книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Величина X определяется согласно (4.175), (4.176), откуда

Мерой пластической деформации считается величина еи = (ецец)Ч*. Пластическая деформация неизменна, если

центральными механизмами пластичности и т. ц. позволя­ ют дать следующую интерпретацию теории малых упруго­ пластических деформаций: эта теория справедлива при

любых нагружениях, при любой зависимости еи- о и, о-е. Мерой пластической деформации является вели­

чина еи (соответственно аи). Сами компоненты деформации могут изменяться обратимым образом путем нейтраль­

ного нагружения (еи = const). Всякое деформирование,

при котором deu = 0, не является пластическим.

В § 8 этой главы изложены соображения об ограничен­ ности приложений деформационных теорий к описанию пластического течения; очевидно, эти соображения явля­ ются следствием предположения о таких деформационных

связях е%- Gi§i приводящих к возникновению прираще­ ний пластических деформаций в направлениях, отличных от нормального к поверхности нагружения, в том числе и при нейтральном нагружении. В этих деформационных теориях приращение пластических деформаций происхо­ дит как за счет вектора Деп, так и за счет вектора Дет.

В предложенной теории максимальная величина ои =

=к г + /с2, вообще она зависит от косинуса угла между

векторами е'ц и de[j. Из соотношений (4.191) в частном случае имеют место соотношения классической теории идеальной пластичности при к г = 0, /с2 =^= 0 и деформа­ ционной теории идеальной пластичности при к г =f= О,

к2 = 9 .

§13. Аналогия между деформационной теорией упрочняющегося жестко-пластического материала

йтеорией вязко-пластичности.

Некоторые решения

Известно, что существует так называемая вязко-упру­ гая аналогия: соотношения теории упругости можно рас­ сматривать как соотношения вязкой жидкости, если трак­ товать компоненты деформации как компоненты скорости деформации и соответственно перемещения — как скоро­ сти перемещения.

Соотношения деформационной теории упрочняюще­ гося жестко-пластического материала можно рассматри­ вать как соотношения теории вязко-пластичности, если трактовать компоненты деформации и перемещения как компоненты скорости деформации и скорости перемеще­ ния. В зависимости т = к + т]Г величина к является пределом пластичности, а величина т] для деформацион­ ной теории пластичности является касательным модулем, а для теории вязко-пластичности — коэффициентом вяз­ кости.

Рассмотрим некоторые решения теории вязко-пластич­ ности о течении среды в цилиндрах некругового сечения при наличии перепада давления, которые можно тракто­ вать как решения деформационной теории пластичности.

При вязко-пластическом течении часть материала мо­ жет находиться в жестком состоянии, эта часть материала называется жестким ядром. Предполагается, что имеет место прилипание среды на граничной поверхности к внешнему телу, то есть скорости перемещения (или пере­ мещения) на поверхности цилиндра равны нулю.

Введем подвижную систему координат, жестко свя­ занную с ядром, ось z направим параллельно образую­ щим цилиндра, оси я, у, расположим в плоскости его

Подставляя соотношения (4.199) в уравнение равновесия

Если подставить (4.201) в (4.200), получим одно не­ линейное дифференциальное уравнение в частных произ­ водных второго порядка. Будем искать частное решение в виде:

Ф = Г2U(Ф) + rv (ф),

X = 2 гм (ф) — v (ф), Y = чи,’ (ф) + и' (ф);

здесь штрих означает производную по ф.

Подставляя (4.202) в (4.200) и приравнивая члены с

Не уменьшая общности, в дальнейшем положим

Из второго уравнения (4.204) найдем

и = Сгsin ф + С2cos ф + 1 + Л (ф) sin ср + / 2 (ф) cos ф,

(4.206)

Из (4.206), (4.202), (4.198) следует, что изменение ве­ личин приводит к переносу начала координат х, у в точку х = Ci, у = Cv а изменение величины а в (4.204) при­ водит к повороту осей координат х, у на угол а. Поэтому в дальнейшем эти постоянные положим равными нулю:

На границе жесткого ядра w = О, у = О, поэтому С = 0. Окончательно для скорости частиц среды имеем решение

На контуре цилиндрической трубы, внутри которой происходит течение вязко-пластической среды, скорости IV = w0 — const, и из (4.211) находим зависимость у = ?(ф) на контуре трубы:

Полученные частные решения можно применять для изучения особенностей течения вязко-пластической среды в цилиндрической области замкнутого и незамкнутого профилей под действием постоянного перепада давления.

Для контуров трубы и ядра (4.213), (4.214) оси коор­ динат х, у являются осями симметрии. Из (4.213) и (4.203) следует, что прий 1 контуры поперечных сечений трубы и ядра замкнутые; в самом деле, при этих условиях решение справедливо для всех значений угла ф и ограничено.

Если а — б > 0, где б 1, то с точностью до малых высшего порядка из (4.213), (4.214) получим

хх= (1 + Y™o) (2 + б) cos ф + б Yw0sin ф sin 2<р + ...,

Ух = (1 + Y^o) (2 — б) sin ф +

х0= (2 + б) cos ф + . . . у0 = (2 — б) sin ф + . . .

(4.215)

В этом случае контур ядра имеет форму эллипса, а кон­ тур поперечного сечения трубы — форму овала (рис. 31).

Покажем, что если Ъ< О, а = —|/й2 — 6, то имеет место решение задачи о течении вязко-пластической среды

под действием постоянного перепада давления в области, клинообразной в плане (рис. 32). В этом случае застойная зона АВСО примыкает к границе клинообразной области и, следовательно, вдоль прямых АА', СС' имеет место w0 = 0.

При принятых условиях решение справедливо в диа­ пазоне

Фх<ф<Фг> Фх = 4 - агсс° з ( - 4 ) , фа = я — фх; (4.216)

именно в этом случае подкоренное выражение (a cos 2ф + 6)V* больше или равно нулю. Пусть ф = срх (или ф2). Предпо­

Величина у не является постоянной при ф — Фх (или Ф2), так как предел

может принимать различные значения в зависимости от

координат граничного контура.

Согласно (4.213), (4.212) параметрическое условие контура, ограничивающего течение вязко-пластической жидкости, будет иметь вид

Таким образом, согласно (4.219), (4.220), неподвиж­ ный контур представляет две пересекающиеся прямые. Область АВСО, прилегающая к вершине клина, находится в жестком состоянии. Уравнение этой линии определя­ ется из (4.214) при условиях (4.216). Координаты точки А сопряжения застойной зоны с областью течения найдем из (4.214), положив ф = фх. Получим

хА =003 9 ! + / 2(ф!), уА = з т ф 1 + / 1(ф1) — (3. (4.221)

Из (4.214) при ф = у ая найдем координаты точки