книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Подставляя в (1.53) выражения (1.52), получим систе­ му алгебраических уравнений относительно ha:

Очевидно, в (1.54) должны быть использованы лишь те уравнения, для которых са = 1, поэтому число неиз­ вестных совпадает с числом уравнений. Величины ha мо­ гут быть определены из (1.54).

Согласно (1.52) можно получить

Компоненты вектора нормали n q, очевидно, равны ве­ личинам

Между функциями hqи hQqсуществует очевидная связь, аналогичная (1.30)

В дальнейшем будем полагать, что все функции упроч­ нения не зависят от скоростей изменения напряжений Отметим, что в случае, когда имеют место соотношения (1.25), то они заменяют соотношения ассоциированного закона пластического течения.

Условие независимости пластических свойств мате­ риала от действия равномерного давления р записывается аналогично (1.48) в виде:

При выполнении соотношений (1.60) следствием обоб­ щенного ассоциированного закона течения является усло­

вие несжимаемости материала ер = -g- 4i = 0.

Введем обозначение

(1.67)

Тогда равенства (1.66) можно представить в виде:

что

(1.69)

где AO>Q — алгебраическое дополнение элемента Ьт опре­ делителя матрицы ||baql а Д есть определитель этой матрицы.

Из неравенства

Всоотношениях (1.72) и в дальнейшем верхний индекс

УД #} и Д<т) указывает количество работающих гладких кусков поверхности текучести при активном нагружении.

То есть Д<2>— определитель матрицы, составленный из двух строк и двух столбцов, а Д ^ — алгебраическое до­ полнение элемента Ьшд определителя этой матрицы.

Рассмотрим неполное активное нагружение, при ко­ тором работают три гладкие функции нагружения / (1\

ной функцией. Наряду с функцией нагружения, дисси­ пативная функция характеризует основные свойства модели упрочняющегося пластического тела.

Зафиксируем положение поверхности нагружения в пространстве напряжений. Очевидно, положение ее пол­ ностью определяется значением параметров и постоянных

eg-, %i, kt. В пространстве напряжений диссипативная функция интерпретируется скалярным произведением век-

торов а и ер. Вектор ер определяется через компоненты напряжения сог-

рласно ассоциированному закону

течения.

В регулярных точках поверхность нагружения имеет единственную нор­ маль, поэтому вектор ер однозначно определяет соответствующий вектор сг и скалярное произведение D определяется однозначно для данного ер. В особых точках поверхности на­ гружения разные векторы ер могут соответствовать одному вектору сг, тем не менее, скалярное произведение D = dep однозначно определяется

заданием вектора ер. Наконец, если поверхность на­ гружения имеет невогпутые участки, то один вектор ер может соответствовать разным точкам поверхности на­ гружения, тем не менее задание вектора ер однозначно определяет диссипативную функцию (рис. 8).

Таким образом, должно иметь место соотношение

Диссипативная функция должна быть однородной пер­

вой степени относительно компонепт е£, так как соотноше­ ние (1.77) не должно зависеть от дифференциала времени dt. Следовательно,

Функции (1.77) при фиксированных параметрах efy, пределяют в пространстве £ р поверхности равного уровня диссипативной функции. Введем совокупность возможных компонент скорости пластических деформаций е*у, для которых

Таким образом, если в пространстве Ер определена неко­ торая поверхность равного уровня диссипативной функ­ ции D, то вектор возможной скорости деформации е*р ле­ жит внутри объема, ограниченного этой поверхностью.

Введем принцип максимума, аналогичный принципу максимума Мизеса

(1.83)

Принцип максимума (1.83) был сформулирован Циг­ лером [11] и назван «принципом максимальной скорости диссипации». Более общий принцип был назван им «прин­ ципом минимальных необратимых сил».

Из неравенства (1.83) следует выпуклость (невогнутость) поверхностей равного уровня диссипативной функ­ ции и ассоциированный закон нагружения:

*) Если положить диссипативную функцию однородной второго порядка: т = 2, у — 1/2, то соотношение (1.81) определит связь

для вязкой жидкости.

Производные dD/de^ в этом случае функции однород­

ные нулевого порядка относительно е?;-, следовательно, шесть соотношений (1.81) можно рассматривать как функ­

ции пяти переменных, например efj/ец..

Предполагая разрешимость соотношений (1.81) отно­

Таким образом, получается функция нагружения в обыч­ ной форме.

Соотношения (1.86), (1.87) могут быть рассмотрены

при соответствующих значениях al7-, efj. Среди шести дифференциалов d o лишь пять независимых, откуда следует, что найдется такой множитель ц°, что будет иметь место ассоциированный закон течения:

Таким образом, модель пластического тела может быть введена эквивалентными путями: либо через определение функции нагружения, либо через определение диссипатив­ ной функции D однородной первого порядка относительно компонент скорости пластической деформации. В обоих случаях следует формулировать соответствующий прин­ цип максимума.

Покажем, что из принципа максимума в пространстве Е'р (принцип максимальной скорости диссипации) следу­ ет принцип максимума в пространстве П (принцип мак­ симума Мизеса) и наоборот.

Рассмотрим две различные пары соответствующих на­ пряжений и скоростей пластических деформаций ст$\ е?]1* и cjjf, ef}2\ отвечающих одной и той же функции нагружения

при фиксированных значениях связанных ассоци­ ированным законом пластического течения и отвечающих одному уровню диссипативной функции. То есть должны

Условия (1.88) непротиворечивы. Последнее равенство

Другими словами, диссипативная функция D при дан­ ном напряженном состоянии oij и при данных значениях

В данном случае роль возможных компонент скорости

пластической деформации играют е?}1* Тогда из (1.89) и последнего равенства (1.88) следует

неравенство

(1.90)

составляющее утверждение принципа максимума Мизеса. Аналогично доказывается обратное положение: из

(1.90) следует И.89).