книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfИз (1.1) следует
е |
, |
р |
. |
de{j |
гИ= еу + |
eg-, |
еij = ei;- = |
- jf - , |
|
|
|
|
|
(1.2) |
где eij — полная |
скорость |
деформации, е-3-, eg — соот- |
||
ветственно компоненты скорости упругой и пластической деформации. Точка наверху здесь и всюду далее означает производную по времени.
Компоненты упругой деформации связаны с напряже нием законом Гука. В общем случае можно записать г)
} (1-3)
Тензор упругих коэффициентов обладает свойствами симметрии:
(1.4)
Энергию упругой деформации единицы объема можно записать в виде:
^ ' = 4 < W W > °- |
(1.5) |
|
Знак неравенства в (1.5) имеет место, если не все ком поненты напряжения равны нулю.
Для изотропного упругого тела соотношения закона Гука могут быть записаны в виде:
где G, Е, v — соответственно модуль сдвига, модуль упру гости, коэффициент Пуассона; штрих приписан компо-
х) Здесь и всюду, если не оговорено особо, принято суммирова ние по повторяющимся индексам. Индексы е, р наверху сохранены для обозначения упругой и пластической составляющих соответст вующих К°мХюпент. Далее будут встречаться индексы суммирова
ния наверху. Они заключены в круглые скобки (например, tyqd'j^ — суммирование по индексу д).
нентам |
девиаторов: |
е'ц = etj — Ь^е, о'ц = Оц — ЬцО |
||||
(bij = |
1 при i = /, 6^ = |
0 при |
i =£= /). |
|
||
Энергия упругой деформации единицы объема в этом |
||||||
случае имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
W e = |
^ 2" ^ |
a o,<3ij |
2е |
(6 кк )21 |
( ^ * 7 ) |
где Оц |
ох, о12 |
пластичности |
диаграмму а = |
е ап |
||
Обычно в теории |
||||||
проксимируют схемой (рис. 2), состоящей из двух участ ков: отрезок прямой ОА, соответствующий упругому со стоянию материала, и отрезок AM, соответствующий
Рис. 2.
состоянию пластичности. На рис. 2, а изображена зависи мость о-е для идеально-пластического материала, в этом случае точка А соответствует пределам пропорциональ ности, упругости и текучести одновременно. На рис. 2,6, в показаны зависимости о-е для материалов с линейным и нелинейным упрочнением, в этом случае точка А соответ ствует пределам пропорциональности и упругости.
В случае жестко-пластического материала упругие де формации считаются равными нулю и полные деформации
совпадают |
с пластическими |
Соответствующие диа |
граммы о-е |
изображены на |
рис. 2, г, д, е. Жестко-пла |
стическое тело можно рассматривать как предельный случай упруго-пластического при 0^^-+- О, G ->■ оо.
Однако жестко-пластическое тело, введенное непосред ственно, обладает большим многообразием свойств по срав нению с моделью жестко-пластического тела, рассматри
ваемой как предельный случай модели упруго-пластиче ского тела.
Подобное обстоятельство можно объяснить следующим образом: например, модель изотропного, однородного уп рочняющегося жестко-пластического тела можно рассмат ривать так же, как предельный случай анизотропного жестко-пластического тела, неоднородного жестко-пла стического тела, вязко-пластического тела и т. д., причем полученные таким образом предельные модели жестко пластического тела могут обладать, вообще говоря, раз личными свойствами. Модель жестко-пластического тела, введенная непосредственно, обнаруживает многообразие свойств, соответствующих, вообще говоря, различным предельным моделям жестко-пластического тела. Поэто му модель жестко-пластического тела занимает самостоя тельное положение и должна быть рассмотрена независимо от модели упруго-пластического тела и т. д.
§3. Поверхность нагружения. Упрочнение
иразупрочнение
Для дальнейшего удобно ввести шестимерное прост ранство напряжений П, в котором декартовы координаты точки равны компонентам симметричного тензора Каждому значению тензора в пространстве П соответ ствует некоторая точка или вектор а с компонентами а,-; с началом в начале координат. В пространстве П рассмот рим область Q, в которой упруго-пластическое тело можно рассматривать как упругое (для любых точек внутри Q достаточно малые приращения напряжений связаны с со ответствующими приращениями деформаций законом Гу ка). Для жестко-пластического тела в области Q материал является жестким. Обозначим через 2 поверхность, огра ничивающую область Q. Точки поверхности 2 соответст вуют пределам упругости или пластичности. Поверхность 2 называется поверхностью пластичности. Обычно посту лируемые свойства поверхности 2 состоят в следующем: она замкнута, но в некоторых направлениях может про стираться до бесконечности, не проходит через начало коор динат и любой луч, исходящий из начала координат, пере секает ее не более одного раза.
Идеально-пластической называется среда, для которой поверхность 2 фиксирована. В этом случае поверхность пластичности носит также название поверхность текуче сти.
Для упрочняющихся материалов поверхность 2 может изменяться при изменении напряженного состояния. По верхность пластичности 2 в этом случае называется также
поверхностью упрочнения или поверхностью нагружения.
Ниже используется по следний термин.
Точку на поверхнос ти 2 , принадлежащую вектору действительно го напряженного состо яния, будем называть
точкой нагружения.
Характер изменения поверхности нагруже ния 2 будем определять двумя терминами: упроч нение и разупрочнение.
Предположим, что данному напряженному состоянию а соответствует некоторая определенная поверхность нагружения 2 . Обозначим через а* вектор напряжений, соответствующий любой точке данной поверхности нагру жения или точке, лежащей внутри ее. Обозначим через
а0 единичный вектор (|а0|= 1), соответствующий вектору о*. Будем говорить, что данное приращение напряжений Да вызывает упрочнение в некотором направлении, ха
рактеризуемом вектором а0, если в этом направлении предел пластичности повышается. И наоборот, материал разупрочняется, если в данном направлении предел пла стичности понижается.
На рис. 3 поверхность 2 в результате приращения напряжений Да перешла в 2 + Д2. В направлении
вектора a0i материал упрочнился, в направлении ао2
— разупрочнился. Обычно в литературе термин «упроч няющееся пластическое телоь используется для опреде ления пластических сред, поверхность нагружения кото рых изменяется в процессе изменения деформированного состояния элемента тела.
§ 4. Функция нагружения. Нагружение и разгрузка
Предположим, что существует некоторая конечная си стема параметров и констант материала, определяющая состояние элемента упрочняющейся пластической среды. Такую систему параметров и констант запишем в виде:
|
°фТ,еЪ,%и ки |
(1.8) |
где Т — температура, е\) — компоненты |
пластической |
|
деформации, |
— параметры упрочнения, которые могут |
|
быть связаны с остаточными деформациями неголономными связями, kt — константы материала.
В дальнейшем тепловые эффекты рассматривать не будем. Для простоты будем считать процесс деформирова ния изотермическим: Т = const, dT = 0, поэтому темпера туру не будем включать в число определяющих парамет ров, в этом случае она может быть рассмотрена в числе констант kt.
Предположим, что уравнение поверхности нагружения
можно записать в виде: |
|
= 0- |
(1-9) |
Функция / называется функцией нагружения.
Точки поверхности нагружения, в окрестности которых функция нагружения дифференцируема по и, следова тельно, в этих точках имеется единственная нормаль к 2, называются регулярными. Поверхность нагружения в ок рестности регулярных точек является гладкой.
Упругой (жесткой) области Q соответствуют отрица
тельные значения функции нагружения |
|
х < л х о . |
(U 0 ) |
Введем понятие разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения для регулярных точек поверхности нагру жения.
Если напряженное состояние принадлежит поверхно сти 2 и приращепия напряжений Дз переводят вектор а внутрь области Q, то подобный процесс назовем разгруз- кой' В этом случае приращения напряжений связаны с
приращениями деформаций законом Гука и изменения пластических деформаций не происходит. Поверхность 2 при разгрузке не изменяется (рис. 4, а).
При разгрузке приращения пластических деформаций
и параметров ti равны нулю: defj = 0, d%t = 0. Согласно (1.9), (1.10) при разгрузке1)
(1 . 1 1 )
Нейтральное нагружение имеет место в том случае, когда приращения напряжений Аа таковы, что конец век тора в любой момент времени остается на фиксированной
поверхности и изменения пластических деформаций не происходит. Другими словами, при нейтральном нагруже нии напряженное состояние находится на пределе упру гости, изменения поверхности 2 не происходит.
В этом случае приращения напряжений и деформаций для упруго-пластического тела связаны законом Гука, приращения пластических деформаций и параметров
равны нулю: de^j = 0, d%t = 0. Согласно (1.9) при ней тральном нагружении
d/ = d7 = g|rda1; = 0. |
(1.12) |
Если приращение напряжений Да сопровождается приращением пластических деформаций, то подобный про-)*
*) Штрих после зпака дифференциала означает, что дифферен циал является неполным.
цесс назовем нагружением. Для нагружения необходимо, чтобы исходное напряженное состояние соответствовало пределу упругости; другими словами, конец вектора а должен принадлежать поверхности. Процесс нагружения упрочняющегося тела связан с изменением поверхности 2 (рис. 4, б).
При нагружении |
defj =f= 0, |
=j= 0. |
Согласно |
(1.9) |
при нагружении |
|
|
|
|
df = |
|
+ -щ- |
= °* 1 |
(1.13) |
|
|
|
|
|
Дифференциальные |
соотношения для |
могут |
быть |
|
записаны в виде: |
|
|
|
|
d%tt = A\fde?j или |
d%k = Bkd'f. |
(1.14) |
||
Введенные определения разгрузки, нейтрального на гружения и нагружения устанавливают ограничения на свойства упрочняющегося упруго-пластического матери
ала. В самом деле, при |
|
|
||
нятые определения раз |
|
|
||
грузки исключают воз |
|
б |
||
можность передвижения |
|
|||
поверхности 2 внутрь ее |
|
|
||
первоначального |
поло |
|
|
|
жения в |
точке |
нагру |
|
о |
жения так, как указано |
а) |
|||
на рис. 5, а, и тем самым |
б) |
|||
исключают из рассмот- |
рис. 5. |
|
||
рения материалы с «неу |
|
|
||
стойчивой» |
диаграммой |
поверхности |
нагружения |
|
о -е (рис. |
5, б). |
Но точки |
||
2 + Д2, лежащие вне непосредственной окрестности точки нагружения, при нагружении могут смещаться внутрь области Q, ограниченной первоначальным поло жением поверхности 2 (рис. 4, б).
Поверхность^нагружения может иметь особенности в виде ребер, конических или угловых точек. Точки по верхности 2, соответствующие подобным особенностям,
называются особыми или сингулярными. Кусочно гладкие поверхности нагружения, имеющие особенности в виде ре бер и угловых точек, можно описать при помощи некоторого конечного или бесконечного числа гладких функций на гружения
P ) (°ij,e?j,%bh) = |
0, |
г = 1 ,2 ,... |
(1.15) |
Функции нагружения |
в пространстве напряжений |
||
П соответствует поверхность |
нагружения 2 Г. Упругой |
||
(жесткой) области Q соответствует отрицательное |
значе |
||
ние всех функций нагружения / (г) < |
0. Соответствующее |
||
пересечение поверхностей 2 Г, ограничивающих область Q, образует данную кусочно гладкую поверхность нагру жения 2.
Кусочно гладкую поверхность можно рассматривать как предельную для последовательности гладких поверх ностей, вложенных в данную кусочно гладкую поверх ность, поэтому в точках особенностей поверхности нагру жения (ребрах, конических и угловых точках и т. п.) вектор нормали может принимать любое направление, ограниченное направлениями нормалей, прилежащих гладких кусков поверхностей нагружения.
Точка напряжений в некотором исходном состоянии может соответствовать одной или нескольким функциям нагружения (1.15), причем остальные функции нагруже
ния |
отрицательны: |
|
|
|
|
/(0 = 0, |
Ж |
0, |
(1.16) |
где |
индексы i, / различны |
и исчерпывают |
совокупность |
|
индексов г. Согласно (1.16) данная особенность поверх ности 2 образована пересечением поверхностей 2*.
Рассмотрим определения разгрузки, нейтрального на гружения и нагрузки для особых точек поверхности на гружения (1.16). В данном случае соответствующие опре деления для одной гладкой функции нагружения / могут быть распространены на совокупность гладких функций нагружения /<*>, определяющих данную особенность по верхности нагружения 2 .
Смещение в упругую (жесткую) область или разгруз ка происходит, если приращение напряжений Да таково,
что имеют место соотношения |
|
|
/(« = 0, d/W = d'/(i)^ 4 ^ |
‘> < °* |
/ (Л< 0 . (1.17) |
В этом случае приращения пластических деформаций |
||
и параметров Хг равны нулю |
= 0, dXi = 0), а поверх |
|
ность 2 при разгрузке не изменяется. |
|
|
При нейтральном нагружении приращение напряже ний Да таково, что конец вектора а в любой момент вре мени остается на фиксированной кусочно гладкой поверх ности 2, причем для некоторых кусков 2| может происхо
дить разгрузка: |
|
|
|
|
|
/(т) = |
о, d/(™> = |
d'/(m) = |
da, .= |
о, |
|
d/(»> = |
d’ /<»> = |
4 £ T d6» < |
°> / (Л < |
°. |
(!-18) |
где индексы m, n различны и исчерпывают всю совокуп ность индексов i.
Если т совпадает с несколькими индексами, то точка нагружения при нейтральном нагружении продолжает оставаться особой точкой поверхности нагружения 2, если т единственный фиксированный индекс, то точка на гружения при нейтральном нагружении смещается с осо бой точки в регулярную точку поверхности 2.
При нейтральном нагружении изменения поверхности
2не происходит, приращения пластических деформаций
ипараметров Xi равны нулю: defy = 0, dfc = 0. Нагружение будет иметь место, если приращение на
пряжений Да таково, что хотя бы для одной или несколь ких функций нагружения / (т) из совокупности /W (1.16) выполняются соотношения:
/("*) = о, d/<m>= |
dO{j + |
defj +JL dX i = 0, |
d'f(m)- ^ - d e u > 0 .
Для других функций |
из совокупности /W |
может |
иметь место разгрузка или нейтральное нагружение: |
||
/(n) = o, |
О, d7(v)s _ g _ d6i;. = |
0,(1.20) |
где индексы jx, v различны и исчерпывают всю совокуп ность индексов п.
Если в (1.19) совокупность индексов т совпадает с со вокупностью индексов Z, и, следовательно, для всех по верхностей нагружения 2*, образующих данную особен ность (1.16) поверхности 2, происходит нагружение, то
такое нагружение называется |
полным. |
|
Дифференциальные соотношения для параметров Хь |
||
аналогичные (1.14), могут быть записаны в виде: |
|
|
d%,с = A^defj или |
d%k = B(k d'j(r\ |
(1.21) |
Остановимся на ограничениях, накладываемых опре делениями разгрузки, нейтрального нагружения и нагру жения на свойства упроч няющегося пластического тела,в случаекусочноглад ких поверхностей нагру
жения.
Из определения раз грузки, как и в случае глад кой поверхности нагруже ния, следует, что материал не может обладать «неус тойчивой» диаграммой о-еР (рис. 5, б).
При нагружении йе$Ф =h 0, dXi =f= 0, поэтому все поверхности нагружения 2 Г могут смещаться в прост
ранстве напряжений, хотя само нагружение может происхо дить лишь для одной или нескольких поверхностей на гружения из совокупности 2 Г. Но поверхности 2 Гдолжны перемещаться так, чтобы точка нагружения принадле жала кусочно гладкой поверхности 2, ограничивающей область Q. Другими словами, ни одна поверхность 2 Г не может сместиться, оставляя точку нагружения вне по