книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfверхности 2 . Проиллюстрируем сказанное на рис. 6. Особенность образована пересечением поверхностей 2 1? 2 2. Приращение напряжений Да таково, что нагружение ис пытывает только поверхность 2 1? относительно поверх ности 2 2 имеет место разгрузка. Однако поверхность 2 2 перемещается. Она может занять, например, положение
S?*+ Д 2 2*\ но положение 2 (22),+ Д 222) она занять не может, так как в этом случае точка нагружения оказалась бы вне поверхности 2 и области Q.
Приведем некоторые примеры выражений парамет
ров Следуя Тейлору, Куини (1931 г.) и Шмидту (1932 г.)
можно положить d% = Oijdefj. Следуя Одквисту (1933 г.), можно принять
|
d%= ] / |
-j-defjde^j. |
|
Можно, |
нацример, положить |
|
|
|
d%= (ву — ce'ij) def), |
с = const. |
|
В дальнейшем будут также рассматриваться парамет |
|||
ры |
определенные в виде: |
|
|
|
dtk = A\fde?h |
А?? = Aft (<зтп, <&„). (1.22) |
|
Вообще относительно параметров |
предположим, что |
||
они зависят от истории нагружения, данных значений напряжении и пластических деформаций, но не зависят от скорости изменения напряжений Ьtj.
§ 5. Об ограничении числа гладких функций нагружения для сингулярной поверхности нагружения
Предположим, что точка нагружения соответствует особенности поверхности нагружения 2, определяемой соотношениями:
/<*) = 0, |
/(*><0, |
(1.16) |
где индексы ^ у различны и исчерпывают всю совокуп ность индексов г.
При нагружении согласно (1.19) имеет место ра венство
(1.23)
Воспользуемся соотношениями d%k A^fjdefj, тогда (1.23) перепишем в виде:
(1.24)
Если функции /<т ) не зависят от скорости нагружения, то в данной точке нагружения коэффициенты df^ldOij,
df(mVdeij, (df(wVd%k) А $ в уравнениях (1.24) представляют собой некоторые вполне определенные постоянные.
Предположим, что среди уравнений (1.24) шесть яв ляются линейно независимыми, так что возможно полу чить решение этой системы относительно шести неизвест ных:
d&ij — ^ijkl^kh ^ijkl — ^ijkl (б ji |
^i)* |
(1.25) |
Соотношения (1.25) полностью определяют по задан ным приращениям напряжений приращения пластических деформаций в данной сингулярной точке поверхности на гружения. Остальные функции нагружения /<те>, относи тельно которых имеет место нагружение, не могут опре делять другие линейно независимые уравнения (1.24). В самом деле, в этом случае возможно было бы определе ние другой системы шести уравнений (1.24), из которых была бы определена независимая система соотношений (1.25) и данные приращения напряжений dcr*; определяли бы в данной сингулярной точке поверхности нагружения другую систему приращений пластических деформаций
defy. Между тем функции нагружения и условия нагруже ния должны быть определены так, что данные прираще ния напряжений для упрочняющегося пластического тела определяют приращения пластических деформаций одно значно.
Итак, среди соотношений (1.24) не более шести незави симых. Рассмотрим роль остальных функций нагружения.
Представим некоторую коническую особенность поверх ности нагружения, интерпретируемую как огибающую по верхность бесконечного числа плоскостей нагружения. Из бесконечного числа плоскостей нагружения достаточно выбрать шесть, нормали к которым образуют систему линейно независимых векторов. Однако если ограничиться только этими шестью плоскостями, то есть аппроксима цией конической особенности шестигранной пирамидой, то нельзя записать исчерпывающие условия разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения для данной ко нической особенности поверхности нагружения. Поэтому условия нагружения должны быть записаны с учетом всех поверхностей нагружения, определяющих данную особенность.
§ 6. Принцип максимума в пространстве напряжений. Ассоциированный закон деформирования
(гладкие поверхности нагружения)
Обозначим через D скорость диссипации механической работы:
(1 .26)
В качестве основного принципа, положенного в осно ву построения теории пластичности, примем принцип максимума скорости диссипации механической работы:
при фиксированны# параметрах Xi скорость диссипа ции механической работы в единице объема при пластиче ском деформировании имеет максимальное значение для действительного напряженного состояния Оц среди всех напряженных состояний а*^-, допускаемых данной функ цией нагружения
/вЦг %ii &i) ^ 0.
Принципу максимума можно дать другую формули
ровку: при фиксированных параметрах ef}, |
для любого |
данного Значения компонент скорости деформации |
име |
ет место неравенство |
|
где otj — действительные значения компонент напряже
ний, соответствующие данному значению — компо ненты любого возможного напряженного состояния, до
пускаемого данной функцией нагружения / (а**, е%, %t,
^ 0. Сформулированный принцип будем называть прин ципом максимума Мизеса.
Формулировка ослабленного принципа максимума Ми зеса требует выполнения нестрогого неравенства
<зуе&>а*3е?,-. (1.28)
В векторной форме неравенства (1.27), (1.28) можно переписать в виде:
аеР> * V , |
<JEP > a V . |
(1.29) |
Предположим, что функция нагружения является глад кой, в каждой ее точке существует единственная нормаль
икасательная плоскость. Из (1.29) следует, что
(<* — а*)еР>0, |
(а — а*) ер > 0, |
(1.30) |
то есть вектор а — o'* при любом возможном а* образует нетупой угол с^вектором ер. Из рассмотрения рис. 7, а
Рис. 7.
очевидно, что вектор ер должен быть направлен по норма ли к поверхности нагружения, а сама поверхность 2 в случае выполнения первого неравенства (1.30) должна быть выпуклой по отношению к области Q; во втором случае поверхность 2 должна быть невогиутой относительно об ласти Q.
В противном случае неравенство (1.30) места не имеет (рис. 7, б).
Таким образом, следствием принципа максимума Мизеса является соотношениех)
Л |
___ df_ |
(1.31) |
|
Соотношение (1.31) можно переписать в компонентах приращения деформации
dk = \i°dt. |
(1.32) |
Величины ц°, dX удобно представить в виде:
Ц° = /г1/ |
= h~x |
aiU |
dX = h -4'f = hr1 Я . daih |
(1.33) |
|
1 |
df |
■ |
|
dCij |
|
0i> - |
|
||||
> * |
дац3*” |
dt |
|
||
Тогда согласно введенным определениям нагрузки, разгрузки, нейтрального нагружения соотношения (1.31), (1.32) можно переписать в виде:
е*'= h~l ik i ( |
°тп) ’ |
^ ‘34) |
где е$фО при / = О, / = |
-Jf— dam„ > 0 ; |
eg == О |
х) Для симметричного тензора напряжений G*j = 6j*, поэтому
^11еи "f" °^22е22 “Ь ^ЗЗ^ЗЗ “t~ 20,126i2 ~t~ 2(J138l3 -f- 2(J23&23*
В шестимерном подпространстве девятимерного пространства напряжений П ассоциированный закон течения принимает вид:
2е»=,,’(з|'+4 )-
Следовательно, если / зависит от компонент симметричного тензора напряжений Ojj, то ассоциированный закон течения имеет вид:
при /<^0, а также если / = О, / ^ 0 ;
при /< [ 0, а также если / = |
0, df^O . |
Соотношения (1.34), (1.35) |
носят название ассоцииро |
ванного закона течения или деформирования. Термин «течение» связан с тем, что в соотношениях (1.31), (1.34) фигурируют компоненты скорости пластической деформа
ции Однако соотношения теории пластичности одно родны относительно дифференциала времени dt, и при фик сированных усилиях деформирование упрочняющегося пластического тела не происходит.
Функция h называется функцией упрочнения. Функция упрочнения h может быть определена следующим образом. Дифференцируя выражение (1.9), получим
Подставляя в (1.36) выражения (1.32), найдем
(1.37)
Из (1.37) и (1.33) окончательно получим
(1.38)
или
Согласно (1.34) можно получить
|
^ =н 2= |
hdf h№h) |
\• |
<1-4о> |
|
|
|
' ^3mn |
д^тп / |
|
|
Соотношения (1.34), (1.35) могут быть записаны в век |
|||||
торной |
форме: |
|
|
|
|
|
Г йо1 (па) п |
при |
/ = |
О, п в > 0 , |
(1.41) |
еР=1 |
|
|
. |
||
|
10 при /<^0, или при / = |
0, п л ^ О , |
|
||
где п — единичный вектор |
нормали |
к поверхности 2 |
|||
в точке |
нагружения (|?г| = |
1). |
пропорциональны ве |
||
Компоненты вектора нормали п |
|||||
личинам |
|
|
|
|
|
|
I L |
|
|
|
|
|
fo g |
|
|
|
|
|
/ df |
df \1 |
|
|
|
|
\ |
д5тп ) |
|
|
|
Между функциями упрочнения h и h0 существует оче видная связь
<»•«>
Формула (1.40) в векторной форме имеет вид:
аеР = h0(ер)2. |
(1.43) |
Согласно (1.43) при нагружении всегда выполняется неравенство
аеР>0 или б*уе£->0. |
(1.44) |
Согласно (1.2), (1.3), (1.34) для упруго-пластического тела окончательно можно записать
eij — Сцмвм + |
ej}, efj = hr1 |
' |
|
ес^и f = 0,f — -QJ— amn> |
0, |
(1.45) |
|
|
|
|
|
eu = Сам |
= |
0. если f < |
0, |
а также если / = 0, / ^ |
0. |
|
< |
В дальнейшем будем предполагать, что функции уп рочнения h не зависят от скоростей изменения напряже ний bij. Отметим, что функция g называется пластическим потенциалом, если e-J = \i°dg/dOij. При ассоциированном законе течения пластическим потенциалом является функ ция нагружения /.
Если пластический потенциал не совпадает с функцией
нагружения, |
то подобные |
законы |
связи |
е^-а^ |
называются |
неассоциированными. Очевидно, |
что для |
||
неассоциированных законов связи ef)-Oij принцип макмимума Мизеса не выполняется.
Объемные деформации металлов в достаточно широком диапазоне изменения давления можно считать упругими. Следовательно, пластическая составляющая объемной де формации удовлетворяет условию несжимаемости:
е£ = 0. |
(1.46) |
Предположим, что к телу, находящемуся в однородном напряженном состоянии, приложено равномерное гидро статическое давление р. Тогда напряженное состояние из менится на величину o tj + рб1;-; = 1 при i = /, би = 0 при i=f= /. Предположим далее, что пластическое состояние не зависит от величины р , в этом случае
/ |
efj, %i, ki) = |
/ (Oy + р&ф efj, %h = 0. |
(1.47) |
||
Дифференцируя соотношения |
(1.47) по p, получим |
||||
|
|
|
S F = ° - |
|
<‘ -48) |
Таким образом, |
условием независимости пластических |
||||
свойств |
материала |
от |
действия |
равномерного |
давления |
р является соотношение (1.48).
Легко показать, что необходимым и достаточным усло вием выполнения соотношения (1.48) является зависимость функции нагружения не от компонент тензора напряже
ний afy, а от компонент девиатора а# = Оц — бг-/х,
а = у Оц.
Если функция нагружения зависит от компонент де виатора напряжений, следствием ассоциированного зако на (1.34) является условие несжимаемости (1.46).
В самом деле, обозначим ап = ох, а12 = оху, тогда, если функция нагружения зависит от компонент девиато-
ра напряжений / (о^-, е%, Хь kt) = 0, соотношения |
ассоци |
||||||
ированного |
закона |
(1.31) |
примут |
вид: |
|
||
|
2 |
df |
д[______ 1_ |
df |
\ |
|
|
в£ = |
Ц°(- 3 |
да' |
3 дау |
3 |
9з; ) ’ |
(1.49) |
|
ОрР |
__ „о |
а/ |
|
|
|
(xyz) |
|
|
|
|
|
|
|||
^е*1/ — Р а3ху » |
|
|
|
|
|
||
где символ (zyz) означает, что невыписанные выражения получаются круговой перестановкой индексов.
Согласно (1.49) имеет место условие несжимаемости:
ер = -g- efi = ех -f- ер -(- ер = 0.
Отметим, что функции нагруж ения, удовлетворяю щ ие услови ю (1*47), интерпретирую тся в пространстве главных напряж ений а г- цилиндрическими поверхностям и, обра зующ ие которы х параллельны прямой о 1 = сг2 = а 3, равнонаклоненной к осям
Вектор г'Р в пространстве главных напряжений парал лелен девиаторной плоскости сГх + а2 + а3 = 0, откуда и следует ef + е2 + е? = 0.
§ 7. Обобщенный ассоциированный закон нагружения (кусочно гладкие поверхности нагружения)
В случае, когда функция нагружения имеет особенно сти (ребра, угловые точки) и определена в виде (1.15), на пряженное состояние может соответствовать нескольким поверхностям нагружения:
/ (i)(etf.«&.Xi.*0 = 0. |
(1.50) |
По отношению к каждой функции нагружения (1.50) было введено определение нагрузки, разгрузки и ней трального нагружения.
Согласно обобщенному ассоциированному закону тече ния вектор скорости пластической деформации efj слагает ся из составляющих е$т \ каждая из которых ортогональна
соответствующей поверхности нагружения /<т > = 0, для которой имеет место нагружение. Для поверхностей на гружения /<п) = 0 относительно которых имеет место разгрузка или нейтральное нагружение, соответствующая составляющая вектора скорости пластической деформации равна нулю.
Соотношения обобщенного ассоциированного закона течения имеют вид:
/ (9)<С0, или |
f q) = |
0, |
/ (9) <; 0. |
Соотношения (1.51) можно |
||
переписать в виде: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(1.52) |
где |
|
|
|
|
|
|
cq = |
1, |
если |
f 9) = 0, |
/ й)/» 0 ; |
||
сч= |
0, |
если / (в> < |
0, |
или / (?) = 0, f q)< 0. |
||
В соотношениях |
(1.51), |
(1.52) знак 2 обозначает сум |
||||
мирование по индексу д, причем в круглых скобках имеет место суммирование по повторяющимся индексам т, п.
Очевидно, что при полном нагружении для всех поверх ностей нагружения, образующих данную особенность, все cq = 1, при неполном нагружении для некоторых ин дексов cq = 0. Смещение точки нагружения из особой в регулярную точку поверхности нагружения происходит, если лишь единственный коэффициент cq = 1, а осталь ные равны нулю.
Функции упрочнения hq1 могут быть определены сле дующим образом. Дифференцируя выражения (1.50), полу-