книги / Теория упрочняющегося пластического тела

При выполнении ассоциированного закона течения име­

Если перейти к пространству действительных напряжений, то из (4.66) и (4.61) получим

Итак, если определены функции нагружения (4.56) и ассоциированный закон течения, то существует диссипа­ тивная функция/)0, играющая роль потенциала активных напряжений. В пространстве действительных напряжений связь Oij-eij определяется соотношением (4.67).

Покажем, что возможно построение теории, в основе которой лежит определение диссипативной функции, а функция нагружения и ассоциированный закон течения имеют место как следствие основных предположений. Предположим, что имеет место

Сформулируем принцип максимума

(4.69)

где e*j — вектор возможной скорости деформации, лежа­ щий внутри объема, ограниченного поверхностью равного уровня диссипативной функции в пространстве деформа­

ций. Иными словами, для выполняется неравенство

D (4 ) < D (BW-

Как следствие неравенства (4.69) имеет место ассоци­

Из (4.70) следует, что для однородных функций D0 вели­ чина X — постоянная.

Предположим, что функция D0 — однородная первой степени относительно компонент егу, следовательно, X = 1,

(4.70) можно получить некоторое конечное соотношение вида (4.56), определяющее функцию нагружения.

Повторяя дословно рассуждения, приведенные в § 9

Итак, функция нагружения (4.56) и ассоциированный закон течения (4.71) являются следствием определения диссипативной функции (4.68) и принципа максимума (4.69).

Для каждого из внутренних элементов пластичности

Фпй? - $ +1)) = о может быть проведено аналогичное построение и определена соответствующая диссипативная функция.

В качестве примера рассмотрим функцию нагружения

Определим диссипативную функцию. Возводя (4.73) в квадрат, получим

Отметим частные случаи. При г| = 0 имеет место тео­ рия трансляционного упрочнения, определенная соотноше­ ниями (4.13), (4.14). Для этой теории

Из (4.79) следуют соотношения теории трансляционного упрочнения (4.13), (4.14).

При а — 0 имеет место случай вязко-пластического тела (тело Бингама).

Искомая диссипативная функция, согласно (4.87), (4.86), (4.8) , будет иметь вид:

D = (e?e?)v- [к + а . (4.88)

Сделаем следующее замечание. В основу построений соотношений теории вязко-пластической среды выше были положены представления, приводящие к теории анизо­ тропного упрочнения в теории пластичности (соотношения (4.62) при т] = 0 и последующие). Однако в результате получены соотношения (4.85), (4.83) соответствующие тео­ рии изотропного упрочнения в теории пластичности (4.8), (4.9) . Вообще, если в теории упрочняющихся пластичес­ ких тел для зависимости т = к + аур можно построить как теории изотропного, так и анизотропного упрочнения, то в теории вязко-пластических сред оба подхода приво­ дят к соотношениям всегда изотропной среды. Это обстоя­ тельство всегда связано с тем, что механизм вязкости сам по себе не может привести к появлению анизотропии. Приобретенная анизотропия материала всегда связана с механизмами сухого трения — механизмами пластич­ ности.

Отметим, что рассмотренное вязко-пластическое тело Бингама имеет индекс Pv; здесь основным является ме­ ханизм пластичности, что, собственно, подчеркивается и самим названием среды.

В основу построений сложных сред и, в частности, вязко-пластического тела могут быть положены кусочно линейные потенциалы элементов вязкости и пластич­ ности. Такое построение проведено в работе [8].

Б. Д Е Ф О Р М А Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р И И

ПЛ А С Т И Ч Н О С Т И

§7. Общие соотношения деформационной теории

Рассмотрим некоторые общие свойства тензорной свя­ зи между напряжениями и деформациями в декартовой

сеть эта связь, являются скалярами. Изотропная тензор­ ная связь напряжений и деформаций, очевидно, соответ­

ствует среде, сохраняющей свойства изотропии при де­ формировании.

Симметричные тензоры напряжений и деформаций имеют по три независимых инварианта

С помощью операций умножения тензоров, умноже­ ния на функции их инвариантов, сложения могут быть образованы новые тензоры полиноминального вида:

etj удовлетворяют своим характеристическим уравнения vt

Соотношения (4.90) позволяют установить рекуррент­ ные соотношения для степеней тензоров выше третей, поэ­ тому полиномы (4.89) могут быть представлены в общем случае в виде:

Согласно (4.91) изотропная связь между тензорами напряжений и деформаций может быть представлена в виде:

Если постулировать изотропную связь между девиаторами е-;- и а'ц, то аналогично можно прийти к зависи­ мостям:

антов девиаторов напряжений 2 ., 2з и деформаций/?^ Е3:

Соотношения (4.92) допускают существование потен­ циалов деформаций U и напряжений W таких, что

Соотношения (4.95) также допускают существование потенциалов деформаций U' и напряжений W ' таких, что

тогда

Согласно (4.102) необходимые и достаточные условия существования потенциалов £7', W' имеют вид:

dS[ dS2 дТ[ дТ2

Деформационные теории пластичности характеризуют­ ся зависимостью между компонентами тензоров напряже­ ний и деформаций при нагружении

при разгрузке

Материал может иметь независимые свойства ани­ зотропии как по упругим, так и по пластическим дефор­ мациям. В данном случае, согласно (4.103), (4.104), материал обладает упругими анизотропными свойст­ вами, характеризуемыми тензором анизотропии В дальнейшем, для простоты, будем полагать связь между

тензорами пластических деформаций и напряжений изо­

тропной, тогда зависимость efj = фг*у(сгль, кп), согласно (4.92), примет вид:

Как обычно, будем полагать, что пластические дефор­ мации удовлетворяют условию несжимаемости, тогда, согласно (4.7), соотношения (4.105) принимают вид:

В общем случае при зависимостях (4.106), (4.107) ра­ бота напряжений на пластических деформациях зависит от пути нагружения. Независимость работы от пути нагружения будет иметь место при наличии потенциала

деформаций, то есть когда функции £ т , S’m (т = 1,2) удовлетворяют условиям (4.99), (4.102). В этом случае соотношения деформационной теории пластичности при нагружении по существу совпадают с соотношениями фи­ зически нелинейной теории упругости.

Соотношения (4.108), очевидно, при любом Si опре­

деляют зависимость ai;-e?y, при которой работа нап­ ряжений не зависит от пути нагружения.

Отметим, что если соотношения ajy-efy теории плас­ тичности определены в виде

$3 = фij ij’ Xn kn),

то зависимость от параметров Xi всегда определяет влия­ ние пути нагружения на деформированное состояние.