книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Исключая из (2.77) и (2.75) [би], для определения [|Xwl получим систему уравнений

с (2.56) и для устойчивых упрочняющихся сред отличен от нуля. Следовательно, система уравнений (2.78) имеет только нулевое решение, а из (2.70), (2.74), (2.76) полу­

чим, что Idij] = 0 , [е£] = 0 , [%i] = 0 .

Таким образом, в устойчивых упрочняющихся телах, для которых в начальный момент времени распределение пластических деформаций непрерывное, в последующие моменты времени стационарные поверхности сильного разрыва возникнуть не могут. Вообще говоря, путем сое­ динения различно деформированных упрочняющихся упруго-пластических тел можно получить стационарные разрывы пластических деформаций и напряжений. Однако происхождение подобных поверхностей разрыва носит искусственный характер.

В ы в о д ы : 1. В упрочняющейся упруго-пластической среде в случае гладких и кусочно гладких поверхностей нагружения не могут существовать нестационарные по­ верхности сильного разрыва 2 пластических деформаций, напряжений и скоростей перемещений.

2. Если в упрочняющейся упруго-пластической среде в начальный момент времени стационарные поверхности разрыва пластических деформаций, а, следовательно, и напряжений отсутствуют, то в процессе пластического деформирования они не возникают. При этом не возникают и поверхности разрыва скоростей перемещений и скоростей пластических деформаций.

§ 3 . П о вер хн о сти р а зр ы в а ск о р о стей п ер ем ещ ен и й в и д е а л ь н ы х у п р у г о -п л а с т и ч е с к и х т е л а х

Пусть в идеальном упруго-пластическом теле имеется некоторая изолированная движущаяся поверхность 2 , на которой перемещения непрерывны, а скорости пере­ мещений претерпевают разрыв. Вообще говоря, на 2

Если условие пластичности выпуклое, то при заданных значениях [ef;] уравнение (2.82) имеет единственное реше­

лен этому участку, то равенство (2.82) будет выполнено при любых значепиях Оу, лежащих на участке невогнуто-

Г является функционалом, зависящим от функций efj(t)4 которые определяют путь перехода от состояния еу+ до

состояния evij. Соотношение (2.84) можно преобразовать к виду:

Тогда, учитывая свойства однородности функции/), из (2 .8 8 ) определим

Из (2.70) для напряженного состояния на экстремаль­ ной траектории получим

, ^ дР ([«%))

(2.90)

”a [ef.]

Подставляя значения о'ц из (2.90) и (2.89), оконча­ тельно для минимального значения Г будем иметь

Из (2.90) и свойств диссипативной функции следует, что Oij удовлетворяет условию пластичности, а вектор [efj] ор­

ного пространства. Таким образом, величины a в форму­ ле (2.83), при которых достигается минимальное значение

выражения (2.81), и величины о'ц, фигурирующие в ра­ венстве (2.91), совпадают, и, следовательно, равенство (2.79) действительно в этом случае имеет место. Очевидно, что во всех других случаях при lefj] =f= 0 , когда экстре­ мум слагаемых (2.79) не достигается, равенство (2.79) не выполняется.

Отметим, что если [efj] = 0, то равенство (2.79) будет выполнено. В этом случае, так же как из равенства (2.60), следует, что напряжения и скорости перемещений непре­ рывны на поверхности 2 .

Если условие пластичности выпуклое, то по заданным значениям скоростей пластических деформаций единст­ венным образом определяется напряженное состояние, следовательно, поверхности постоянного уровня диссипа­ ции/) = const будут гладкими, а сама функция/) — диф­ ференцируемая. Тогда из равенства (2.90) получим, что

Таким образом, в упруго-пластических телах с выпук­ лыми условиями пластичности на поверхностях разрыва скоростей перемещений напряжения непрерывны.

При анализе невогнутых условий пластичности огра­ ничимся рассмотрением изотропных идеальных упруго­ пластических тел. Тогда из изотропности тензорной связи (2.82) будет следовать, что главные направления тензоров

[eft], otj и dlj совпадают.

В изотропном теле невогпутый участок условия пла­ стичности в трехмерном пространстве главных напряже­ ний является плоскостью, поэтому главные значения аг

где kt — константы материала, кг + к2 + к3 = О для пла­ стически несжимаемых тел. Компоненты напряжений бу­ дут выражаться через главные значения по формулам

где Z*, miy rii — направляющие косинусы главных осей

Сворачивая равенства (2.94) поочередно с ni1 miy lt и учитывая условие ортогональности главных направлений

Так как тензоры [ejj], otj и otj имеют совпадающие главные направления, то для скачков пластических де­ формаций будем иметь

где [е{\], [е?2] и [е&] — главные значения тензора [е$],

которые, согласно соотношению (2.82), будут ортогональ­ ны плоскости (2.92), то есть

Подставляя в (2.83) скачки напряжений полных и пла­ стических деформаций из соотношений (2.93), (2.32),

Умножая равенство (2.100) на v*Vy, ltlh lUimj и сум­ мируя по повторяющимся индексам, соответственно найдем

только тривиальное решение, так как определитель ее для пластически несжимаемых тел всегда отличен от нуля, от­ куда следует, что главные напряжения на поверхности 2 непрерывны.

Таким образом, в идеальных упруго-пластических те­ лах напряжения на поверхностях разрыва непрерывны. Из соотношений (2.33) и (2.32) получим

X [vh\ Vhbij + ц ([y j Vj + [Vj] Vi + 2c lefj]) = 0. (2.105)

Приравнивая в соотношениях (2.105) индексы i и /, после суммирования по повторяющимся индексам будем иметь [ у а ! VA = 0, а соотношение (2.105) преобразуем к виду:

Если в некоторой точке поверхности 2 определить локальную систему координат так, чтобы оси координат xi совпадали с главными осями тензора напряжений, то

Полагая скачки скоростей отличными От нуля, полу­ чим, что должен обращаться в нуль онредеДитель системы

уравнений (2.108), откуда

ViV2vs — 0.

Таким образом, одно главное направление тензоров напряжений и скоростей деформаций касается поверхно­ сти разрыва, и проекции скачка скоростей на это направ­ ление непрерывны. Два других главных направления на­ клонены к поверхности разрыва под углом 45°, и сама по­ верхность 2 является поверхностью максимального сдвига.

Отметим, что скорости деформаций, соответствующие чистому сдвигу, согласно ассоциированному закону пла­ стического течения, могут иметь место лишь в том слу­ чае, когда условие пластичности сводится к условию пла­ стичности Треска.

В ы в о д ы : 1. В идеальной упруго-пластической среде в случае гладких и кусочно гладких поверхностей текучести могут существовать нестационарные поверхности разрыва скоростей перемещений 2. На этих поверхностях напряже­ ния непрерывны, претерпевают разрыв компоненты пласти­ ческой деформации. Компоненты скоростей перемещений, нормальные к поверхностям 2 , непрерывны, сама поверх­ ность 2 совпадает с поверхностью максимальной скорости пластического сдвига. Поверхности разрыва 2 могут су­ ществовать только при условии, когда напряженное состо­ яние сводится к условию пластичности максимального ка­ сательного напряжения.

2 . Стационарные поверхности разрыва скоростей пере­ мещений 2 в идеальных упруго-пластических телах суще­ ствовать не могут, если исключить возможность возни­ кновения трещин, нарушение сплошности среды.