книги / Теория упрочняющегося пластического тела

В пластической области напряженное состояние соот­ ветствует точкам поверхности нагружения

В жесткой зоне напряжения остаются неопределенными, но должно существовать, хотя и неоднозначное, продол­ жение распределения нагружений в жесткую зону, кото­ рое удовлетворяет уравнениям равновесия (2.149) и не­ равенствам

перемещений непрерывны. Предположим обратное, то-есть пусть на некоторой поверхности, движущейся в упрочня­ ющейся жестко-пластической среде, претерпевают раз­ рыв скорости перемещений. Так же, как и в упруго-пла­ стическом теле, под поверхностью разрыва скоростей перемещений будем понимать предел тонкого слоя, в кото­ ром скорости перемещений претерпевают быстрое, но не­ прерывное изменение.

Рассмотрим свойства решения краевой задачи, сформу­ лированной для слоя толщиной h в § 2 , для жестко-пла­

где

djV

В специальной системе координат, выбранной в § 2, равенства (2.149), (2.153) и (2.154) можно записать в виде:

Рассмотрим теперь свойства решений уравнений (2.155) — (2.157) в слое толщиной h при h, стремящемся к нулю.

Величины нормальных производных dGij/dn, dvt/dn при этом неограниченно возрастают. Скорости пласти­ ческих деформаций также неограниченно растут, а, сле­

довательно, |ы2 , неограниченно растут, в то время как ве­ личины cr^a, Ft, vii0L, SGij/dt при стремлении h к нулю оста­ ются ограниченными, и слагаемыми, содержащими эти величины в уравнениях (2.155) — (2.157), можно пренеб­

Сворачивая соотношения (2.159) с тензоров 6 *;, для пла­ стически несжимаемых тел получим

Умножая (2.159) на vj и суммируя по повторяющимся индексам, вычислим величины нормальных производных скоростей перемещений

Исключая величины dvi/dn из уравнений (2.159), (2.161), получим, что внутри слоя должны иметь место соотношения

(2.165) в устойчивых упрочняющихся жестко-пластиче­ ских телах будет отрицательно определенной и левая часть равенства (2.165) может обращаться в нуль только при

Переходя к пределу при h, стремящемся к нулю, по­ лучим

Vi = V i .

Из соотношения (2.148) в подвижной системе коорди­ нат получим

- ‘■5- +^ -- зле*. <2-1в7>

О)

Перейдем к пределу при А, стремящемся к нулю. Учи­ тывая, что подынтегральное выражение в правой части равенства (2.168) остается ограниченным при любом, сколь угодно малом h получим при с =f= 0 , что

4j — ^П •

Аналогично при с =f= 0 из (2.151) будет следовать, что

Если поверхность разрыва стационарна (с == 0), то будем предполагать, что на этой поверхности скорости перемещений непрерывны. В противном случае, на этой поверхности будут претерпевать разрыв и перемещения, что приведет к трещинообразованию или изменению структуры материала и выходит за рамки рассматривае­ мых здесь вопросов.

Геометрические условия совместности для непрерыв­ ных функций скоростей перемещений vt запишем в виде:

lvu ] = liVj,

откуда для скачков скоростей деформаций получим вы­ ражения

Ограничимся рассмотрением тел, в которых до нагру­

жения пластические деформации ^ и параметры Xi непрерывны. Если в процессе нагружения в таких телах

возникают скачки величин и Xi на некоторой стацио­ нарной поверхности, то на этой поверхности в некоторый момент времени должны возникнуть скачки скоростей пла­ стических деформаций. Таким образом, вопрос о сущест­ вовании стационарных поверхностей разрыва деформаций сводится к вопросу о существовании стационарных по­ верхностей разрыва скоростей деформаций.

Пусть на некоторой стационарной поверхности в жест­ ко-пластическом теле претерпевают разрыв скорости де­ формаций, но в начальный момент (t = 0 ) пластические деформации и параметры Xi непрерывны.

Если на этой поверхности претерпевают разрыв напря­ жения, то скачки напряжений должны удовлетворять соот­ ношениям (2.8). Из соотношений (2.8) и (2.169) следует, что

(2.171) неотрицательные и обращаются в нуль только при

условиях, что или [сг*Д = 0 , или е£/ = eff = 0 .

Таким образом, на стационарных поверхностях раз­ рыва скоростей деформаций в жестко-пластических телах с выпуклой поверхностью нагружения в начальный мо­ мент времени напряжения непрерывны.

Детальный анализ тел с кусочно линейными поверх­

о непрерывности напряжений на поверхностях разрыва скоростей деформаций и для тел с кусочно линейными по­ верхностями нагружения. Тогда из соотношений ассоци­ ированного закона течения (2.148) для скачков скоростей

пластических деформаций получим

Приравнивая в соотношениях (2.169) индексы i и /, после суммирования по повторяющимся индексам для пластически несжимаемых сред определим, что ^7iv^ = 0 .

Умножая (2.169) на у/, после свертки получим

верхности разрыва скачки пластических деформаций свя­ заны соотношениями

Дифференцируя (2.8) по времени, получим, что на ста­ ционарной поверхности разрыва [<3l7-]v^ = 0 , и уравнение

скоростей перемещений следует, что на поверхности G име­ ют место равенства (2.169) — (2.171), и если поверхность нагружения выпуклая, то и па нестационарных поверх­ ностях разрыва скорости деформаций обращаются в нуль.

По мере перемещения поверхности G пластические деформации и параметры на ней изменяются, но эти изменения происходят только за счет неоднородности

распределения и по точкам, в которые попадает со временем поверхность G, и поэтому эти изменения одина­ ковы с обеих сторон от поверхности разрыва. Поэтому поверхность нагружения по обе стороны от G во время всего движения одна и та же.

Скорости пластических деформаций из ассоциирован­

На поверхности разрыва напряжений е?,- = 0, а, следо­

It = 0 , и, следовательно, на поверхности разрыва напря­ жений все производные скорости перемещений непрерывны.

Дифференцируя соотношения (2.180) по нормали к по­ верхности G, получаем

(2.182)

Так как на G величина ц» = 0 с обеих сторон от по­ верхности разрыва, то из соотношений (2.182) найдем

(2.183)

Геометрические условия совместности для скачков вторых производных скоростей перемещений можно пред-

сторон от поверхности разрыва, то с обеих сторон обра­

на поверхности G непрерывны и вторые производные ско­ ростей перемещений. Тогда соотношения (2.180) продиф­ ференцируем два раза по направлению нормали

Из геометрических условий совместности для скачков третьих производных величин у£, если сами vt и их первые и вторые производные непрерывны, найдем:

Если же и d1\iu/dn2= 0 с обеих сторон от поверхности, то соотношения (2.180) будем дифференцировать три раза й после применения геометрических условий совместности