книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfесли наряду с граничными условиями (3.14) задано рас пределение скоростей упругой составляющей деформации ef;- (а следовательно, иа^), то для выпуклых поверхностей текучести в области, где хоть одна из компонент е$)р, е^)р отлична от нуля, распределение напряжений единственно.
В случае невогнутых условий текучести напряжения могут отличаться на величину, допускаемую данным уча стком невогнутости.
Рассмотрим подынтегральное выражение (3.26) для
упрочняющихся материалов. |
Если пластические |
дефор |
|||
мации е\) и параметры |
фиксированы, |
то из принципа |
|||
максимума |
Мизеса (1.27) |
следует |
|
|
|
(»!,“ - « !? )(« !? " - « ! ? ’ ) - (о!? - |
=!?)«!?' + |
|
|
||
|
|
+ |
(»g) - 3 g ,) 4 f > 0 . |
(3.27) |
|
Знак строгого неравенства в (3.27) имеет место для |
|||||
выпуклых |
поверхностей |
нагружения |
при o$=f= ojf- |
||
Поэтому из (3.28) могут быть получены следствия для упрочняющегося упруго-пластического материала: если наряду с граничными условиями (3.14) задано распределе
ние пластических деформаций е?-, параметров и скоро
стей упругой составляющей деформации е*;- (а следова тельно, и 6и), то для выпуклых поверхностей нагружения в
области, где хоть одна из компонент e-fp, e-fp отлична от нуля, распределение напряжений единственно.
В случае невогнутых поверхностей нагружения напря жения могут отличаться на величину, допускаемую дан ным участком невогнутости.
§ 3. Теорема единственности для жестко-пластического материала
1. Единственность скорости деформации. Допустим, что Oij, e{j, ut, — компонентны и параметры данного напряженного деформированного состояния. Пусть, да
лее, |
|
|
и a-f, |
е-^, Vi2) — два различных реше |
ния, |
соответствующих |
одной и той же краевой задаче |
||
(3.13). |
В |
случае |
жестко-пластического материала |
|
= |
°> |
ги = |
efj. |
|
Согласно краевым условиям из (3.15) получим
^ ($> - |
'<$) (el? - eg>) dV = |
0. |
(3.28) |
V |
|
|
|
Подынтегральное |
выражение (3.28), |
вполне |
анало |
гично (3.18), может быть преобразовано к виду: |
|
||
(iff - |
iff)(4!'- eff)- *->(Я + й - 2Ш- |
|
|||
|
|
|
= » _,Л |
- / . ) “ > |
0. (3.29) |
Если |
={= 0, |
=f= 0, то равенство нулю (3.29) имеет |
|||
место, |
лишь когда |
= ejf. Если |
=/=0, |
e\f = 0 |
|
(е$ = |
0, е ^ О ) , то в (3.29) имеет знак строгого неравен |
||||
ства, так как в этом случае / 1=?fe=0, / 2 = |
0 (f1 = |
0, / 2=/=0). |
|||
Наконец, если е$ = e[f = 0, то выражение (3.29) равно нулю.
В случае сингулярных поверхностей нагружения подынтегральное выражение (3.28) аналогично (3.19) будет иметь вид:
(iff — iff)(8ff—eff) =
- 2 I'w/ff'+ c j> "' - (*« +g f f l |
>o. |
(3.30) |
Q |
|
|
Повторяя предыдущие рассуждения, можно заклю |
||
чить, что если хоть одна из компонент |
e[f |
отлична |
от нуля и они не равны друг другу, в (3.30) имеет знак строгого неравенства.
Итак, в случае гладких и кусочно-гладких поверхно стей нагружения для упрочняющихся жестко-пластиче ских тел в зоне, где компоненты скорости деформации от личны от нуля, они определяются единственным образом. Что же касается скоростей напряжений, то их распреде ление может быть неединственным. Единственным образом определяются лишь комбинации / = {df/doij)oij или
№= № й / дои)б„.
2.Единственность напряжений для жестко-пласти
ческого тела. Для идеального жестко-пластического тела при граничных условиях (3.14) имеет место равенство
(3.26), подынтегральное выражение которого, согласно (1.120), положительно для выпуклых условий текучести. Поэтому, повторяя предыдущие рассуждения, получим, что для выпуклых условий текучести в зоне, где хоть
одна из компонент |
e-f отлична от нуля, распределе |
ние напряжений единственно о $ = a*f. В случае невогнутости условий текучести напряжения могут отличаться на величину, допускаемую данным участком невогнутости.
Для упрочняющегося жестко-пластического тела, сог ласно (3.27), положительность подынтегрального выра жения (3.26) имеет место при выпуклых поверхностях нагружения при фиксированном распределении пласти
ческих деформаций ef) и параметров Поэтому, повто ряя предыдущие рассуждения, получим, что для выпук лых поверхностей нагружения при данном распределе
нии пластических деформаций ef) и параметров |
в зоне, |
||
где |
хоть одна из компонент скорости деформации е$\ |
||
s[f |
отлична от нуля, распределение напряжений единст |
||
венно о $ = |
o [f. |
|
|
|
В случае |
невогнутости поверхностей нагружения нап |
|
ряжения могут отличаться на величину, допускаемую данным участком невогнутости.
§ 4. Экстремальные принципы для скоростей изменения напряжений и деформаций в случае упруго-пластического материала
Приведем исходные соотношения краевой задачи для скоростей изменения напряжений и скоростей деформа ций. Уравнения равновесия имеют вид (3.4). Поверхность S будем считать состоящей из двух частей S = Sg + Sv так, что граничные условия имеют вид:
вцЩ = |
gi |
на Sg, |
(3.31) |
vt = |
vi0 |
на Sv. |
(3.32) |
Напомним, что компоненты afj, efj и параметры считаются заданными всюду в теле.
Дадим определения. Распределение скоростей изме нения напряжений 6*у в упрочняющемся материале назо вем статически возможным, если оно удовлетворяет урав нениям равновесия (3.4) и краевым условиям для скоро стей напряжений (3.31) на Sg. Статически возможное распределение скоростей напряжений в идеально-пласти ческом теле должно также удовлетворять дополнительно
му условию / = QJ < 0, так как материал не может
воспринимать напряжения, превосходящие предел теку чести.
По данным скоростям изменения напряжений 6*;- при
данных о и, ef, по формулам (1.45), (1.58), можно определить соответствующие скорости компоненты де формации, которые будем обозначать е*? . Для произволь ного статически возможного поля скоростей изменения напряжений, вообще говоря, скорости деформации е*у несовместны, то есть не существует соответствующего поля скоростей перемещений.
Поле скоростей деформации е?у назовем кинематически возможным, если оно может быть определено посредством
(3.5) из поля скоростей перемещений v\, удовлетворяю щего краевым условиям (3.32) на Sv. По компонентам
скорости деформации е?у при данных Ojy, е%, %г из обра щения формул (1.45), (1.58) можно определить со ответствующие компоненты скорости изменения напря
жения, которые будем обозначать <з*у. Для произвольного кинематически возможного поля скоростей деформации
скорости изменения |
напряжений 6°у |
не удовлетво |
|
ряют |
уравнениям |
равновесия (3.5) и |
краевым усло |
виям |
(3.31). |
|
|
Уравнение виртуальных работ (3.6) можно переписать |
|||
в виде цепочки равенств: |
|
||
w = y jj |
OtfBijdV — ^ aijtijV^dS = |
|
|
|
у |
_ |
в„ |
|
|
= у Sv F i vid V + Т \ giVidS |
в, |
°ijniviodS = |
||
|
= - |
у $ 3uei;dF + $ FiVidV + J giVidS. (3,33) |
||
Минимальный принцип для скоростей изменения на пряжений утверждает, что абсолютный минимум выраже ния
W ' = i ] ^ b d V - ] a*ijTijVi0dS, |
(3.34) |
определенного для всех статически возможных распреде лений скоростей изменения напряжений аг*, отвечает
действительному |
распределению скоростей изменения |
||||
напряжений bir |
|
|
|
|
|
Максимальный принцип для скоростей деформации |
|||||
утверждает, что абсолютный максимум выражения |
|
||||
w° = - |
4 $ |
h\fi%dv + 5 Fxv\dV + |
giv\dS, |
(3.35) |
|
|
v |
|
v |
|
|
определенного |
для |
всех |
кинематически |
возможных |
рас |
пределений скоростей деформации е°-, |
отвечает действи |
||||
тельному распределению |
скоростей деформации |
и |
|||
соответствующих ему скоростей перемещения у*. |
тела |
||||
Отметим, что в |
случае идеально-пластического |
||||
распределение скоростей деформации не обязательно един ственно и максимум (3.35) достигается при всех ei;-, яв
ляющихся решением исходной краевой задачи. |
име |
|||
Итак, |
согласно |
сформулированным принципам, |
||
ет место |
цепочка неравенств |
|
||
|
|
W* > |
W > W0. |
(3.36) |
Доказательство первого неравенства (3.36). Согласно |
||||
(3.34), (3.35) имеет |
место |
соотношение |
|
|
W ' — W = т $ |
~ ai;eiу) dV — [ (i'ij — <5ц) iijViod S . |
|||
|
v |
|
|
(3.37) |
|
|
|
|
|
Разность Си — ai;- самоуравновешена, то есть удов летворяет уравнениям равновесия (3.4) без массовых сил и соответствует нулевым нагрузкам на Sg. Действи тельные скорости Деформации гц соответствуют заданным скоростям перемещений yi0 на SV1 поэтому из уравнения
(3.6) |
получим |
|
|
|
|
^ ( б у |
— б у ) tijViodS = ^ |
( б у — б у ) eydF. |
(3.38) |
Из (3.37), (3.38) будем иметь |
|
|
||
w |
- W = 4 |
$ [З Д - буву - |
2 (iy - бу) бу] dV. |
(3.39) |
Для упругих составляющих скорости деформации, как нетрудно видеть, подынтегральное выражение (3.39) рав но
Cijhk (°г; — Gi;) (б/ifc — Ghk) ^ 0. |
^ (3.40) |
Знак равенства в (3.40) имеет место только |
приезд = |
Для пластических составляющих скорости деформации подынтегральное выражение (3.39), согласно (1.52), мо жет быть преобразовано к виду:
|
+ б у в у — 2 б у 8 у - = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(3.41) |
|
|
|
д/М |
daif б« ’ |
|
|
|
|
|
* — |
|
|
|
где й9 > 0 и |
для всех функций нагружения, которые мо |
|||||
гут быть активными (то есть для которых |
= |
0), имеет |
||||
место |
Cg, |
Сд = 1 при /<в), /(«> > |
0; е^,§ |
с, |
= 0 при |
|
/ 2 ° , |
/ (5) |
< |
о . |
|
|
|
Очевидно, выражение (3.41) всегда неотрицательно. Для идеально-пластического материала подобное утверж дение сразу следует из (1.116), (1.117). Поэтому первое неравенство (3.36) действительно имеет место. Знак ра венства достигается лишь при a\j = бц.
Доказательство второго неравенства (3.36). Согласно (3.33), (3.35) имеет место
w - |
6 y e y )d ^ + ^ Fl (vi -v ?)d V + |
|
v |
Разности скоростей перемещений vt — v\ соответ ствует по формулам Коши кинематически возможное поле
скоростей |
деформаций |
etj — е°., |
удовлетворяющее ну |
|||
левым условиям на Sv. |
|
изменения |
напряжений |
|||
Действительные |
скорости |
|||||
отвечают заданным скоростям |
изменепия |
нагрузок gt на |
||||
Sg, поэтому из уравнения виртуальных работ следует |
||||||
f F%(Vi - |
v?) dV + |
f gi (Vi - |
vb dS = § (sif - 8?,) SijdV. |
|||
V |
|
Sg |
|
|
V |
(3.43) |
Из (3.42), |
(3.43) получим |
|
|
|||
|
|
|
||||
w - WO = и V [d№j - |
W ij + |
2 (81;- - |
8&) <J*] dV. (3.44) |
|||
Для упругих составляющих скорости деформации, ана логично (3.40), подынтегральное выражение (3.44) имеет
вид: |
|
|
Cilhk (°Ь + °ij) |
— Ghk) ^ 0- |
(3.45) |
Знак равенства в (3.45) имеет место только при |
= бу. |
|
Для пластических составляющих скорости деформации подынтегральное выражение (3.44) может быть преобра
зовано |
к виду: |
|
|
Gifiif “Ь |
— 2Gifiif = |
|
|
= |
[с°/о)2 + Cqfm - 2д а (в>]. flq) = |
h i |
(3.46) |
q |
|
ij |
|
Из рассуждений вполне аналогичных тем, которые были проведены при рассмотрении равенства (3.19), следует неотрицательность выражения (3.46). Этим завершается доказательство неравенств (3.36).
§5. Экстремальные принципы для напряжений
идеформаций в случаэ упруго-пластического материала
Приведем исходные соотношения краевой задачи для напряжений и деформаций. Уравнения равновесия имеют вид (3.1).
Поверхность S будем считать состоящей из двух час тей S = Sp + Su, так что граничные условия имеют вид:
= |
Pi |
на |
Sp, |
(3.47) |
иг= |
и\ |
на |
Su. |
(3.48) |
Напряженное и деформированное состояние пласти ческого тела зависит от истории нагружения, поэтому общих экстремальных теорем для напряжений и дефор маций в теории пластичности не существует. Однако если в теле задано распределение пластических деформаций, то для распределения напряжений и деформаций могут
быть сформулированы вполне |
определенные |
экстремаль |
ные теоремы. Будем считать |
пластические |
деформации |
efj заданными г).
Введем определения. Распределение напряжений o*j
назовем статически возможным, если оно удовлетворяет уравнениям равновесия (3.1) и краевым условиям для напряжений (3.47) на Sp. Отметим, что здесь для случая идеально-пластического тела не вводится никаких огра ничений на недопустимость превышения предела теку чести.
Поле деформаций е% будем называть кинематически возможным, если оно может быть определено посредством
(3.2) из поля перемещений и\, удовлетворяющего крае вому условию (3.48) на Su.
Очевидно, что = е% — efj — кинематически воз можное доле упругих деформаций. Напряжения, соответ
ствующие упругим деформациям е% — еЧр обозначим через
бЬ = Cijhk (e°hk — еКк).
Отметим, что задание пластических деформаций в слу чае идеально-пластического тела не может быть произ вольным. Эти пластические деформации должны быть та
кими, чтобы |
распределение напряжений |
нигде не |
превосходило |
предел текучести. |
|
*) См. примечание па стр. 192.
Используя закон Гука (1.3), уравнение виртуальных Работ (3.3), можно переписать в виде цепочки равенств:
V= 4-f CijhHaiiahkdV + jOijefjdV — f a^rijU^dS =
V |
V |
Su |
|
~2 o^efjdV ~|—g- j* FiiijdV |
|
§ PiUidS |
J e^itjU^dS = |
v |
|
Sp |
su |
= — 4~ f (ei> — ® |
5 ) |
+ j |
+ j PiUidS. |
v |
|
v |
sp |
|
|
|
(3.49) |
Минимальный принцип для напряжений утверждает, что абсолютный минимум выражения
V* = 4 - 1 |
+ J 4e*idV - J a?jnjUi()dS, (3.50) |
определенного для |
заданных пластических деформаций |
и всех статически возможных распределений напря
жений a*j, отвечает действительному распределению нап ряжений Gij%
Максимальный принцип для деформаций утверждает,
что абсолютный максимум выражения |
|
|
||
и° -------- j CllnMs - |
*8) (ем - |
ephk) dV + |
J FtfdV + |
|
V |
|
|
V |
|
|
|
+ j |
PiuUS, |
(3.51) |
определенного для |
заданных |
пластических деформаций |
||
efj и всех кинематически возможных распределений де
формаций e\jl отвечает действительному распределению деформаций и соответствующих ему перемещений ut.
Итак, согласно сформулированным принципам, имеет место цепочка неравенств
Доказательство первого неравенства (3.52). Согласно (3.50), (3.49) имеет место равенство
U* — |
и = ~2~ j* C^Tifc {GijGhlt — GijGhJt) d V |
-f- |
|
|
|
||||||
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
j (®y — бу) efjdV — J (ay — aif) njUlodS. |
(3.53) |
||||||||
|
|
v |
|
|
|
su |
|
|
|
|
|
Разность |
otj |
— o tj |
самоуравновешена, поэтому, |
ана |
|||||||
логично (3.38), |
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
||||
|
J (бу — бу) rijUiodS = |
\ (ay — бу) eddV. |
(3.54) |
||||||||
|
в „ |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
J (бу |
бу) буdV |
J (бу |
бу) HjUiodS = |
|
|
|
|||||
V |
|
|
|
su |
|
|
|
|
|
|
|
= - |
j (a*. _ |
ay) 4- dV= - |
J Cijhk ( 4 - |
ay) ahkdV. |
(3.55) |
||||||
|
V |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
Из (3.53), |
(3.54) получим |
|
|
|
|
|
|||||
С* — U = " у |
J |
[GijG/ik— |
— 2 (<3i;- — ai;) <злк] dV = |
||||||||
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
~2” J Cijhk |
ij |
Gij) (б/ik — б/ik) dH ^ |
0. |
(3.56) |
|||||
Доказательство второго неравенства |
(3.52). |
Согласно |
|||||||||
(3.49), (3.51) |
имеет место |
равенство |
|
|
|
|
|||||
и - |
и° = |
|
J [Су1,, (е$ - |
4 ) (e°hk- ей) - |
б у (б у - 4 )] d V - |
||||||
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
j |
|
(и? - |
щ) d V - |
j Pi (и? - |
щ) dS. |
|
(3.57) |
||
|
|
v |
|
|
|
sp |
|
|
|
|
|
Разности перемещений и\ — щ соответствует по фор мулам Коши кинематически возможное поле деформа ций, удовлетворяющее нулевым условиям на Su. Напря жения Оц соответствуют поверхностным нагрузкам рь на