книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfКинематические и геометрические условия совместности для производных напряжений запишем в виде:
[%\ ,] = Tfc/Vy, |
= — г\цс. |
(2.224) |
Подставляя величины скачков производных тензора напряжений из (2.224) в уравнения (2.222), (2.223), предва рительно исключив скачки пластических деформаций при помощи соотношений (2.219), получим
/«%« - (-gr/u + |
4Г /«) №*1. |
(2.225) |
ИЛ = 0. |
|
(2.226) |
Щодставляя в левую часть равенства (2.225) значение fij из соотношения (2 .2 2 1 ), находим, что на поверхности разрыва должно выполняться равенство
(J L U + -U - 4 % |
) [Ц°] = 0. |
(2.227) |
\ деР. |
I |
|
В устойчивых упрочняющихся жестко-пластических телах, как было показано в § 8 главы I, поверхность на гружения такова, что имеет место неравенство
~дё[. h + ~д^ A^^ij < °*
И из (2.227) получаем, что на поверхности разрыва [|i°] = 0, а из равенства (2.219) следует непрерывность скоростей пластических деформаций. Таким образом, в ус тойчивых жестко-пластических телах с гладкой поверх ностью нагружения скорости деформации непрерывны.
Рассмотрим упрочняющееся жестко-пластическое тело с сингулярной поверхностью текучести. Пусть на поверх ности разрыва скоростей деформаций имеет место напря женное состояние, при котором поверхность нагружения представима в виде пересечения п регулярных поверхно стей нагружения:
/ “ (Щь |
Хь А<) = 0 , 0 ) = 1, 2, ..., п. |
(2.228) |
Из соотношений обобщенного ассоциированного зако на течения (2.228) и геометрических условий совместно сти (2.169) получим
Ю |
= |
+ |
1,-Vi = 2 [|i£] /| f. |
(2.229) |
|
|
|
СО |
|
Сворачивая |
соотношения (2.229) с б п о л у ч и м ^ что |
|||
ikVft = 0. |
|
|
и суммируя по повторяющимся |
|
Умножая (2.229) на |
|
|||
индексам, найдем |
|
|
|
|
|
li = |
2 |
2 [ | i ° ] / £ V |
(2.230) |
|
|
|
СО |
|
Подставляя значения £* из (2.230) в равенство (2.229), получим, что на поверхности разрыва должны иметь место
равенства |
|
2 Inil /If = 211*2,](/l“4 v, + $ 4 v,). |
(2.231) |
Дифференцируя каждую из регулярных частей поверх ности нагружения (2.228) по времени, находим, что на по верхности разрыва должны выполняться соотношения
/(со) |
Г |
|
(2.232) |
Tij |
|
dt |
|
|
|
Исключая скачки скоростей напряжений и пластиче ских деформаций при помощи кинематических условий совместности (2.224) и соотношений (2.229), уравнения (2.232) преобразуем к виду:
— |
~Ь 2 ^cor |
— 0, |
(2.233) |
где |
( а/(г) + |
|
|
Ьсог |
/г; |
|
Умножая равенство (2.233) на [\х?] и суммируя по г, по лучим
- с 2/!? Н*?1 |
+ 2 |
I И0-] (1*?1 = 0 . (2.234) |
ГV, Г
П ер вую с у м м у |
в |
у р а в н е н и и ( 2 |
.2 3 4 ), |
и с п о л ь з у я |
со о тн о |
|
ш ен и е ( 2 .2 3 1 ) , м о ж н о п р е д с т а в и т ь |
в в и д е : |
|
||||
— c S / i ? [И-?] |
= |
S |
№«] C/Sk’vfcV/ny + |
/,-kVfcViTii,). |
(2 .2 3 5 ) |
|
ГГ
Из уравнения (2.226) и условия симметричности тен зора т]ij следует, что rj^Vy = т^у,- = 0 , а следовательно, правая часть равенства (2.235) обращается в нуль, откуда получаем, что на поверхности разрыва должна обращаться в нуль квадратичная форма
2 ь ш г 1 к и к ] = о.
Г,Ш
Согласно результатам § 8 главы I квадратичная форма (2.235) в устойчивых упрочняющихся жестко-пластиче ских телах будет отрицательно определенной и левая часть равенства (2.235) обращается в нуль только при ус
ловии, что все [р,° ] = 0. Однако из (2.229) тогда получа ем, что скорости пластических деформаций непрерывны
вжестко-пластических телах.
Вы в о д : В упрочняющихся жестко-пластических те лах поверхностей разрыва скоростей деформаций не су ществует.
§ 10. Поверхности разрыва производных напряжений и скоростей деформации в упрочняющемся жестко-пластическом теле.
Характеристические многообразия уравнений теории упрочняющегося жестко-пластического тела
с гладкой поверхностью нагружения
Рассмотрим ^-поверхности разрыва в жестко-пласти ческих телах. На этих поверхностях напряжения и ско рости пластических деформаций непрерывны, а претер певают разрыв их производные.
Из существования ^-поверхностей разрыва следует, что по известному решению с одной стороны от д-поверх- ности решение с другой стороны определяется неоднознач но. В этом смысле элемент g-поверхности всегда является
характеристическим элементом уравнений теорий пласти
ческого течения.
Предварительно рассмотрим упрочняющееся жесткопластическое тело с регулярной поверхностью нагруже ния, которую будем представлять в виде (2.218). Диффе ренцируя соотношения ассоциированного закона течения по нормали, получаем, что на g-поверхности имеют место соотношения
[e«.k] v k = \ |
( К я с ] у к + |
v fc) = |
|
= |
Vtf + |
V |
(2.236) |
|
a*/ e
fijm n —
U тпп
Дифференцируя по времени соотношение (2.218)/ из уравнений равновесия находим, что на g-поверхности разрыва должны выполняться условия
f u l 6 u ] = о , [ai U ] = 0 . (
Геометрические условия совместности для производных напряжений и скоростей перемещений представим в вйде:
lvitJh] = LtVjVk, = ЦцУк, [a^l = — (2.238)
г д е Lt — вектор, а тuj — тензор, характеризующие раз рывы нормальных производных соответствующих вели чин
L t = т)ij = [a,M]vft.
Исключая из уравнений (2.236), (2.237) скачки производ ных при помощи (2.238), получим
4" (LivJ + Lf**) = |
l^n] hi + |i°/irti4»i. |
(2.239) |
TlijVy = |
0 , |
(2.240) |
= |
|
(2.241) |
гДе =
Предварительно рассмотрим важпътй случай, когда на
поверхности разрыва р, 0 — 0 , что всегда имеет место ца
жестко-пластической границе.
В этом случае система уравнений (2.239) — (2.241) расп^дается на две независимые системы уравнений, одна из которых представляет собой систему шести уравнений
(2.23^) относительно четырех неизвестных Lt и а вто- рая-^спстему четырех уравнений (2.240), (2.241) относи
тельно шести неизвестных величин г|fJ-. |
0, по- |
Рассмотрим систему уравнений (2.239) при |л° = |
|
лучи^ |
|
4 -(bivr + L Jvi) = [ (A” ] /iJ-. |
(2.242) |
Приравнивая в уравнениях (2.242) индексы i и / и суммируя но повторяющимся индексам для несжимаемых тел» находим, что на поверхности разрыва должны иметь место соотношения ЬъУъ. = 0, сворачивая (2.242) с Vj:
|
|
4-A=№ »]/iyv,-. |
(2.243) |
|
Подставляя величины Lt из (2.243) в соотношения |
||||
(2.244) и |
полагая, |
что [р^.] =j= 0, |
получим, |
что на по |
верхности |
разрыва |
выполняются |
равенства |
|
|
fu = fihVhVj + /yftVftVj. |
(2.244) |
||
Выбирая оси координат совпадающими с главными направлениями тензора ftj, преобразуем уравнения
(2.244) к |
виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/х ( 1 |
— 2 |
v?) = |
0 , |
/ 2 ( 1 |
— 2 va) = 0 |
, |
/ 3 ( l |
- 2 v’ ) = 0 |
, |
1 |
|
(/i + |
/г) Vxv 2 = |
0, |
(/х + |
/3) VxV3 = |
0, |
(/а + |
/з) v2Vs = |
0, |
/ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.245) |
|
где Д, /2>/а — главные значения тензора fij. |
Уравнения |
||||||||||
(2.245) пмеют |
единственное решение |
|
|
|
|
||||||
U *= 0, v2 = |
0, Д + /3 = 0, Vi = |
|
, v2 = |
± |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.246) |
|
Пр^ДПол^гаОтся, что главные значения пронумерованы так» Что U является промежуточным между ft и /3.
ТдКШ1 образом, на поверхности разрыва имеет место деф°Рмированпое состояние чистого сдвига, сами по-
верхпости являются поверхностями, на которых имеет место чистый сдвиг, и в этом смысле поверхности, на ко торых имеют место равенства (2.244), будем называть поверхностями скольжения.
Отметим, что из соотношений (2.240) и (2.244) следует, что равенство (2.241) всегда выполняется на поверхности скольжения, если выполнено равенство (2.240). Оконча тельно получаем, что на поверхности скольжения тензор г),-; может быть любым, удовлетворяющим соотношениям (2.240). Анализ равенства (2.240) в дальнейшем будет проведен более подробно, а теперь перейдем к рассмотре нию случая, когда \i° =j= 0 на поверхности разрыва. Пред варительно выведем аналитическую формулировку усло вия выпуклости поверхности нагружения. Из постулата устойчивости следует, что при любых otj и ai}, лежащих на поверхности нагружения, должны иметь место нера венства
fa (4 ) ( 4 - 4 ) > 0 , |
4 ( 4 , ) ( 4 - 4 , ) > 0 , |
(2.247) |
|
откуда получаем |
|
|
|
(4j - *1;■) {fa (4 ) |
- |
fa (4)} > 0 . |
(2.248) |
Выберем точку оД сколь угодно близко к о^-, то есть |
|||
пусть |
|
Ajj(e)*e, |
|
Оц = Oij ”f" |
|
||
где е — сколь угодно малое положительное число. Тогда неравенство (2.248) запишем в виде:
д .Де) {fu (Oij — еАи(е)) — / 4 у(сту)} > |
(2.249) |
Раскладывая левую часть неравенства (2.249) |
в ряд |
по е, получим, что |
|
/ u * A i j ( 0 ) A fcI( 0 ) > Q . |
(2 .2 5 0 ) |
Таким образом, из постулата устойчивости следует, что для любых значений Д^, удовлетворяющих условию fijhij = 0, имеет место неравенство (2.250).
Если в соотношении (2.250) имеет место строгое нера венство при любых Дij =f= 0 , то поверхность нагружения будем называть выпуклой, если же существуют некоторые
направления Д°у, для которых в (2.250) имеет место знак
равенства, то будем говорить, что на поверхности нагру жения имеется направление уплощения.
Если знак равенства (2.250) имеет место при любых Ац, то будем говорить, что поверхность текучести имеет точки уплощения.
Перейдем к анализу соотношений (2.239) —(2.241) при (ы° =/= 0. Сворачивая равенство (2.239) с и учиты вая равенства (2.240) и (2.241), получим, что на поверх ности разрыва должно иметь место соотношение
fijhlir\ijr\hi = 0. |
(2.251) |
|
Если поверхность нагружения |
выпуклая, то равенст |
|
во (2.251) имеет место только при |
т|^ = |
0. Покажем, что |
при этом и величины [|x?J и Lt также обращаются в нуль, и на поверхности разрыва производные скоростей пласти ческих деформаций непрерывны.
Действительно, если величины г\и = 0, то производ ные тензора напряжений непрерывны на поверхности разрыва, тогда для вторых производных имеют место кинематические и геометрические условия совместности
[а^,л|1 = MijVhVi, lGijth] = —cMuVh, |
(2.252) |
где M tj = Ion, ftJv/iVi— скачки вторых производных тен зора Oij по нормали.
Из соотношений (2.239) следует, что |
|
[e&.»] = \ (Ltvj + L&) = [|ii] /у. |
(2.253) |
Соотношение (2.253) совпадает с соотношением (2.242), откуда следует, что на поверхности разрыва должно иметь место равенство (2.244).
Дифференцируя уравнения равновесия по некоторому направлению хн и взяв разность полученных соотношений с разных сторон от поверхности разрыва, получаем, что
величины |
должны удовлетворять |
равенству |
|
М ijVj = 0. |
(2.254) |
Дифференцируя поверхность нагружения (2.218) один раз по времени, второй раз по нормали, после состав ления разности полученных соотношений с различных сторон поверхности разрыва и исключения скачков
производных при помощи |
условий совместности (2.252), |
получим |
(2.255) |
— cMijfij + |
|
Подставляя значение |
из соотношений (2.244) в |
(2.255) и учитывая равенства (2.254) на поверхности разрыва, найдем, что
df
(2.256)
deij
Так как для устойчивых упрочняющихся жестко пластических сред, согласно результатам § 8 главы I:
то на поверхности разрыва [р*] = 0 , а из уравнений (2.253) следует, что скачки производных тензора скоро стей деформаций обращаются в нуль.
Таким образом, если поверхность нагружения устой чивого упрочняющегося жестко-пластического тела вы пуклая, то поверхностей разрыва производных скоростей деформаций и напряжений при ц° =f= 0 не существует.
Пусть на ^-поверхности разрыва напряженное состоя ние таково, что поверхность нагружения имеет направ ление уплощения. Тогда существуют такие тц^, отличные от нуля, нри которых равенство (2.251) будет выполнено.
Выберем оси декартовой системы координат совпада
ющими с главными осями тензора |
тогда из соотноше |
|||||
ний (2.240) |
будет следовать |
|
|
|
||
|
ЛцЛ^ |
= |
^22^2 = О* Лзз^з = |
(2.257) |
||
Так как все |
в нуль не обращаются, то из (2.257) |
сле |
||||
дует, что |
одно |
или |
два главных |
значения |
тензора |
r\tj |
должны обращаться в нуль. Не обращающимся в нуль главным значениям должны соответствовать направле ния, касательные к поверхности разрыва. То есть тензор г)ц может быть представлен в виде:
Ъи = ‘ПпМ; + Л2 2 Mimj, |
(2.258) |
где Z,-, mi — направляющие косинусы первого и второго главных направлений тензора тцу.
S 10]
Подставляя значения (2.258) в уравнения (2.239) — (2.241) , получим
+ |
Lpi) = [и-n] fa + V-°(r\ufijknhln + |
Wirtn^icWn). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.259) |
|
4 u W t |
+ |
ЛгъЩГШУ) = |
0 , |
|
(2.260) |
|
|
^lllfij^ih |
“l" Л2 2 fl/M’OM’J ~ |
O' |
|
(2.261) |
||
Если |
т)л =f= 0 и ti2 2 |
=/= 0, то |
из |
соотношений |
(2.260) |
||
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
iftVft = |
0 |
, mhVh = |
0 . |
|
|
(2.262) |
Умножая равенство (2.258) на ltlj и |
получим |
||||||
IvZAfijhh |
+ \L°(i\ufijhJiljlhln + |
^ f i j k r j n h m j i l j ) |
= О, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.263) |
|
+ \L°(i\nfijknliljm kmn + |
г\ Лцнпт1ТП;тктп) = |
|||||
|
|
|
|
|
= |
0. |
(2.264) |
Соотношения (2.261), (2.163), (2.264) представляют со-
бой систему трех уравнений относительно [м£], Ли и г\22. Эта система имеет отличное от нуля решение, если опре делитель ее обращается в нуль. Раскрывая определитель после несложных преобразований, получим
fmn (1pihl tmimi—fptmPmilili) •iU rhm , тп—frsmrm3lHln)= 0 . (2.265)
Отметим, что для того чтобы существовало нетриви альное решение системы уравнений (2.239) — (2.241) при (А0 =/= 0, необходимо, чтобы имели место равенства (2.251), (2.241) и (2.265), (2.257).
То есть, чтобы существовала поверхность разрыва про изводных напряжений, необходимо, чтобы в точках этой поверхности имело место напряженное состояние, при котором на поверхности нагружения имеется направление уплощения, определяемое тензором Д17-, причем тензор Аи должен иметь одно главное значение, равное нулю.
Равенство (2.265) является достаточным условием для существования нетривиального решения уравнений (2.239) - (2.241).
Покажем, что равенство (2.265) может быть выполне но, если на поверхности нагружения имеется направление уплощения, определяемое тензором Д^ таким, что одно главное значение этого тензора обращается в нуль. Дей ствительно, если такое направление существует, то, пола
гая, что тензор |
г\и пропорционален Д п о л у ч |
и м , |
что |
fijkn (Vnhlj + |
+ r\22mhmn) = |
0 . |
(2.266) |
Однако так как fijhlj и fijiUiiTij связаны с rju и Л2 2 соотношением (2.261), то соотношение (2.265) будет вы
полнено тождественно.
Таким образом, в упрочняющемся жестко-пластиче ском теле могут существовать поверхности разрыва произ водных напряжений и скоростей деформаций, если на поверхности нагружения этой среды существуют направ ления уплощения, характеризуемые тензором Д^, таким, что одно главное значение тензора Д1 7 обращается в нуль.
Из соотношений (2.262) следует, что направление нор мали к поверхности разрыва совпадает с главным на правлением тензора Дг-7-, вдоль которого главное значение обращается в нуль. Характеристический тензор скачка производных напряжений г]17пропорционален тензорному направлению уплощения Д^.
Наконец, рассмотрим случай, когда тензор г\ц имеет два главных направления, обращающихся в нуль. Из соотношений (2.251) при этом следует, что на поверхности нагружения должно иметь место направление уплощения, характеризуемое тензором Д^, у которого два главных значения равны нулю.
Очевидно, что рассматриваемый случай является част ным случаем проведенного выше анализа.
Вы в о д: В упрочняющемся жестко-пластическом теле
вслучае гладкой поверхности нагружениямогут существо
вать q-поверхности разрыва двух видов:
а) поверхности скольжения, на которых скорости пла стических деформаций равны нулю (ц0 = 0 );
б) поверхности, направление нормали к которым сов падает с главным направлением нулевого главного значе ния тензора Д^-, характеризующего направления уплоще ния поверхности нагружения,