книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Очевидно, что перемещение пластического элемента будет происходить, когда результирующие усилия дос­ тигнут некоторого предельного значения:

происходит по направлению равнодействующей, то есть

Натяжения в упругих пружинах связаны с перемещения­ ми соотношениями:

ремещения вязкого элемента связаны с усилиями сле­

ническое поведение рассматриваемой модели.

При использовании динамических аналогий внешним усилиям Tt поставим тензор действительных напряжений Oij; усилиям в пружинах st — тензор внутренних напря­

кости rt — тензор внутренних перемещений х*. Приписывая, как обычно, девиаторам соответствую­

щих тензоров штрих наверху, будем считать для простоты материал несжимаемым (связь между первыми инвари­ антами может быть сформулирована независимо); более того, будем считать все тензоры внутренних деформаций

наконец,

Соотношения (4.37) — (4.40) полностью определяют свой­ ства рассматриваемой модели Pev.

На рис. 22, а изображена динамическая модель ЦРерере или, как ее удобнее обозначить, ЕРе1р1е2р2е3. Рас­ смотрим для нее определяющие соотношения. Для внеш­ него упругого элемента будем иметь

формаций, соответствующий перемещениям элемента рп,

через ХгТ- Тогда запишем соответственно для элементов Р, Рг предельные условия (функции нагружения) в виде:

/ (° Ц — s<i j ) = 9i(Sjy — sif)= *1, Фа (Sif — si?) = *a- (4-42)

Соотношения связи между тензорами напряжений и деформаций определим из соотношений ассоциированного

и для внутренних напряжений и деформаций.

Дифференцирование в (4.43) ведется по первому из напряжений, хотя дифференцирование можно вести по

(п)

суммарным напряжениям, так как если s\j не зависит от то

Наконец, к соотношениям (4.41) — (4Т43) следует присоединить условия, следующие из представлений об упру­ гом характере внутренних связей, а именно,

ds'ij1'*= Й! (defj — d%W), ds'\f = аг(dy$ — dyjff), dsy(8) =

= a3( d y }? - d $ ) , (4.44)

где an — коэффициенты жесткости элементов en, в про­ стейшем случае — константы материала.

Соотношения (4.32), (4.41) — (4.44) полностью опреде­ ляют свойства рассматриваемой модели ЕРе^р^р^. От­ метим, что только компоненты полной деформации etj связаны с перемещениями ut формулами Коши, остальным

тензорам деформаций efj, Xij\ вообще говоря, переме­ щения в соответствие поставлены быть не могут. Уравне­ ниям равновесия удовлетворяет тензор az;-, остальные

тензоры напряжений sty уравнениям равновесия не удов­

летворяют. Тензоры Sij\ yff играют роль внутренних тен­ зорных параметров модели.

Аналогично рассмотрим модель EV*e1Vie2v2e3, изобра­ женную на рис. 22, б. Обозначим тензор внутренних ско­ ростей деформаций, соответствующий скоростям пере­

(4.45)

где г|, г[п — коэффициенты вязкости элементов F, va со­ ответственно. К сооотношениям (4.45) следует присоеди­

нить условия, определяющие напряжения, соответствую щие натяжениям в элементах:

S;jl) = « 1 (ei> — ). s'il2) = a2(xjf — x|f), Si/3) = a3x\f. (4.46)

Соотношения (4.32), (4.41), (4.45), (4.46) полностью опре­ деляют свойства рассматриваемой модели.

Наконец, рассмотрим модель ЕУе0{о\е^\е3. В этой мо­ дели напряжения во всех элементах одинаковы и равны а,;. Элементы Е, V перестановочны, и в данном случае имеет место обычная модель вязко-упругого тела Макс­ велла с суммарными коэффициентами упругости и вяз­ кости.

Построение связи Оц-ец для сред, включающих в себя как составные элементы пластичности, вязкости, упругости, не составляет трудностей, например, рассмот­ рим сложную модель EPe1v*e2p. Очевидно, будут иметь место соотношения

(4.47)

Соотношения (4.47) определяют свойства рассматриваемой модели.

Изложенный подход конструирования связи а является непосредственным обобщением подхода, разви­ того в теории трансляционного упрочнения. В данном случае не только основные, но и внутренние механизмы пластичности определяют свои поверхности нагружения в соответствующих пространствах напряжений, которые испытывают перенос в этих пространствах.

Случай, когда связь между отдельными элементами жесткая, интерпретируется как предельный, рассмотрен­ ный при стремлении соответствующих коэффициентов ап к нулю.

Нелинейные эффекты могут быть учтены, если поло­ жить, что величины^, г);1, ап зависят от инвариантов со­ ответствующих тензоров.

Зависимость между первыми инвариантами соответ­ ствующих тензоров может быть установлена независимо.

Не представляет труда воспользоваться для внутрен­ них элементов кусочно линейными потенциалами.

§ 5. Влияние вязкости на механическое поведение пластических сред

Рассмотрим обобщение модели анизотропного упроч­ няющегося пластического тела путем введения внутрен­ него элемента вязкости, который определяет релаксацию остаточных внутренних микронапряжений. Модель ани­ зотропного упрочнения имеет индекс Ре, обобщенная мо­ дель-индекс Pev*. Соответствующая двумерная модель изображена на рис. 21, в.

Наличие вязкости делает механическое поведение мо­ дели зависящим от времени, поэтому поведение материала будет зависеть от скорости нагружения. Следует разли­ чать два предельных случая: скорость нагружения бес­ конечно мала; скорость нагружения бесконечно велика (мгновенное нагружение). При бесконечно медленном нагружепии релаксационные процессы происходят в пол­

В случае, когда нагружение мгновенно, элемент вяз­ кости ведет себя как жесткая связь. При этом рассмат­ риваемая модель ведет себя как анизотропно-упрочняю- щаяся пластическая среда. Аналогично материал ведет себя при сколь угодно малом или сколь угодно большом коэффициенте вязкости.

Отметим также, что с неограниченным ростом жестко­ сти упругого элемента е связь между элементами вязко­ сти и пластичности становится жесткой и имеет место

Функция нагружения смещается в пространстве напря­ жений как жесткое целое на величину, определяемую компонентами si;-. Отметим, что в пространстве актцрных

напряжений о?;- = Оц — поверхность нагружения фиксирована

Предположим, что функция / достаточно гладкая, тогда

(4.49)

Именно результирующие активные напряжения обуслов­ ливают пластическое деформирование, поэтому условие нагружения можно записать в виде:

dk > 0, если / = О, -Ц- (к*; = 0. d(Sij

Условие разгрузки имеет вид:

d\ = 0, если / = 0, -Ц - cfoij < 0.

Согласно (4.49) вектор приращений деформаций орто­ гонален поверхности нагружения в пространствах дейст­ вительных и активных напряжений.

Предположим, для простоты, что функция нагруже­

Рассмотрим некоторые свойства модели. Материал жестко-пластический. Если вывести материал за пре­ дел пластичности и зафиксировать нагрузки, то будет иметь место процесс ползучести. В самом деле, в одно­ мерном случае

Если материал вывести за предел пластичности, а за­ тем разгрузить, то поверхность нагружения за счет ре­ лаксации внутренних напряжений stj с течением време­ ни будет стремиться занять исходное положение. Вообще

говоря, вследствие наличия элемента вязкости, напря­ жения во внутреннем упругом элементе е и, следователь­ но, поверхность нагружения имеют тенденцию к сме­ щению в сторону начального состояния. Поэтому сле­ дует говорить о мгновенном (фиксированном в данный момент) положении поверхности нагружения.

Рассмотрим случай нейтрального нагружения. Из (4.48) следует, что при этом

При нейтральном нагружении приращение пластичес­ ких деформаций равно нулю: deи = 0, d% = 0.

Из первого соотношения (4.50) для случаев нейтраль­ ного нагружения и разгрузки получим

гружении скорости релаксации внутренних напряжений s\j пропорциональны внутренним напряжениям и имеют противоположный знак (тенденция к уменьшению). Согласно (4.52) в пространстве напряжений при нейтраль­ ном нагружении вектор сг — £ с компонентами Ь'ц — s[j ортогонален нормали п к мгновенной поверхности на­ гружения / = 0.

На рис. 23 изображена регулярная поверхность наг­ ружения / = 0. В дайной точке А к мгновенной поверх­ ности нагружения проведена нормаль п и построен век­ тор —s , который лежит вне поверхности нагружения.