книги / Теория упрочняющегося пластического тела

по определению, направлена по внешней нормали к по­ верхности нагружения, следовательно, приращение на­ пряжений ДOij в зоне неустойчивости направлено внутрь поверхности нагружения, а сама поверхность нагруже­ ния стремится занять положение, указанное на рис. 14, а пунктиром. Соответствующая диаграмма одноосного рас­ тяжения-сжатия а = еР изображена на рис. 14, б.

Таким образом, модель изотропного упрочнения при­ водит к неустойчивым процессам пластического дефор­ мирования (изменение пластических деформаций при уменьшающихся нагрузках) и подобные модели пласти­ ческого материала не принадлежат к классу устойчивых материалов по Драккеру.

Рассмотрим анизотропный упрочняющийся материал в случае линейного кинематического упрочнения (4.13).

Из последнего соотношения и (4.13) следует, что кинема­ тический закон упрочнения с параметром а > 0 приводит к выполнению условия устойчивости для всех путей де­ формирования.

Рассмотрим в пространстве П поверхность нагруже­ ния /(o>i7-, e?j,ki) = 0, положение которой полностью оп­ ределяется величинами пластических деформаций и не зависит от параметров

Условие устойчивости Драккера do^de^ ;> 0 предпо­ лагает, что в данной точке нагружения А происходит уп­ рочнение, в то время как на других участках поверхности нагружения возможно и разупрочнение. После некоторой догрузки в точке А напряженное состояние будет соот­ ветствовать точке А ', лежащей вне первоначальной по­

уравнение поверхности нагружения после догрузки. Произведем разгрузку, а затем произведем повторное

ние, обратное Ае?цА); для простоты можно положить, что

первоначальное положение, имевшее место для догрузки из точки нагружения А, и точка В' будет стремиться за­ нять положение В .

Если при догрузке в точке А точка В' вышла за пре­ делы первоначальной зоны упругости, то есть в этой точ­ ке произошло упрочнение материала (рис. 15, а), то для нагружения из точки В' постулат устойчивости места

иметь не будет: do^de^- < 0.

Если при догрузке в точке А поверхность нагружения в окрестности точки В' смещается внутрь упругой обла­

сти (рис. 15, б), постулат устойчивости doijdefj > 0 будет выполнен.

Значит, если при одноосном растяжении образца про­ исходит наклеп, то для устойчивого материала предел упругости увеличиться не может. Таким образом, на­ личие эффекта Баушингера связано с процессами устой­ чивого деформирования материала.

Для описания свойств анизотропии материала можно воспользоваться функцией анизотропии, впервые введен­ ной в теории пластичности И. А. Бережным. Рассмотрим

поверхность нагружения /(сг0-, eljXi, кг) = 0. В прост­ ранстве напряжений П каждой фиксированной поверх­ ности нагружения может быть поставлена в соответствие функция анизотропии А, являющаяся годографом вектора напряжений, относительно нормали в соответствующей

точке поверхности нагружения. Поясним сказанное на рис. 16.

Поверхности нагружения 2 (рис. 16, а) ставится в соответствие поверхность анизотропии А (рис. 16, б), при построении поверхности анизотропии вектор а от­ кладывается от фиксированной оси ООг в направлении,

Рис. 16.

которое он образует с нормалью в данной точке поверх­ ности нагружения. Очевидно, что для сферической изот­ ропной поверхности 2 поверхность А стягивается в точ­ ку. Эффект Баупшнгера характеризуется отрезком АВ на рис. 16, б.

Для устойчивых материалов при нагружении, указан­ ном на рис. 15, б, отрезок АВ (рис. 16, б) будет увеличи­ ваться, причем точки А и В будут двигаться в противо­ положных направлениях, для неустойчивых материалов (рис. 15, а) отрезок АВ будет изменяться, при этом точки А и В будут двигаться в одном направлении.

Отметим, что поверхность, вполне аналогичную по­ верхности А, можно ввести для равных уровней дисси­ пативной функции.

§ 3. О некоторых качественных особенностях поведения функций нагружения

Рассмотрим некоторые качественные особенности по­ ведения функций нагружения (4.1). Для простоты огра­ ничимся случаем чистого сдвига. Предположим, что от­

личны от нуля лишь компоненты тХ2, тух, е£z, e%z. Будем

рассматривать жестко-пластический материал, индексы z и р опустим.

Следует сразу оговориться, что при отличных от ну­ ля компонентах тж, ху вследствие ассоциированного закона, помимо ех, еу, могут оказаться отличными от нуля и другие компоненты пластической деформации.

Напряженное и деформированное состояние в рассмат­ риваемом случае можно представить для наглядности при помощи векторов

х = Ххг + X y j , е = ех г + eyJ, (4.20)

Единственный независимый смешанный инвариант ха­ рактеризует взаимную ориентацию векторов т и е. В ка­ честве подобного инварианта можно использовать величи­ ну угла между ними

(4.22)

\сех*~ уеу

либо инварианты

Рассмотрим функцию нагружения

Согласно (4.24) любая начальная кривая текучести в плос­ кости хх, ху будет окружностью. В самом деле, в началь­ ный момент деформирования ех = еу = 0 и условие (4.24) имеет вид:

/ (*! + ty, 0,0) == 0.

Для простоты воспользуемся предположением, что компоненты скорости пластической деформации ех, гу мо­ гут быть получены путем непосредственного дифференци­ рования соотношения (4.24) (строго говоря, они должны быть получены из общих соотношений).

Пусть имеет место одноосное нагружение тх =h О» Ту = 0. Если функция нагружения (4.24) остается симмет­

вием члена |т^х |.

Предположим, что функция нагружения (4.24) не за

ется в направлении нагружения, то есть он ведет себя как идеально-пластический. В то же время сама функция нагружения изменяется с изменением составляющей де­ формации ех. В самом деле, функция нагружения (4.26) в

казаны кривые нагружения (4.29) при некотором значении ех Ф 0. Пунктиром показана начальная кривая нагру­ жения. Эллипс с увеличивающейся полуосью соответству­ ет верхнему знаку в уравне­

Функциям нагружения (4.30) и (4.31) при нагружении хх Ф 0, ех ф 0, ху = ev = 0 соответствует данное одно­ параметрическое семейство кривых /(тж, ху, ех) = 0. Од­ нако при повторном нагружении в других направлениях поведение функций нагружения (4.30), (4.31) будет раз­ личным.

Итак, поведение функций нагружения при деформиро­ вании может быть чрезвычайно разнообразным: поверх­ ности нагружения могут стягиваться или наоборот расши­ ряться вблизи направления нагружения, перемещаться

дем обозначать индексом V°, во втором случае — индек­ сом F * . Как будет показано, различие между этими мо­ делями позволяет осуществить различные включения ме­ ханизма вязкости в сложные модели.

Рассмотрим простейшие комбинации механизмов: ЕР- модель упруго-пластического тела (рис. 19, а), модель

и з -

а) г)

упруго-вязкого тела EV0 или EV* (рис. 19, б, в). Для этих моделей полная деформация слагается из упругой и пла­ стической или упругой и вязкой

Для упруго-вязкого и упруго-пластического тел упругие деформации связаны с действительными напряжениями ац законом Гука. Никакого различия между моделями

EV0 и EV* нет.

Вслучае последовательного действия механизмов Р и

Е(рис. 19, г) соответствующее деформирование является только пластическим (модель соответствует упрочняю­ щемуся жестко-пластическому телу), поэтому этот меха­ низм будем обозначать Ре х).

Рассмотрим последовательное соединение механизмов F°, Е и У*, Е (рис. 19, д, е). Очевидно, что последователь­ ное включение механизмов F°, Е приводит к силовой свя­ зи элементов: усилия в вязком и упругом элементах

равны (тело Максвелла), а последовательное включение

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что деформированные внутренние упругие элементы не в состоянии преодолеть сами по се­ бе сил сопротивления пластических элементов.

элементов V* и Е — к кинематической связи: перемещения вязкого и упругого элементов одинаковы (тело Фойхта). Очевидно, что модель V*E соответствует параллельному включению элементов упругости Е и вязкости V0.

Отметим, что при силовой связи упругого и вязкого элементов последовательность их включения несуществен­ на: модель EV0 эквивалентна модели V°E, однако в случае кинематической связи элементов F*, Е упругий элемент является внутренним (рис. 19, е), деформирование носит вязкий характер, и соответствующую модель будем обо­ значать V*e.

Таким образом, при принятой индексировке большие буквы указывают на механизм, определяющий характер деформирования; внутренние механизмы, не меняющие характер деформирования, обозначаются соответственно малыми буквами.

Отметим, что в рассматриваемом случае деформирова­ ние может иметь характер упругий, вязкий, пластический, упруго-вязкий, упруго-пластический. Модель, состоящую из механизмов Р и V*, следует обозначать Ри*, так, де­ формирование носит характер пластического и вязкий элемент V* является в данном случае внутренним. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести раз­ грузку: полная деформация оказывается остаточной.

Очевидно, что модель Ри° вполне эквивалентна модели Ри*, различие элементов F°, V* сказывается лишь при наличии последующих элементов упругости или пластич­ ности.

Из изложенного ясен принцип индексировки моделей, например моделей, изображенных на рис. 20. Их следует соответственно обозначить EV°p, F°ep, Pev° (или Pev*),

Pve*, EPev*epe, V*epev*ep.

Для построения связи между тензорами напряжений Oij и деформаций рассмотрим двумерные динамические модели. На рис. 21, а — е показаны двумерные динамиче­ ские модели, соответствующие одномерным моделям, при­ веденным на рис. 20.

Рассмотрим модель Pev*, изображенную на рис. 21, в. Обозначим внешние усилия, действующие на элемент пластичности, через Тг, Т2, усилия в упругих пружинах sly s2, перемещения пластического элемента через q±1 q2, вязкого элемента — г1? г2.