы в целом и, в конечном итоге, — реальный выход годных.

5. Модель элементов ИМС состоит из блоков математических моделей активных и пассивных элементов. В общем случае основ­ ной блок моделирования состоит из физико-топологических и элек­ трических моделей элементов.

Формально блок моделирования элементов ИМС описывается

топологической модели (описывается дифференциальными уравне­ ниями); — функция электрической модели элементов (описы­ вается алгебраическими уравнениями); У<3> — вектор выходных параметров модели элементов, представляющий собой семейство основных численных характеристик активных и пассивных элемен­ тов и являющийся исходной информацией для решения задачи моделирования и анализа электронной схемы.

Фактически основная функциональная направленность объеди­ ненной модели ориентирована на определение электрических, фи­ зических и других параметров активных и пассивных элементов на основании модели конструкции, физического поля и технологи­ ческого процесса. Это объясняется тем, что качество проектирова­ ния и производства ИМС определяется требуемыми значениями параметров элементов (согласно ТУ), т. е. нормальным функцио­ нированием схемы. Поэтому все рассмотренные уровни модели­ рования информативно обеспечивают уровень физико-топологиче­ ского и электрического моделирования для определения функцио­ нальных параметров элементов микросхемы как основных коли­ чественных показателей качества проектирования и производства.

Такой подход к созданию объединенной модели имеет то важ­ ное преимущество, что создается модель, отражающая и связы-

52

вагощая, с одной стороны, физические процессы и явления, объек­ тивно присущие проектируемому изделию, а с другой — харак­ теристики изделия в процессе его производства, которые в своей совокупности обеспечивают технологичность оптимальной конструк­ ции для конкретного технологического процесса. Данную модель можно эффективно использовать как на этапе проектирования, так и на этапе производства, что очень важно, учитывая современные требования к качеству микроэлектронных изделий.

6. Информационный массив выходных параметров У = {У (И , У(2>, У<3>, У(4)} представляет собой совокупность числовых характеристик результатов моделирования. Эти характеристики можно использо­ вать в виде вектора автономных оценок конструктивного и техноло­ гического этапов проектирования изделия, а также в качестве вход­ ного массива для решения требуемых задач на последующем уров­ не моделирования и принятия оптимальных конструктивно-техно­ логических решений.

Таким образом, используя принцип декомпозиции для исход­ ной модели, можно получить объединенную модель элементов ИМС, которая состоит из взаимодействующих локальных элемен­ тов, отражающих сложную многоэлементную структуру объекта проектирования и процесса производства.

Процесс декомпозиции целесообразно применить и к некоторым составляющим ОФТМ (модель технологического процесса, модель элементов), декомпозируя их на более простые составляющие. Однако его целесообразно заканчивать на определенной стадии, поскольку с увеличением уровня декомпозиции сложность каж­ дого элемента уменьшается не столь интенсивно, что приводит

кувеличению сложности декомпозированной модели.

Сточки зрения структурных категорий математические блоки объединенной физико-технологической модели характеризуются

нелинейностью, стохастичностыо и стационарностью.

2.3. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СТРУКТУРНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ОФТМ ЭЛЕМЕНТОВ ИМС

Проблема идентификации наряду с проблемой принятия оптимальных решений является одной из основных в теории и практике обеспечения функциональной и технологической воспро­ изводимости ИМС.

В общем случае объединенная модель (рис. 2.2) имеет вход­ ные и выходные информационные массивы. Для случая декомпо­ зированной модели (рис. 2.3) названные массивы включают в себя подмножества входных и выходных параметров, которые численно характеризуют локальные модели на соответствующих иерархиче­ ских уровнях. Обозначим совокупность входных параметров через множество X, совокупность выходных параметров через множе­ ство У:

53

а2, . . . , аА} — вектор идентифицируемых параметров модели; У=

---{уи . . . , ут} — множество выходных параметров модели. Разбиение входных параметров на подмножества позволяет

Под идентификацией параметров модели понимаем определение из заданного класса функций {F} оптимальной в каком-то смысле оценки F * истинной функции модели F, т. е. построение такой функ­ ции модели F , которая была бы в определенном смысле близка к функции объекта F 0:

Во многих случаях функции F и F0 могут иметь разную струк­ туру и различное число входных параметров, поэтому близость функций непосредственно оценить трудно. В этой связи для ре­ шения задачи идентификации необходимо ввести некоторую меру близости объекта и модели, или критерий их адекватности. Для этой цели в общем случае используют так называемые байесовые критерии минимума среднего риска. Частным случаем этих критериев является функция невязки р. Эта скалярная функция двух векторных аргументов — выходных параметров объекта про­ ектирования и модели

54

Удовлетворить этим требованиям не сложно. Опишем формаль­ ную сторону задачи идентификации, заключающейся в построении такой функции модели F, которая бы реагировала на возмущения

входных параметров X, аналогично реакции объекта У. Реакция

функции модели на вход X имеет вид YM= F ( X ) . Следовательно, модельная функция F должна быть такой, чтобы Ум~ У, т. е. не­ обходимо, чтобы выходные параметры модели объекта (процесса) при одинаковых входных параметрах X были эквивалентны. Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем ин­ тервале наблюдений.

Такой мерой для статического дискретного объекта (как ука­ зывалось ранее) является функционал невязки вида

где RF — множество (класс) функций F, на котором осуществля­ ется решение задачи (2.18).

т.e. значение невязки Q* на этой функции минимальное.

В(2.18) задача идентификации сформулирована в самом

общем виде, когда идентифицируются и структура и параметры модели. В настоящей работе большее внимание уделяется задаче параметрической идентификации, поэтому считаем, что структура модели известна, т. е. задача структурной идентификации решена. Для этой цели функцию F можно представить в виде (2.14)

F (X )= f{X , А),

где /(•) — заданная функция; А = (ait. . . , ал) — вектор неизвест­ ных параметров модели. В этом случае задача параметрической идентификации модели формулируется как задача минимизации функции невязки:

A e R A

55

решением которой является вектор Л *= (а[ , . . . , а * ) неизвестных

параметров; RA — область поиска решения.

Так как структура модели известна, то число идентифицируе­ мых параметров k определено заранее. Во многих случаях неко­ торые структурные параметры модели можно включить в задачу идентификации параметров, что упрощает процесс поиска прием­ лемого решения [64]. Такими структурными параметрами могут быть, например, общее число параметров модели, число иденти­ фицируемых параметров и т. д. В общем случае эти параметры можно обозначить вектором

5 = (si, s 2,

Это означает, что структура модели закодирована I величинами

Теперь функция модели определяется двумя типами парамет­ ров: структурными 5 и параметрами объекта (процесса) А.

Задача идентификации при этом в общем случае сводится к ре­ шению задачи минимизации функции k-\-l переменных:

а ш а

SeRs

где Rs — область поиска (определения) структурных параметров. Сведение общей задачи идентификации (2.18) к параметриче­ ской (2.20) и (2.22) позволяет представить этот класс задач как задачу математического программирования, т. е. минимизацию функции многих переменных, принадлежащих заданному множе­ ству поиска решений. Поэтому в дальнейшем задачи параметри­ ческой идентификации формулируются в терминах задач матема­

тического программирования.

Конкретная формализация задачи параметрической идентифи­ кации определяется типом модели (функцией модели) объекта проектирования или процесса производства. В общем случае мо­ дели рассматриваемых объектов и процесса являются нелинейны­ ми. Правда, в некоторых случаях нелинейные функции модели F можно линеаризировать без значительных потерь в точности моде­ лирования. Поэтому сформулируем задачу параметрической иден­ тификации модели для линейной и нелинейной функции модели F и укажем возможные пути ее решения.

Идентификация параметров линейной модели. Модель линей­ ного объекта (процесса) с п входными и т выходными парамет­ рами имеет единственно возможную структуру и описывается си­ стемой линейных алгебраических уравнений

56

Идентификации в данном случае подлежат вектор Л0 и мат­ рица А.

Задача идентификации (оценка неизвестного параметра моде­ ли а£) осуществляется таким образом, чтобы оценка а I минимизи­ ровала критерий Q(A), записанный в виде функционала невязки выходных параметров модели и объекта:

Как видно, (2.28) является системой линейных алгебраических уравнений относительно идентифицируемых параметров а0, щ, которая решается одним из стандартных способов. Такой подход к решению задачи параметрической идентификации целесообразно применять для «почти линейных» объектов и процессов.

Идентификация параметров нелинейной модели. Поведение мо­ делируемого объекта пли процесса такого рода в общем случае описывается многомерной функцией (или многомерным вектором)

Y = F ( X ) .

Априорные сведения о характере функционирования объекта и поведении процесса, а также о виде функции F могут быть раз­ личными по объему и содержанию. В зависимости от объема ин­ формации можно предложить различные процедуры конкретиза­ ции вида функции F (параметрической идентификации). В этом случае целесообразно рассмотреть два подхода, которые основы­

57

ваются на функциональном представлении зависимости выходных параметров. Рассмотрим эти подходы в отдельности.

с точностью до вектора параметров А на основе априорных све­ дений об объекте идентификации. В частном случае функцию F можно задать в аналитической форме.

Как только вид функции F ( - ) задан, задача идентификации сводится к определению параметров А на основе ряда экспери­ ментальных оценок входных и выходных параметров. Для этого достаточно потребовать, чтобы в каждом из зафиксированных со­ стояний модель соответствовала объекту [18], т. е.

где N ^ k .

Выражение (2.29) в общем случае является системой транс­ цендентных уравнений относительно неизвестных параметров А. Решение такой системы сводится к задаче минимизации невязок. Для этого необходимо определить критериальную функцию на основе локальных значений невязок:

ql ~ \ F [ X llA ) - Y l \ ( ; = ! , . . . ,Л0.

В этом случае задачу параметрической идентификации можно

В выражении (2.30) значение Q (Л) характеризует степень несоответствия модели и объекта и зависит от параметров моде­ ли. В идеальном случае модель может быть адекватной объекту (процессу), т. е. минимум <2(Л) равен нулю.

Если структура модели F выбрана в классе дифференцируемых функций, то задача (2.30) решается системой из k уравнений с неизвестными:

где квадратными скобками обозначено скалярное произведение векторов. Решение системы трансцендентных уравнений довольно затруднено, поэтому в большинстве случаев для решения задачи (2.30) целесообразно использовать поисковые методы минимиза­

58

ции, которые описаны в параграфе 1.5. Для этого строят рекур­ рентный процесс Ap+i=Ap-{-AAv, где Д/4Р — его шаг, определяе­ мый алгоритмом поиска.

При правильном выборе метода решения этот процесс поиска

функции невязки значительно повышает эффективность решения задачи идентификации.

П а р а м е т р и ч е с к а я и д е н т и ф и к а ц и я модели, ли­ н е й н о й о т н о с и т е л ь н о о ц е н и в а е м ы х п а р а м е т р о в . Модели такого рода являются частным случаем функциональных моделей и образуются в результате разложения искомой по задан­ ной системе функции

где срj(x) — заданная система векторных функций, определяемая на стадии структурной идентификации:

Производные этой функции линейны относительно идентифи­

где квадратными скобками обозначено скалярное произведение. Приравнивая нулю эти производные, получаем систему линей­

решение которой дает значения идентифицируемых параметров.

59

В этом случае система (2.36) распадается на I уравнений с од­ ним неизвестным, решая которые получаем

Довольно простое решение получается в процессе решения задачи параметрической идентификации, когда функция ^модели является одномерной, т. е. (Ф (^ )} = ф ;(*)- Тогда выходной пара­ метр запишется как

ций. Эта система должна быть линейно независимой, т. е. никакая линейная комбинация ее элементов не равняется нулю при любых значениях х.

Для решения требуемой задачи минимизируемый функционал

Систему уравнений (2.40) относительно идентифицируемых па­ раметров можно решить довольно легко одним из стандартных способов (Гаусса—Зейделя, Крамера и т. д.).

И д е н т и ф и к а ц и я п а р а м е т р о в с т а т и ч е с к и х с т о ­ х а с т и ч е с к и х м о д е л е й . Как известно (2.1) статические сто­ хастические объекты или процессы (в некоторый фиксированный момент времени) можно представить в виде функций

Для упрощения формализации задачи целесообразно предпо­ ложить, что регулярная и случайная составляющие выходного па-

60