книги / Теория упрочняющегося пластического тела

§ 2]

Пусть V* — скорости перемещений па поверхности

a Vi — на поверхности 2 Х; оц и ef* — величины напряже­ ний и пластических деформаций на поверхности 2 2.

Значения а^ и eff на поверхности 2 Х определяются из решения краевой задачи в слое толщиной А. Устремив к нулю толщину слоя А в рассматриваемой краевой задаче, получим в пределе, что на поверхности 2 будут претер­ певать разрыв*скорости перемещений vt и напряжений

otj, а связь между предельными компонентами v\, atj,

и Vi, ой, eff, % будем постулировать как соотношения, которые должны иметь место на поверхности разрыва ско­ ростей.

Основные соотношения теории упруго-пластического тела будем рассматривать в специальной подвижной системе координат. Пусть на поверхности 2 введена некоторая криволинейная координатная сетка ух и у2, тогда коорди­ наты любой точки внутри слоя толщиной А можно опре­ делить следующим образом. Определим нормаль к поверх­ ности 2, на которой лежит рассматриваемая точка, и в качестве двух координат этой точки положим значения у1и у2, которые приписаны основанию нормали. В качест­ ве третьей координаты возьмем расстояние по нормали от рассматриваемой точки до поверхности 2.

Внутри переходного слоя поведение материала, вообще говоря, может отличаться от поведения упруго-пластиче­ ского тела и описываться некоторой другой моделью спло­ шной среды. Однако в дальнейшем ограничимся рассмот­ рением только таких поверхностей разрыва, которые яв­ ляются предельными положениями слоя, внутри которого выполняются соотношения (2.7), (2.9) — (2.14). Таким образом, в предельной зоне модель тела предполагается совпадающей с моделью, применяемой в зоне, где решение гладкое и Дифференцируемое.

Запишем соотношения (2.7), (2.9) — (2.14) в подвиж­ ной системе координат. Предварительно произведем не­ которые преобразования. Дифференцируем уравнения (2.12) — (2.14) по времени и исключимувсличины полных

В подвижной системе координат имеют место соотно­ шения

где Vj — компоненты единичного вектора нормали к по­ верхности 2 ; ga(i — контравариантный метрический тен­ зор поверхности 2 ; уа — криволинейные координаты на поверхности 2 ; xt = xt (уа) — параметрическое уравне­ ние поверхности 2, с — скорость распространения поверх­ ности 2 в направлении нормали; 8/6Z обозначает 6-произ­ водную, определяющую скорость изменения некоторой величины на поверхности 2 .

Заменяя частные производные в уравнениях (2.7) и (2.38) их выражениями (2.39), находим

Здесь и в дальнейшем индекс а после запятой обозна­ чает частную производную по уа, суммирование идет по повторяющимся латинским и греческим буквам, однако

Если толщина слоя h стремится к нулю, то скорости де­ формаций и нормальные производные напряжений и ско­ ростей перемещений неограниченно возрастают, и порядок этих величии больше порядка Ftl производных по уа и 6-производных. Поэтому последними при стремлении h к нулю можно пренебречь. Исключим из соотношений (2.40) — (2.42) нормальные производные напряжений.

Отметим, что величины f[f ограничены внутри рассмат­ риваемого слоя, а неограниченное возрастание е?- воз­ можно только за счет роста величин |Хд.

В начале рассмотрим случай гладкой поверхности на­ гружения. Тогда индексы со и q в соотношениях (2.11) и (2.17) принимают только одно значение и их можно не писать. Подставляя выражение скоростей пластических деформаций из (2.11) в (2.47) для гладких поверхностей

толщины слоя h к нулю величина |х° может неограниченно возрастать только при условии, что выражение в фигур­ ных скобках хотя бы в некоторых точках внутри слоя обра­ щается в нуль.

Для устойчивых упрочняющихся сред это условие не выполняется. Действительно, неравенство (1.64) имеет вид:

Остальные слагаемые в фигурной скобке равенства (2.48) можно представить в виде:

x [fij — /ikvfcv;- — /jfrVfcVi + (l + )/~ j-p (/ijV iV y )) . (2.49)

В справедливости тождества (2.49) легко убедиться, раскрыв скобки. Так как правая часть тождества (2.49) является суммой квадратов, то она положительна, и для устойчивых упрочняющихся сред будет иметь место

Здесь

(2.55)

Из (2.54) следует, что при стремлении толщины слоя h

к нулю величины (xj могут неограниченно возрастать только тогда, когда определитель линейной системы урав­ нений (2.54) в некоторых точках внутри слоя будет обра­ щаться в нуль, то есть

Покажем, что равенство (2.56) не выполняется для устойчивых упрочняющихся сред. Для этого достаточно показать, что квадратичная форма

2 Ь^ХцХо, отрицательно определенная, так что достаточ-

Q,ш

но доказать неположительность квадратичной форм#

^ а д<лхахш. Последнее следует иа представления ад(й в виде:

q, ш

В эквивалентности представлений адш в виде (2.55) и (2.58) легко убедиться, если в (2.58) раскрыть фигурные скобки и привести подобные члены.

Таким образом, квадратичная форма (2.57) отрицатель­ но определенная, и, следовательно, равенство (2.56) ни­

когда не имеет места, а величины р,д остаются ограничен­ ными при стремлении толщины слоя к нулю.

Для скоростей пластических деформаций в подвижной системе координат имеют место соотношения

То есть, если в упрочняющемся упруго-пластическом теле существует нестационарная поверхность разрыва, то на этой поверхности пластические деформации непрерыв­ ны в общем случае сингулярных поверхностей нагруже­ ния.

Отметим, что особый случай имеет место для идеаль­ ных упруго-пластических сред. Для таких сред соотно­ шение (2.60) может не выполняться на поверхности разры­ ва. В этом случае Ьдш = 0, а матрица ||а9 ш|| может быть

особенной, то есть возможно существуют такие х°г, отлич­ ные от нуля, что

S aдсо д оз= 0 .

q , оз

Это обстоятельство требует более подробного анализа, ко­ торый будет приведен ниже в § 3 этой главы.

Покажем, что напряжения и скорости перемещения в рассматриваемом случае непрерывны. Из непрерывности

з*

пластических деформаций и соотношений (2.13) и (2.32) следует, что на поверхности разрыва скачки скоростей связаны со скачками напряжений уравнениями

Таким образом, в устойчивых упрочняющихся упруго­

пластических телах нестационарные поверхности сильного разрыва не существуют.

Рассмотрим стационарные поверхности сильного раз­ рыва {с =■ 0). Пусть в упруго-пластическом теле имеется стационарная поверхность 2 , на которой перемещения непрерывны, а напряжения и деформации претерпевают разрыв. Из соотношений (2.12), (2.13) получим, что на поверхности 2 скачки напряжений и деформаций связаны соотношениями

[<*«] = Ы + 2 ц ([,..) _ [ер.]). (2.63)

Скачки полных деформаций определим из (2.14) и гео­ метрических условий совместности для производных от перемещений, откуда

leij] =у([“1, ;]+ [Wj.i]) =у&V,- +IjVi), li =\^\ • (2-64)

Подставляя значения из (2.68) в соотношения (2.65), определим связь между скачками напряжений и пласти­ ческих деформаций:

2 (X + W № 1 vfcv,

vjv,- — [efj]) . (2.69)

Л.+ 2(Jt

Если пластические деформации непрерывны на по­ верхности 2, то из соотношений (2.69) следует, что напря­ жения также будут непрерывны. Но из непрерывности напряжений непрерывность пластических деформаций не следует, так как соотношения (2.69) неразрешимы отно­

сительно [е%].

Дифференцируя соотношения (2.69) по времени, на­

Величины [х® связаны со скоростями напряжений соотно­ шениями (1 .6 8 ), то есть

сторон от поверхности разрыва определим из соотношений

с одной стороны от поверхности разрыва известно в лю­

формированного состояния с другой стороны от поверх­

ности разрыва Oij (t), e?f (£)и xi ( 0 имеем систему уравне­ ний (2.70) - (2.73).

Ограничимся рассмотрением тел, в которых пластиче­ ские деформации до нагружения непрерывны, то есть в начальный момент времени (t = 0) на поверхН°сти Раз~ рыва lefj\ = 0, [XJ = 0. Но пока пластические деформа­ ции на поверхности разрыва непрерывны, из соотноше­ ний (2.69) следует непрерывность напряжений и величин

просу существования отличных от нуля решений уравне­ ний (2.70), (2.74) — (2.76).

Подставим скачки скоростей пластически* Деформа­