книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Используя определение диссипативной функции, мож­ но записать критерий нагружения: D ]> 0. Соотношения

где Сн играют роль, аналогичную A\f или Вкъ соотноше­ ниях (1.14).

Если поверхность диссипативной функции имеет осо­ бенность типа ребер, конических или угловых точек, то подобная особенность может быть рассмотрена как пере­

На рис. 9 показано соответствие между поверхностью нагружения и поверхностью равного уровня диссипатив­ ной функции.

Выпуклым участкам поверхности нагружения АВ, АС соответствуют выпуклые участки ab, ас диссипативной функции. Особенностям А, В, С функции нагружения со­ ответствуют участки невогнутости аа, ЪЪ, сс диссипатив­ ной функции. И, наконец, участку невогнутости ВС соот­ ветствует острый угол Ъс.

Используя определение диссипативной функции (1.77), можно дать интерпретацию параметру ц°, входящему в со­ отношение ассоциированного закона течения (1.31). Из (1.77), (1.31) следует

Если функция нагружения может быть представлена в виде / = ср — к = 0, где к = const, ф — однородная функция порядка т компонент ai;«, то (1.94) можно пере­ писать в виде:

Таким образом, ц0 прямо пропорционально удельной скорости рассеяния механической энергии. Функция уп­ рочнения связана в этом случае с диссипативной функцией соотношением

Аналогично для сингулярных поверхностей нагруже­ ния, е с л и /(9) = ф (9 ) — к* = 0, где ф^ — однородная функ­ ция порядка mq, из (1.52) можно получить

§10. Постулат Драккера (постулат устойчивости)

Воснову построения теории пластичности вместо прин­ ципа максимума Мизеса может быть положен постулат Драккера.

Предположим, что упруго-пластическое упрочняющее­ ся тело находится под действием некоторой системы внеш­ них сил Fh Pi, где Ft — массовые, pt — поверхностные силы. Предположим, что к телу прикладывается, а затем снимается некоторая дополнительная нагрузка. Постулат Драккера утверждает: 1) работа, производимая дополни­ тельной нагрузкой при нагружении, будет положителъ*

ной] 2) работа, производимая дополнительной нагрузкой за полный цикл нагружения и разгрузки,— неотрицатель­ ной. Подчеркнем, что речь идет о работе дополнительных усилий на перемещениях, вызываемых всей приложенной

нагрузкой.

Рассмотрим следствия постулата Драккера для одно­ родного напряженного состояния тела. Начальное напря­

поверхность нагружения под действием приращений на­ пряжений Да*у приобретает новое положение, показанное на рис. 10 пунктиром. При перемещении точки нагруже­

чае напряженное состояние рассматриваемого однородно напряженного тела будет снова соответствовать точке Ро (о0*;)-Работа, произведенная за полный цикл нагрузки и разгрузки дополнительными усилиями, будет равна

В выражение (1.98) не входят компоненты упругих дефор­ маций, так как работа дополнительных напряжений на них за замкнутый цикл нагрузки и разгрузки будет равна нулю.

Рассмотрим два основных случая:

1. Величина сг?;- является произвольным напряженным состоянием внутри области Q, а Дo tj — сколь угодно ма­

лое приращение напряжений, поэтому при оц — a?,- =f= О можно считать, что величина Д и м е е т более высокий

порядок малости, по сравнению с величиной o tj — а?;-. Отсюда равенство (1.98) можно записать

Соотношение (1.99) совпадает с неравенством, устанавли­ ваемым принципом максимума Мизеса, рассмотренным в § 5 со всеми вытекающими из него следствиями.Таким образом, принцип максимума Мизеса может быть получен как следствие постулата Драккера.

поверхности нагружения. Легко видеть, что из (1.100),

нальность вектора скорости пластической деформации е?;- к поверхности нагружения (ассоциированный закон те­ чения).

Материал, удовлетворяющий неравенству (1.100), мож­ но назвать устойчивым. Качественным признаком устой­ чивости системы является то обстоятельство, что малые внешние возмущения вызывают малые изменения реакции на эти возмущения и в системе не появляются значитель­ ные (конечные) изменения конфигурации.

Неравенство (1.100) исключает из рассмотрения упруго­ пластические материалы, зависимость о-ер которых об­ ладает неустойчивостью, указанной на рис. 5, б. В самом деле, для подобных материалов после достижения точки А на рис. 5, б поверхность нагружения смещается внутрь первоначальной (рис. 5, а), поэтому найдутся такие при-

где ер = 7 3е£, е$ = eg- — epSu-, р° > 0. Первое соотно­ шение (1.104) определяет сжимаемость, связанную с воз­ никновением в теле сдвиговых пластических деформаций и обусловленную зависимостью пластических свойств от первого инварианта тензора напряжений.

Процессу разрыхления будет соответствовать положи­ тельное значение множителя df/da в ассоциированном за­ коне течения (1.104). Случай df/do < 0 соответствует про­ цессу уплотнения материала. Однако если в теле не достиг­

нуто состояние текучести, то есть / (a, cry, еу, %п 1ц) < 0, то тело ведет себя как упругое (или жесткое).

Можно предположить, что для данного пластического тела независимо от достижения телом состояния текуче­

Закон разгрузки должен быть установлен независимо. Укажем на условия, при которых выполняется соотно­

шение (1.106). Пусть в некоторый момент нагружения имеет место необратимая деформация ер. Тогда для ак­ тивного процесса нагружения необходимо, чтобы давле­ ние о удовлетворяло соотношению (1.105). В зависимости от знака а будет происходить либо активное деформирова­ ние, либо разгрузка. Если значение о не удовлетворяет соотношению (1.105), необратимый процесс возможен при выполнении условия текучести (1.102).

Сжимаемость, определяемая соотношениями (1.104) и (1.106), носит совершенно различный характер. Сжимае­ мость, определяемая соотношениями (1.104), существенно связана с формоизменением материала, и если материал подвергнут только гидростатическому давлению, то она, вообще говоря, никак не проявляется. Наоборот, сжимае­ мость, определяемая соотношением (1.106), никак не свя­ зана с формоизменением и полностью определяется из экспериментов на всестороннее растяжение-сжатие.

Закон течения (1.106) можно рассматривать как ассо­ циированный с функцией нагружения (1.105). В простран­

На рис. 11 условие текучести (1.108) представлено прямыми АВ и АС. Условие (1.105) — прямой ВС. Рас­ смотрим процесс деформирования при постоянном напря­ женном состоянии, соответствующем точке нагружения D (рис. И, а). В этом случае наряду со сдвиговыми дефор­ мациями ^9 0 имеет место процесс разрыхления ер =f=* 0.

Обычно с разрыхлением материала давление а, необходи­ мое для необратимого изменения объема, уменьшается. Это свойство материала описывается функцией е9 = ф (а). Предположим, что это обстоятельство имеет место, тогда с развитием разрыхления изменяется величина е9 и учас­ ток границы текучести ВС будет приближаться к точке D. В момент, когда участок ВС достигнет точки/) (рис. 11,6), ассоциированный закон (1.109) следует заменить законом (1.110). При этом происходит следующее: дальнейшее раз­ рыхление материала происходить не может, так как оно привело бы к снижению сопротивления материала объем­ ному давлению, то есть дальнейшему движению прямой ВС (на рис. 11, 6) далее к точке Л, что невозможно, так как о = const. В свою очередь невозможно уплотнение ма­ териала, что привело бы к увеличению сопротивления ма­ териала объемному сжатию, то есть смещению плоскости ВС в обратную сторону, что также исключается условием о = const. Следовательно, соотношения (1.110) примут

Связь между сдвиговым и объемными деформациями часто характеризуется дилатансионной зависимостью ev-yv. В рассмотренном выше процессе нагружения в точке D дилатансионная зависимость, согласно соотно­ шениям (1.109), определяется выражением

Когда отрезок ВС достигает точки/), из условия ер = 0 получим ер = е0 = const. Таким образом, дилатансионная

зависимость (рис. 12, а) будет определяться соотно­ шениями:

ер = V3*iTp при Тр< -^ -е 0;

ер = е0 при гр > -^ -«о-

Рассмотренную модель можно использовать для при­ ближенного описания дилатансионных свойств грунтов. На рис. 12, б приведена типичная для грунтов дилатансионпая кривая.

§12. Идеально-пластическая среда

Видеально-пластическом материале напряжения не могут превосходить некоторого определенного предела

текучести. В этом случае поверхность текучести и упру­ гая область фиксированы и не зависят от истории нагру­ жения. Условие текучести рассматривается в виде:

Из (1.112) следует, что при нагружении и нейтральном нагружении

Соотношения ассоциированного закона пластического течения следуют из принципа максимума Мизеса. Общие соотношения закона связи о^-е^- имеют вид:

или Цд не являются постоянными или фунЯциАш неко­ торых определяющих параметров, характеризующих