книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfКривая АВС, ограничивающая застойную зону, плав но сопрягается с границей области течения ОА\ О С Рас смотрим, например, точку А. Условие плавного сопря жения в ней имеет вид:
= |
— Ctg фх при |
<р = фх. |
(4.223) |
Из (4.214) найдем |
|
|
|
dy0 = (cos ф + |
йф, dx0 = |
— sin ф) dtp. |
(4.224) |
Подставив (4.224) в (4.222) и упростив выражение, полу чим
sincplV ' + C0S(P i-^r = ° ПРИ Ф = Ф1- (4-225)
Заметим, что
d /i __ |
cos q> |
dh |
с?Ф |
4а ( А — sin2 ф) ’ |
С?ф |
sin ф |
(4.226) |
|
4 а ( В + cos2 ф) |
||
|
Используя |
соотношения |
(4.226), а также |
выражения |
для А, В и т . |
д., подставляя их в (4.225), получим, что |
||
условие (4.225) действительно имеет место. |
В , ^ стр е |
||
При b |
— оо угол |
те/2, точки И, |
|
мятся к началу координат, то есть при увеличении угла раствора клина застойная зона в его вершине уменьша ется до нуля.
Построенное решение имеет место только для тупого клина. Продолжение решения в жесткую зону осуществ ляется по формулам (4.213). Так как в зоне АВСО зна чения у отрицательны, то, следовательно, напряжения в
этой области |
удовлетворяют уравнениям равновесия и |
не превышают предела текучести. |
|
Отметим |
также, что в построенных решениях урав |
нения замкнутых контуров зависят от величины перепада давления. Для клинообразной в плане области, согласно (4.219), (4.220), геометрия контура не зависит от перепада давления.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
В декартовой системе координат рассмотрим некоторую поверхность 2 , уравнение которой запишем в виде:
xi = xi(yu Уг). |
(!) |
гДе Уъ У2 — криволинейные координаты на поверхности. Векторы dxi/dy<x = а (а = 1,2) являются векторами, касательными к поверхности 2. Метрический тензор по
верхности определяется из равенства
gap = |
(2) |
здесь и в дальнейшем принимается правило суммирования по повторяющимся индексам, латинские индексы прини мают значения 1, 2, 3, греческие 1, 2.
Из ковариантных компонент метрического тензора можно получить контравариантные компоненты gaP, так что
|
gaog'» = £ ; |
(3 ) |
|
здесь б£ = 1, когда a = |
р, б£ = |
0, когда |
а ф |
Если v< — единичный вектор |
нормали |
к поверхности |
|
2 , то имеем следующие равенства: |
|
||
ViVi = 1, |
xia\i = 0. |
(4) |
|
Отметим, что при преобразовании криволинейной сис |
|||
темы координат на поверхности |
2 компоненты xif0Lизме |
||
няются как компоненты ковариантного вектора. Ковариантная производная вектора xita по направлена по
нормали, отсюда
xi,a(i — bafrVil |
(5) |
здесь baft — коэффициенты второй фундаментальной квад ратичной формы поверхности 2, которые определяются из равенства
= xi,apVj. |
(6) |
Укажем следующее тождество: |
|
Vi,a = |
(?) |
В справедливости тождества (7) убедимся, проектируя его
на vf, xita. Дифференцируя равенство (4) по |
уа, найдем |
Vi,aVt = 0. |
(8) |
Проектируя (6) на vf, получим |
|
Vi.aVi = — g ^ b f t a X ifyV i. |
(9) |
Из (4) и (8) следует, что обе части равенства (9) обраща
ются в нуль. |
(6) на xita, получим |
|
|||
Проектируя равенство |
|
||||
|
Vi,axi,a = |
gy^^^axi,rxi,a* |
(Ю) |
||
Левую часть равенства (10) можно |
представить в |
виде: |
|||
|
Vi.aSi,о = (V i£ i,o)ta — V ^ o a |
= |
— Ьаа. |
|
|
Аналогично для правой части равенства (10) имеем |
|
||||
— gyPh bxi,4xi.° = — g^hagya = — |
= — Ьаа. |
||||
Отсюда и следует справедливость тождества (7). |
коор |
||||
Пусть f(xt) — некоторая функция |
декартовых |
||||
динат |
хь. Если точка xt |
лежит на |
поверхности |
2, то |
|
xt = |
Xi(ya)j и функцию f можно рассматривать как функ |
||||
цию ух, у2на поверхности. Частные производные функции / по координатам пространства xt связаны с производ ными по криволинейным координатам уа соотношениями
/,» = / nVi + g a4 ,* X i,p , |
( И ) |
здесь |
/ п = fyivt — производная |
по нормали к поверх |
ности |
2. |
(11) при xt, принадлежа |
В справедливости равенства |
||
щих поверхности 2, можно убедиться, проектируя пра
вую и левую части (11) на vt, xit(X- |
2 |
изменяется со |
|
Если в пространстве |
поверхность |
||
временем, то |
|
|
(^-2) |
Xi |
*Pi{y<xi £)• |
|
|
Соотношения (1) — (И) справедливы в любой момент |
|||
времени и для движущейся поверхности |
2(£). |
||
Произведем выбор системы координат |
уа па подвиж |
||
ной поверхности 2(£). Пусть в каждой точке поверхности 2(£) в любой момент времени можно построить единич ный вектор нормали к этой поверхности. Тогда в точках пространства xt, через которые прошла поверхность 2(£), определено векторное поле vt(xj).
Предположим, что поле vt(xj) таково, что через каж дую точку поверхности 2(0) можно провести только одну интегральную кривую, для которой вектор vt направлен по касательной к этой кривой. Точкам поверхности 2, лежащим на интегральной кривой, будем приписывать в дальнейшем криволинейные координаты уа, которые име ет точка xt = Xi(y<x, 0). При таком выборе системы коор динат вектор яДг/а, t) направлен по нормали к поверх
ности 2 (г) и имеют место |
формулы |
|
(?/<*, |
t) = cv,, |
(13) |
здесь с — скорость распространения поверхности 2 |
в нап |
|
равлении нормали. |
|
|
Пусть в пространстве xt определена функция /(#,., г), |
||
зависящая от декартовых |
координат х-г и времени t. |
|
Тогда на поверхности 2(£) определена функция |
|
|
1 0 = /(j/a» 0*
Частную производную функции /(ya, t) по времени обозначим через bf/bt и назовем б-производной функции / по времени.
Для б-производной имеем выражение
TF = / + /.**!•
Подставляя значения |
из равенства (4), получим |
|
|
тй-= / + / » * . |
(14) |
Пусть функция f(xt, t) непрерывная и дифференцируе мая в каждой из областей F+ и F", примыкающих к по верхности S с двух сторон. На самой поверхности S функ ция / и ее частные производные могут претерпевать раз
рыв. Пусть |
/ + |
значение |
/ на поверхности |
Е при под |
||||||
ходе к Е по точкам области F+, а / “ — при подходе к Е по |
||||||||||
точкам области F” . |
|
|
в |
область |
F", |
а |
функцию |
|||
Продолжим |
функцию / + |
|||||||||
/~ — в область F+ так, чтобы |
каждая из них |
была не- |
||||||||
' прерывной и дифференцируемой в области F+ + |
F". Тогда |
|||||||||
для / + и |
на поверхности Е выполняются соотношения |
|||||||||
(11) и (14), |
то |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t Л = |
/nVj |
|
£ a^f,oLXi,Pi |
| |
|
|
^ |
|
|
|
Гл = |
/nv* + |
gaf7>i,0, |
J |
|
|
|
||
|
ж = / 4 + * . |
|
^ |
< |
|
< |
e |
> |
||
Вычитая из первых соотношений (15) и (16) соответ |
||||||||||
ственно вторые |
соотношения, |
получим |
|
|
|
|||||
|
|
[/.г! = |
[/„] V4 + |
|
|
|
|
(17) |
||
|
|
[/] = |
- [ / „ ] |
с |
f1; |
|
|
|
(18) |
|
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ / ] = |
/ + - / - , [/nl |
= fn— fn, |
|||||
|
|
|
[/] |
= |
/+ — /"• |
|
|
|
|
|
Соотношения (17) называются геометрическими усло виями совместности, а соотношения (18) — кинематичес кими условиями совместности.
Если функция / непрерывна на поверхности Е, то со отношения (17) и (18) переходят в условия совместности Адамара, которые имеют вид:
(/.<•] = [/„Ьь [/] = —I/Jc. |
(19) |
Пусть функция ф непрерывна на поверхности 2 *и в областях V+ и 7~, причем в каждой из этих областей функ ция ф имеет непрерывные первые и вторые производные, которые, вообще говоря, могут претерпевать разрыв на поверхности 2. Тогда, заменяя функцию / на производ ные функции ф из соотношений (17) и (18), получим
|
[ф,г;] — [(ф,г)п1 V/ “Ь |
|
[ф,т],а£у,р»' |
|
|||||
|
1(Ф),г] = |
[фп1Vi + ga(i [ф],а^г,р, |
|
|
|||||
|
[cp.il = |
-I(q>.1)»]e + |
б[ф-1 |
, |
(20) |
||||
|
- J f - , |
' |
|||||||
|
[ф] = — [срп] С + ^ |
• |
|
|
|
||||
Так как функция ф непрерывна на поверхности 2 , то |
|||||||||
из соотношений (19) следует |
|
|
|
|
|||||
|
[ф.Л |
= |
[ф т > ь |
[ф] = |
— [фп Ь . |
|
(21) |
||
Подставляя значения [ф^] в первое равенство (20), |
|||||||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
||
[ф .у] |
= [(ф,»)п1 V,- + |
g ali |
|
- |
g ^ g ^ b аа [фп1 X x>iXM . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
|
Поскольку |
величины |
[фд^] |
и |
ga^ga'cbaa^x,i3:^j — СИМ" |
|||||
метричные относительно индексов |
i и /, |
то должно иметь |
|||||||
место |
равенство |
|
|
|
|
|
|
||
Кф.Лп! V,- + g * * |
1ф„].«^*У.Э = 1(ф.,)„1 Vi + g af> [Фп1.а Vjei.p. |
(23) |
|||||||
Сворачивая |
равенство (23) с v;, получим |
||||||||
|
|||||||||
|
[(ф.Оп! = 1(ф.;)п1 V,Vi + |
[фп1.а®1.р. |
(24) |
||||||
Подставляя значение [(фл)п] из (24) в (22), найдем |
|
||||||||
1Ф ,«] |
= [фпп! ViV,- + |
gafl [фп].a (Vi^'.p + |
— |
|
|||||
|
|
|
|
— g ' t g ^ b oa [ф„] |
(25) |
||||
здесь |
[фпп] = |
[(ф,;)п К ;- = |
[ф,г}Ь |
^ . |
|
|
|||
Соотношения (25) являются геометрическими условия |
|||||||||
ми совместности для производных второго порядка |
не |
||||||||
прерывной функции ф. |
|
|
|
|
|
||||
Если первые производные функции ср непрерывны, то [фп] = 0, ииз (25) следует, что
|
[ф.«] = |
[<PnJv*Vy. |
|
(26) |
Подставляя значения [(<Pi)n) ] из (24) в третье уравнение |
||||
(20), получим |
|
|
|
|
1ф.|] = |
— [T.nlOVj |
—сГ‘, 1Ч>п1.Л.» + |
|
|
|
|
+ | 'М -Т Г - |
<27> |
|
Подсчитаем величину 8vi/8t. Из соотношений (4) сле |
||||
дует |
|
|
|
|
|
*i.« ~ W = |
~ vi |
|
(28) |
После |
свертки с g^Xj# соотношения |
(28)принимают |
||
вид: |
6v. |
|
л |
|
|
|
(29) |
||
|
g^Xi'bXj,з -ji- = — |
(х1л). |
||
Отметим тождество |
|
|
|
|
|
= |
Si,' — V4V,-. |
|
(30) |
В справедливости тождества (30) легко убедиться, проек
тируя его на xity, vf. |
(30), соотношение (29) можно |
|
Используя |
тождество |
|
представить в |
виде: |
|
|
6^ |
бх, „ |
|
8t |
Vjgali2i,P - g jr ■ |
Так как 8xjtCl/&t = я;-,а = (cvj),a, то б - производная вектора единичной нормали определяется выражением
6v{
(31)
“ бГ
Используя (31), соотношения (27) запишем в виде:
б [ср |
1 |
Г<Ы = - [«PnJcvj + |
«Ф„1 с)>вая.э. (32) |
Подставляя значение [ф] из (19) во второе уравнение (20), найдем
[<Ы= [фп! —£аР«Фп1 с).а^.Р- |
(33) |
Из соотношений (32) и (33) определим величину [фп], получим
[фп! = —1Фпп1 С+б (фп]6t |
(34) |
Подставив значение [фп] из (34) в четвертое уравнение (20), найдем
6[<PJ\ |
в([«рп]с) |
6f ) |
(35) |
6 1 |
Соотношения (32), (35) называются кинематическими условиями совместности для вторых производных непре рывной функции ср. Если непрерывны и первые производ ные ф, то [фп] = 0, и соотношения (32) и (34) переходят в
кинематические условия совместности Адамара:
[ф] = С2[ф„„], |
= — [(panlcVj. |
(36) |
Рассмотрим некоторую функцию /(#,-, t), которая в каждой из областей V+ и V~ имеет непрерывные производ ные до /с-го порядка включительно. Пусть производные (к — 1)-го порядка непрерывны на поверхности 2. Тогда рассуждениями, аналогичными вышеизложенным, полу чим, что скачки частных производных порядка к выража ются по формулам
/Wi
/ ! i b i = l / r i v ^ . - . v , ,
аг/ (*-r) - г#) |
(37) |
I/n |
] ViVj-.-.V, ( — c)r |
dtr |
|
Соотношения (37) называются геометрическими и ки нематическими условиями совместности для производных порядка к функции /, у которой производные (к — 1)-го порядка непрерывны.
ЛИТЕРАТУРА
К г л а в е I
1.Д р а - к к е р Д . , 0 постулате устойчивости материала в механи ке сплошной среды, пер. с англ., Механика, сб. перев., N° 3, 1964.
2. |
И в л е в |
Д. Д., |
О диссипативной |
функции упрочняющихся |
3. |
пластических сред, ДАН СССР 176, № 5, 1967. |
|||
И в л е в Д. Д., |
Теория идеальной |
пластичности, «Наука», |
||
|
Москва, |
1966. |
|
|
4.К л ю ш н и к о в В. Д., О законах пластичности для материа лов с упрочнением (обзор), ПММ 22, вып. 1, 1958.
5.К о й т е р В., Соотношения между напряжениями и деформа циями, вариационные теоремы и теорема единственности для упруго-пластических материалов с сингулярной поверхностью текучести, пер. с англ., Механика, сб. перев., № 2, 1960.
6. |
К о й т е р |
В., |
Общие |
теоремы теории упруго-пластических |
|
7. |
сред, пер. с англ., ИЛ, Москва, 1961. |
|
|||
П е ж и н а П., М р у з |
3., О л ь ш а к В., Современное состоя |
||||
8. |
ние теории пластичности, пер. с англ., «Мир», |
Москва, 1964. |
|||
Р а б о т н о в |
10. И., |
Ползучесть элементов |
конструкций, |
||
|
«Наука», |
Москва, 1966. |
|
|
|
9.С е д о в Л. И., Введение в механику сплошной среды, Физматгиз, Москва, 1962.
10.Х и л л Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ., ИЛ, Москва, 1956.
И. Ц и г л е р Г., Экстремальные принципы. Термодинамика необ ратимых процессов и механика сплошной среды, пер. с англ., «Мир», Москва, 1966.
|
|
К |
г л а в е II |
|
1. Б ы к о в ц е в Г. И., |
И в л е в Д. Д., |
М я с н я н к и н Ю . М., |
||
О соотношениях па поверхностях разрыва напряжений в трех |
||||
мерных идеальных жестко-пластических телах, ПММ 32, вып. |
||||
3, |
1968. |
Д. Д., Теория идеальной |
пластичности, «Наука», |
|
2 . ‘ И в л е в |
||||
Москва, |
1966. |
|
|
|
3.С е д о в Л. И., Введение в механику сплошной среды, Физматгиз, Москва, 1962.
4.Т о м а с Т., Пластическое течение и разрушение твердых тел, пер. с англ.. «Мир», Москва, 1964.
5.Х и л л Р., Соотношения на разрывах в механике деформируе
мых тел, пер. с англ., Механика, сб. перев., № 3, 1963.
Кг л а в е III
1.B o y c e W. Е., P a r g e r W ., On rigid work hardening, solids with singular yield conditions, J. Appl. Mech. and Physic solids, 1957, 6, № 1.
2.К о й т е р В., Общие теоремы теории упруго-пластических сред,
пер. с англ., ИЛ, Москва, 1961.
3.X и л л Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ., ИЛ, Москва, 1956.
4.Х и л л Р., О проблеме единственности в теории жестко-пла
стических тел, пер. с англ., Механика, сб. перев., № 4, 1957.
|
|
|
|
|
|
К г л а в е IV |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Б е р е ж н о й |
И. А., О некотором инвариантном представле |
||||||||||||
|
нии между векторами силы и скорости для двумерной пластиче |
|||||||||||||
2. |
ской модели, МТТ, № 5, 1968. |
|
О влиянии вязкости на |
|||||||||||
Б е р е ж н о й |
И. А., |
И в л е в Д. Д., |
||||||||||||
|
механическое поведение пластических сред, ДАН СССР, |
163, |
||||||||||||
3. |
№ 3, |
1965. |
|
И. А., |
И в л е в Д. Д., М а к а р о в Е. В-, |
|||||||||
Б е р е ж н о й |
||||||||||||||
|
О диссипативной функции в теории вязко-пластических сред. |
|||||||||||||
|
Проблемы механики твердого деформированного тела, «Судо |
|||||||||||||
|
строение» (к 60-летпю акад. В. В. Новожилова), Ленинград, |
|||||||||||||
|
1970. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Б е р е ж н о й И. А., И в л е в Д. Д., М а к а р о в Е. |
|
|||||||||||||
|
О деформационных моделях пластичности и сложных сред, |
|||||||||||||
5. |
ПММ 34, вып. 3, 1970. |
|
|
В., И в л е в Д. Д-» |
||||||||||
Б ы к о в ц е в Г . И .,Д у д у к а л е н к о В . |
||||||||||||||
|
О функциях нагружения анизотропно упрочняющегося п л а с т и |
|||||||||||||
6. |
ческого материала, ПММ 28, вып. 4, 1964. |
|
О вязко-пласти |
|||||||||||
Б ы к о в ц е в |
Г. И., |
Ч е р н ы ш о в |
А. Д., |
|||||||||||
|
ческом течении в некруговых цилиндрах при наличии перепада |
|||||||||||||
7. |
давления, ПМТФ, № 4, 1964. |
О некоторых случаях |
инте |
|||||||||||
Е р ш о в |
Л . В . , |
И в л е в Д. Д., |
||||||||||||
|
грируемости соотношений теории упрочняющихся пластиче |
|||||||||||||
|
ских |
сред |
при |
сингулярных поверхностях |
текучести, |
МТТ, |
||||||||
8. |
№ 1, |
1967. |
|
|
В. А., И в л е в |
Д. Д., |
Об |
уравнениях вДЗ- |
||||||
З н а м е н с к и й |
||||||||||||||
|
ко-пластического тела при кусочно-линейных потенциалах» |
|||||||||||||
9. |
Изв. АН СССР, мех. и машиностр., № 6, 1963. |
|
|
1» |
||||||||||
И в л е в Д. Д., К теории сложных сред, ДАН СССР, 148, № |
||||||||||||||
10. |
1963. |
|
Д. Д., |
К теории неустановившейся ползучести, |
£б. |
|||||||||
И в л е в |
||||||||||||||
|
«Проблемы |
механики |
сплошной |
среды», |
Изд-во |
АН |
СС^Р |
|||||||
|
(к 70-летию |
акад. Н. И. Мусхелишвили), |
Москва, |
1961. |
|
|
||||||||