книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdf§8. Об ограниченности приложений деформационных теорий к описанию пластического течения
Воснове теории пластичности лежат представления о поверхности нагружения, ассоциированном законе тече ния и т. д. Исходные соотношения теории пластичности в общем случае устанавливают связь между тензорами ско ростей деформаций и напряжений (1.45), (1.58). Поэтому следует рассмотреть условия, при которых соотношения деформационной теории не противоречат основным пред ставлениям теории пластичности. Другими словами, надо определить, в каких случаях общие соотношения теории пластичности переходят в соотношения деформационной теории.
Предположим, что поверхность нагружения является
гладкой в окрестности данного напряженного состояния.
Рис. 24.
Покажем, что представления о гладкой поверхности на гружения несовместимы в общем случае с соотношениями деформационной теории. Рассмотрим приращение пла стических деформаций. Из (4.103) следует
(4.109)
Величины d(pij/dohh зависят только от компонента^-, поэ
тому приращение пластической деформации defj при дан ном напряженном состоянии полностью определяется приращениями компонент напряжений dOij. В зависимо
сти от вектора приращений datj вектор defj принимает различные значения (рис. 24, а). В то же время, согласно
ассоциированному закону течения, вектор defj имеет одно
и то же направление, ортогональное к поверхности нагру жения и не зависящее от направления вектора йоц (рис. 24, б). От направления вектора daи зависит лишь вели
чина defp в частности defj = 0, если вектор datj направ лен вдоль поверхности нагружения.
Из соотношений (4.109), наоборот, следует, что так как при нагружении вдоль поверхности нагружения datj ф 0, то defy =f= 0. Следовательно, деформационные соотношения (4.103) не допускают выполнения условий нейтрального нагружения: согласно деформационным теориям при нагружении вдоль поверхности нагружения происходит приращение пластических деформаций, тогда как при движении вдоль поверхности нагружения, оста ваясь внутри упругой области, приращения пластических деформаций равны нулю. Этот парадокс отсутствия не прерывности приращения пластических деформаций при нагружении вдоль поверхности нагружения и составляет основу утверждения о неприменимости деформационных теорий.
Соотношения деформационной теории в случае гладких поверхностей нагружения могут иметь место при специ альном нагружении, при котором вектор приращения
деформаций de^ ортогонален к поверхности нагружения. Сравним соотношения (4.109) с одной стороны и (1.45) с другой. Получим
пР |
дуij |
Ohк |
dahlt |
(4.110) |
li ~ |
°hlc |
|||
|
|
clt |
|
Рассматривая (4.110) как систему алгебраических урав
нений относительно ahh, получим |
|
|
Д |
’ |
(4.111) |
|
||
где Д — определитель системы, |
Дhh — определитель, по |
лученный из Д путем замены элементов dtpijldahh строки на строку из элементов d//dori7-.
Таким образом, изменение напряжений должно опре деляться соотношениями (4.111). Должна существовать система функций ф(о/1 h) такая, чтобы при данном / инекотором определенном нагружении имело место (4.111).
Предположим, что исходное напряженное состояние соответствует особенности кусочно гладкой поверхности нагружения (ребру, угловой или конической точке и т. п.) Очевидно, что и в этом случае нейтральное нагружение приводит к противоречию с выводами деформационной теории. Однако в общем случае зависимость приращений
defy = dotj имеет менее стесненный характер, чем для
гладкой поверхности нагружения: вектор de\j может иметь различное направление, ограниченное нормалями в данной точке Оц, к гладким кускам поверхности нагру жения, пересечение которых и образует данную особен ность.
§ 9. Деформационные теории при гладких поверхностях нагружения
1. Пусть имеют место соотношения теории пластичности
|
/ {бЦу eiji %U ^i) = |
0» |
(1.9) |
||||
|
|
defj = |
dX |
|
. |
|
(1.32) |
Рассмотрим инварианты |
|
|
|
|
|||
ou = (22г)'А = (ацОц)'1-, |
еи = |
(2Etf* = (е^ )'Х |
(4.112) |
||||
Тензоры |
|
|
|
|
|
|
|
- |
_ |
д |
> |
д |
|
ег0 |
(4.113) |
Oij |
|
|
; — р |
||||
|
|
°и |
|
|
|
еи |
|
назовем направляющими тензорами напряжений и де формаций. Направляющие тензоры, очевидно, имеют вто рой инвариант равным единице: = 1, ё^ё^ = 1.
Аналогично можно рассмотреть инварианты девиаторов
в» = ( 2 2 > = |
еи = ( 2 ( 4 . 1 1 4 ) |
Соответствующие направляющие тензоры будут иметь вид:
аа |
(4.115) |
1/г 7 Д. Д. Ивлев, Г. И. Быковцев
Предположим, что в процессе нагружения направля ющий тензор пластической деформации не зависит от времени. Тогда из (1.32) следует
|
|
|
|
) |
= |
|
(4.116) |
Из |
(4.116) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
e V. — %J*L |
1 __ |
d^ рр |
(4.117) |
||
|
|
еч - |
д0 |
д(5.. |
К - |
К |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
(4.117) |
вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г~ |
еР.еР. |
(4.118) |
|
|
|
к = |
\ / |
df |
df |
||
|
|
~ л |
|
|
*д->ij d6{j
Согласно (4.118), соотношение (4.117) примет вид:
|
г |
рVpV.У |
df |
|
||
|
|
|
рУ |
|
||
— |
У |
ei)ei) |
(4.119) |
|||
df |
df |
dsij ' |
||||
|
|
|||||
|
d^ij |
d ’Sij |
|
|
Предположим, что функция нагружения имеет вид:
/(2 2, П2, |
kt) = О, |
(4.120) |
где П2 = Otjeij — смешанный инвариант тензоров нап ряжений и пластических деформаций.
В этом случае соотношение (4.117) примет вид:
е5 = Ч ^ ° « + г п г е8>- |
<4 -1 2 1 > |
Из (4.121) следует |
|
eii ( l — ^o |
= ^0 |
0ц. |
(4.122) |
Возведем (4.122) в квадрат, |
просуммируем |
по индексам |
|
и извлечем квадратный корень, получим |
|
Из (4.122) и (4.123) следует
A |
= 3L , Или *£. = 5,,. |
(4.124) |
Си |
ии |
|
Соотношение (4.124) устанавливает равенство направляю щих тензоров пластических деформаций и напряжений.
Итак, если функция нагружения имеет вид (4.120) и в процессе нагружения направляющий тензор пластических деформаций не зависит от времени, то направляющий тен зор напряжений также не зависит от времени и соотно шения теории пластического течения, независимо от вида параметров сводятся к равенству направляющих тен зоров напряжений и пластических деформаций (4.124).
Из (4.124) следует, что
п 2 = аце% = аие£, |
(4.125) |
поэтому (4.122) можно переписать в виде:
Xif &i) = 0. |
(4.126) |
Прификсированных направляющих тензорахнапряже ний идеформаций параметры могутзависеть от раз личных инвариантов тензоров напряжений и деформа ций. Предположим, что в данном случае
Xi-Xi(au.«S). (4.127)
Тогда соотношение (4.120) определяет зависимость
ou = 6U(«£) |
ИЛИ |
е£ = е£ (<зц). |
(4.128) |
|
Обозначим |
|
|
|
|
^ |
= |
® W = |
9 ( 4 |
(4.129) |
Тогда соотношения (4.124) примут вид |
|
|||
eij = |
Ф (зц) atj = |
0 (el) oij. |
(4.130) |
Функции фг^ в (4.103) определяются, согласно (4.130), в виде:
<Ри = ф Ю о гг |
(4.131) |
|
7» |
Аналогичные рассуждения могут быть проведены, когда функция нагружения (4.120) зависит от инвариан тов девиаторов напряжений и деформаций. Соответству ющие выражения имеют вид:
|
e'ij = Ф (<з'„)бу = @ (е£) а'ц. |
(4-132) |
Соотношения (4.132) с точностью до обозначений сов |
||
падают с соотношениями (4.108). |
|
|
2. |
Предположим, что функция нагружения для неко |
|
торого |
упруго-пластического тела определена |
в виде |
(4.120). Пусть во все время всего процесса нагружения в каждой точке тела направляющий тензор девиатора пла стических деформаций фиксирован, тогда имеют место соотношения (4.132).
Определим характер изменения внешних усилий, при которых в каждой точке пластически деформируемого тела будут иметь место соотношения (4.132). Предположим, что нагружение в каждой точке тела таково, что пластиче ские деформации возрастают пропорционально одному параметру
efj = aeijf O ^ a ^ l , |
(4.133) |
где индекс звездочка наверху здесь и ниже приписан компонентам в момент окончания нагрузки a = 1. Оче видно, что цри утом направляющий тензор пластических деформаций будет фиксирован, а, следовательно, фикси рован и направляющий тензор напряжений.
Пусть в конечный момент нагружения в теле выпол няются уравнения равновесия
4 i |
+ t f = |
o |
(4.134) |
и граничные условия |
|
|
|
= |
на |
Sp, |
(4.135) |
= |
WjQ на |
^ut |
(4.136) |
где Ft, pi — массовые поверхностные усилия, ui0 — пере мещения, lt — направляющие косинусы нормали, S — боковая поверхность тела.
Как обычно, предположим, что пластические деформа ции удовлетворяют условию несжимаемости е£ = 0, поя-
тому тензор e\j является девиатором. Из (4.132), (4.133) получим
<хе,р*
(4.137)
в (с О
Здесь индекс штрих наверху у компонент е\), ей опущен. Зависимость среднего давления а от параметра а бу дем полагать произвольной при одном ограничении: а = а* при а = 1. Тогда компоненты напряжения в про
извольный момент нагружения определяются в виде:
ае:,р*
-аби.
<4 1 3 8 >
Из уравнений равновесия можно определить соответ ствующие массовые силы
7i = — au,j = — (■ е « *’ + |
)бб;«)■ |
(4.139) |
|
Соответствующие поверхностные усилия будут иметь вид:
л |
- < ’* |
/ |
OLCV* |
\ |
< |
|
т -^ г( |
+ яЧ 1<- |
|||
Компоненты полной деформации, |
согласно (4.138), (4.133), |
||||
подсчитываются по формулам |
|
|
|||
ец = eh + е?и efj = |
Cijhk |
|
|
+ а б ), е% = о # ' |
(4.141) |
Очевидно, что полная деформация в общем случае
при произвольной зависимости 0 = Q(aeZ) возрастает непропорционально параметру а. Поэтому из совмест ности деформаций e*j в конечный момент нагрузки, вооб ще говоря, не будет следовать совместность деформаций ец в произвольный момент нагрузки.
Совместность деформаций во время всего процесса пластического деформирования будет иметь место для
жестко-пластического материала, то есть при Сцм = 0. В этом случае полные деформации совпадают с пласти ческими
— &вци |
(4.142) |
|
|
Из (4.142) следует, что перемещения возрастают про |
|
порционально |
(4-143) |
щ = аи\. |
Тогда, согласно (4.136), перемещения ui0 на Su также должны возрастать пропорционально параметру а.
Итак, при сформулированных условиях для жестко пластического тела существует нагружение, при котором соотношения теории течения приводят к соотношениям деформационной теории
еИ = еи = ф (б«) |
(4.144) |
Для упруго-пластического тела при подобном нагру жении в общем случае не будут выполнены условия сов местности деформаций.
§ 10. Деформационные теории при кусочно гладких поверхностях нагружения1
1. Соотношения теории пластического течения при кусочно гладких поверхностях записываются в виде: |
|
|
/ (9> (<*«, <&, %ь А*) = 0, |
(1.50) |
|
еГ |
_ |
^ - J."1 |
д!(Ф ( д1<ч) |
|
|
с h~1 |
а/(9> |
(1.52) |
|
|
|
'СЯПЧ |
03.. |
|
|
|
|
г1 |
|
В выражение закона течения (1.52) входят величины первых производных функций dfW/dOij, поэтому вместо /(«) в шестимерном пространстве симметричного тензора напряжений сггу может быть рассмотрена любая совокуп ность функций g№ такая, что при данных значениях
параметров о^, е ? , х* величины первых производных df^VdOij и dgW/доц полностью совпадали.
Отмеченное свойство может быть определено как свой ство локальности соотношений пластического течения:
мгновенный характер деформирования определяется зна
чениями первых производных |
df(q)ldOij при данных о^, |
||
г?., |
Хм hk и не зависит от вида |
кривой / (<7). |
|
|
В дальнейшем предположим, что функция нагружения |
||
не |
зависит |
от Хм |
основные соображения, |
|
Чтобы |
наглядно изложить |
предположим, что имеет место случай кручения или сдви га и напряженное состояние соответствует пересечению функций нагружения
fi (6i2 уai3 >ei2 y е1 з) = 0, i = l,2 . |
(4.145) |
Рассматривая (4.145) как конечные соотношения, можно
определить явную |
зависимость |
|
|
е 1 2 = Ф1 2 |
(<31 2 » 6 1 3 )» eis = Ф1 З(^1 2 » ^з)* |
(4.146) |
|
Предположим далее, что отличны от нуля по три ком |
|||
поненты напряжений и |
деформации, т. е. |
|
|
|
^2 2 ? |
G1 2 1eiu e22i e12 4s |
(4.147) |
Если напряженное состояние соответствует пересечению трех независимых поверхностей нагружения = 0 и имеет место полное нагружение, то можно определить
efj = Фи^и» |
<Ч2> <*2 2 ), h / = |
1,2. |
(4.148) |
Если в трехмерном |
пространстве |
напряжений осо |
бенность поверхности нагружения является конической точкой, то последняя может быть рассмотрена как оги бающая касательных плоскостей. Из касательных плос костей, имеющих общую точку в вершине конуса, в трех мерном пространстве независимых только три, остальные могут быть получены как линейная комбинация незави симых. Трех независимых соотношений /(«) = 0 достаточ но для определения зависимости (4.148).
Аналогично может быть рассмотрен общий случай.
Деформационные соотношения е?) = Фи^юг) будут иметь место, если для данной особенности поверхности нагру жения существует шесть независимых конечных соотно
шений /(9 ) (aUl efj) = 0. Последнее будет иметь место, если особенность, интерпретируемая как огибающая плоско
стей, будет иметь шесть независимых плоскостей нагру жения и имеет место полное нагружение.
Введем шесть независимых переменных
X = а — ЪКе, Х ’ц = ц - Ф(ои)<у'ц. |
(4.149) |
Величины X'ij, очевидно, являются компонентами неко торого девиатора. Если функции нагружения имеют вид:
/Ю (X, х'и) = о, |
(4.150) |
причем решением совокупности шести уравнений (4.150) является X = X\j = 0, то будет иметь место деформа ционная теория
e\j = Ф (О а-у, а = ЪКе. |
(4.151) |
Функции нагружения (4.150) должны быть тензорно ин вариантными. Образуем совокупность независимых ин вариантов
X = О Кв, Х\j |
Xtf e^jj Xij Сук &kii |
XijCjh€hii |
|
X^jOjk^hi» |
(4.152) |
Функции нагружения /^) = 0, зависящие от инвари антов (4.152), являются тензорно инвариантными. Если решением совокупности шести независимых функций J{Q) = 0 является обращение в нуль всех инвариантов (4.152), то в силу произвольности а^, ец имеет место
X = Xij — 0, откуда следуют соотношения (4.151).
При подобномобосновании деформационной теории (4.151) нет необходимости требовать независимости направ ляющего девиатора пластических деформаций от времени и
т.п.
2.Рассмотрим случай интегрируемости соотношений теории упрочняющихся пластических сред, когда напря женное состояние соответствует некоторому ребру кусоч но гладкой поверхности нагружения в пространстве глав ных напряжений.
Предположим, что определено пересечение двух глад ких поверхностей нагружения, заданных уравнениями
/(1) (а1 . з2, <33, ef, el, el) = 0, f<-2) (alt <s2, a3, el, 4 ,4 ) ~ 0, (4.153)