книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

В этом случае для формирования вектора весовых коэффициентов делается попытка использовать существующую информацию, и разработчик имеет возможность по предпочтению определять сте­ пень изменения частных критериев для поиска требуемого ре­ шения.

Минимальное значение критериальной функции (3.129) также можно представить в виде идеального или требуемого значения для частных критериев оптимальности (согласно условиям ТЗ).

3.4.4.Метод определения

«точки динамического равновесия»

В параграфе 3.3.3 сформулирована задача назначения допусков как поиск «точки динамического равновесия». Опишем метод определения «точки динамического равновесия» путем ре­ шения поставленной задачи в частных производных

В результате дифференцирования (3.133) получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для k -й выходной харак­ теристики при условии, что о* является постоянной величиной:

Анализируя систему уравнений (3.134), видно, что ее левая часть представлена в линейной форме. Поэтому приведем метод, позволяющий систему линейных уравнений (3.134) привести к по­

В общем случае выражение (3.136) характеризует уровень техно­ логического процесса производства ИМС и их элементов. Совокуп-

111

ность выражений (3.136) представим в виде диагональной мат­

Тогда выражение для правой части уравнения (3.135) запишем

Покажем, что в е-окрестиости данную задачу можно свести к ли­ нейной относительно ошибок вычисления корней системы (3.140) и сформулируем рекуррентный итерационный алгоритм решения задачи.

Пусть Xi t-й корень системы (3.139), а AXik — ошибка вычис­ ления данного корня на /г-й итерации. Тогда соответствующий эле­ мент вектора В {Xu) равен

где В(Хо) — вектор-столбец корней системы; В(АХк, Хо) — век­ тор-столбец ошибок корней системы.

В результате решения системы (3.139) получаем

1 1 2

где AXu+t — вектор ошибок корней системы на (А+1)-м итера­ ционном шаге.

Используя тождество (3.140) с последующей подстановкой со­ ответствующих значений, имеем

Х к+1 — A ~l F •В (Л*) * (Х0 + ДХ*+0 - A "1F [B (Х0) +

а для элемента вектора ДЛ'Л+1 можно записать частное значение

Обозначим максимальную ошибку |ei|max=e и Ртлх=Ро, тогда

Известно, что необходимое условие сходимости итеративного про­

Пусть на каждой итерации значения корней системы вычисляются

Тогда на основании выражения (3.147) и с учетом выражения (3.151) можно записать

ДХ*+, = АХк + [А -1 - F •В (дХ*. Х0) - ДХА]/Я0. (3.155)

Тем самым выполняется достаточное условие сходимости (3.159). Для увеличения скорости сходимости решения задачи, а также во избежание «раскачивания» введем величину которую назо­

вем весом шага по i-й переменной. Тогда

где ||е|| — норма вектора е.

Вместе с тем данный весовой коэффициент молено приближенно выразить непосредственно через переменные на соответствующих итерационных шагах:

(3-,57)

где Xh+i = А~1•F •В (Xh) .

Таким образом, рекуррентное выражение для вычисления пе­ ременной на (Л+1)-й итерации окончательно примет вид

ческих уравнений молено трактовать как модифицированный ме­ тод Ньютона, поскольку для определения корней системы исполь­ зованы идеи этого метода.

Рассмотрим пример практической реализации разработанных моделей и методов расчета допусков на параметры элементов ИМС.

Требуется назначить допуски на параметры пассивных эле­ ментов (резисторов и конденсаторов) гибридной интегральной мик­ росборки (МСБ), используя разные типы критериальных функций и соответствующие методы принятия оптимальных решений. Прин­ ципиальная электрическая схема МСБ изображена на рис. 3.8. Формализацию задачи назначения допусков проводим в соответ­ ствии с этапами, описанными в параграфе 3.1.

1. Решение задачи (3.65). В качестве линейной критериальной

функции Q(8x) возьмем выражение (3.61); функции ограничения для линейного случая представлены зависимостями (3.59) и (3.62), которые формируют область поиска решения (3.64). Для поиска оптимального решения используем стандартный метод ли­ нейного программирования.

2. Решение задач (3.67) и (3.73). В качестве нелинейных кри­ териев оптимальности используем два типа функций: Q2(8x) — выражение (З.ДО) и <2з(бх) — выражение (3.70). Критерий опти­ мальности Q2(6x) — типичный для такого класса задач; критерий

оптимальности Q3(бд:) — оригинальный. Поэтому сравнение полу­ ченных результатов с использованием этих критериев будет по­ лезной оценкой для их дальнейшего практического использования.

1 1 4

Область поиска оптимального решения (3.69) определяется сово­ купностью функций ограничений (3.27), (3.29) и (3.68). Следует отметить, что функция ограничения (3.27) учитывает коэффициен­ ты парных корреляций между параметрами элементов. Значения коэффициентов парных корреляций этих параметров сведены в табл. 3.1. Для анализа электронной схемы и расчета коэффициен­ тов чувствительности использовали быстродействующую програм­ му анализа линейных электронных схем — „MICRO”. Поиск опти­ мального решения сформулированных задач осуществлялся про-

Рис. 3.8. Принципиальная электрическая схема синусоидального усилителя.

граммно реализованным модифицированным методом Розенброка. Для сравнения и анализа влияния корреляционных связей на зна­ чение допусков расчет производили с учетом (гу=уЧ)) и без учета ( г ц = 0) значений коэффициентов корреляции.

3.Решение задачи (3.79). В качестве критериальной функции

Qi(x, бх) используем объединенный критерий оптимальности (3.75) . Оптимизируемыми величинами в этом случае являются до­ пуски на параметры и значения самих параметров элементов МСБ. Область поиска оптимального решения (3.69) несколько мо­

Определение функций чувствительности и анализ электронной схемы производят с помощью программы „MICRO”. Поиск опти­ мального решения также осуществляли модифицированным мето­ дом Розенброка.

Результаты решения всех сформулированных задач для 21-го параметра МСБ приведены в табл. 3.2.

Анализ результатов показывает, что наиболее жесткие допус­ ки получены при использовании критерия оптимальности Q i(6x).

116

Это объясняется двумя причинами: неточностью аппроксимации зависимости относительной стоимости ИМС от допусков (см. рис. 3.4); неучет корреляционных связей между параметрами эле­ ментов. Наиболее качественные результаты получены с примене­ нием критерия оптимальности Qk(x, бх). Это объясняется тем, что минимизация функций чувствительности выходных параметров’схе­ мы к входным позволила расширить наиболее жесткие допуски.

Поэтому решением задачи назначения допусков на параметры пассивных элементов гибридной интегральной МСБ являются зна­ чения допусков, ^полученные при использовании критерия опти­ мальности Qi(x, Ьх) (последний столбец табл. 3.2).

Г Л А В А 4

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ ИМС ПО КРИТЕРИЮ ТЕПЛОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СОВМЕСТИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ

4.1.ПОСТРОЕНИЕ ТЕПЛОВОЙ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МАКРОМОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ ИМС

В процессе обеспечения функциональной и конструктив­ но-технологической воспроизводимости ИМС возникает необходи­ мость в решении ряда задач теплофизического проектирования, являющегося составной частью САПР МЭА. В общем случае под теплофизическим проектированием МЭА в условиях САПР пони­ маем совокупность схемотехнических и конструктивно-технологи­ ческих методов и средств, основанных на физическом и физико-ма­ тематическом моделировании конструкции, направленных на обес­ печение заданного теплового режима изделия.

При теплофизическом проектировании решаются две основные взаимосвязанные задачи:

а) моделирование и анализ теплового поля конструкции ИМС — анализ конструктивного решения;

б) обеспечение теплоэлектрической совместимости параметров элементов и компонентов ИМС — синтез конструктивного решения изделия.

Анализ теплового поля заключается в определении температур­ ных режимов (температурного поля) элементов ИМС. Составные части такой задачи: построение тепловой модели конструкции; раз­ работка физико-математической модели теплового поля и алгорит­ мической модели. Производить анализ можно различными способа­ ми: аналитическими, численными, физическим моделированием и т. д. Задача обеспечения теплоэлектрической совместимости параметров элементов и компонентов ИМС состоит в отработке необходимого конструктивного варианта, реализующего заданное температурное поле, т. е. локальные значения температур должны находиться в пределах рабочего температурного диапазона пара­ метров элементов и компонентов.

Для автоматизации решения основных задач теплофизического проектирования необходимо разработать базовые тепловую и фи­ зико-математическую модели конструкции микросхемы.

Анализ работ в области автоматизации теплофизического про­ ектирования ИМС и микросборок показывает, что к процессу мо­

118

делирования тепловых полей предъявляется ряд общих требова­ ний, характерных для целого класса микросхем и их конструктив­ ных решений.

1. При построении тепловой модели конструкции ИМС сле­ дует осуществить геометрическую аппроксимацию как тепловых источников, так и микросхемы в целом. При этом следует учиты­ вать, что источники теплового поля могут находиться на поверх­ ности подложки (характерно для гибридных интегральных схем

имикросборок), в объеме интегральной структуры (характерно для полупроводниковых ИМС), а также комбинацию их место­ положения (характерно для гибридных интегральных микросборок

инекоторого класса полупроводниковых микросхем). Для гибрид­ ных интегральных микросборок характерным является применение многоуровневых и многослойных источников теплового поля (на­ пример, расположение бескорпусных микросхем на поверхности подложки микросборки).

2.При разработке физико-математической модели теплового поля конструкции ИМС в первую очередь следует учитывать ха­ рактер процесса теплообмена; стационарный и нестационарные ре­ жимы; линейную и нелинейную зависимость теплофизических па­ раметров от температурного поля и координат; однородность и не­ однородность материала структуры. В этом случае надо обращать внимание иа корректность математического описания соответствую­ щих начальных и граничных условий сопряжения слоев, необхо­ димых для решения задачи анализа.

3.Алгоритмическая (расчетная) модель теплового поля конст­ рукции должна обладать определенной степенью адекватности ре­ альному процессу, обеспечивать необходимую точность получаемой информации, быть гибкой (до некоторой степени инвариантной количественным и качественным изменениям параметров модели­ руемой микросхемы) и конструктивной, т. е. позволять принимать решения о наилучших вариантах конструкции, схемы функциони­ рования, значениях параметров элементов и компонентов и т. д.

Естественно, что учет всех этих требований при построении частных тепловых конструкций и физико-математических моделей теплового поля является довольно сложным и потому во многих случаях при построении моделей используют совокупность началь­ ных допущений для упрощения процесса моделирования и ана­ лиза. Однако при автоматизированном решении задач моделиро­ вания и анализа тепловых полей целесообразно использовать бо­ лее точные модели, которые по возможности учитывали бы всю совокупность приведенных требований, либо разрабатывать базо­ вые модели для определенного класса микросхем и их конструк­ тивного исполнения. В последнем случае класс микросхем харак­ теризуется общностью конструктивного исполнения, характером источников теплового поля, условиями процесса теплообмена. Та­ кую базовую модель представим как тепловую физико-математи­ ческую макромодель конструкции ИМС и микросборок. Следова­

тельно, под тепловой физико-математической макромоделью конст-

1 1 9

рукции ИМС понимаем математическое описание процесса тепло­ обмена в конструкции ИМС, тепловая модель которой аппрокси­ мирована композицией многоуровневых и многослойных паралле­ лепипедов. Предложенная макромодель структурно состоит из теп­ ловой макромодели и ее математического описания.

Поскольку конструкции анализируемого класса микросхем ха­ рактеризуются прямоугольными многослойными структурами, то их тепловую макромодель целесообразно представить, так как это показано на рис. 4.1.

источники теплобого

Рис. 4.1. Тепловая макромодель конструкции ИМС.

При построении тепловой макромодели (рис. 4.1) были сделаны следующие допущения.

1. Все слои интегральной структуры и источников теплового поля находятся в идеальном контакте друг с другом, т. е. тепло­ вые контактные сопротивления равны нулю.

2. Каждый слой указанных тел является термически одно­ родным.

3. Теплообмен осуществляется посредством поперечной тепло­ проводности через структуры источников тепла и подложку мик­ росхемы, а также путем тепломассообмена с верхней грани под­ ложки.

Физические процессы теплообмена, происходящие в тепловой макромодели, математически описываются полным неоднородным

с соответствующими краевыми, начальными условиями и условия­ ми сопряженности слоев:

120