книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Так как величины а13и сг23непрерывны на поверхно­

также следует непрерывность напряжений. Поэтому на

Для дальнейшего соотношения (2.199) удобно форму­ лировать в произвольной системе координат. Пусть 1и тп*, nt — направляющие косинусы главных осей тензоров на­ пряжений, тогда

Из (2.201) следует, что одноименные главные оси равно наклонены к поверхности разрыва и лежат в одной плос­ кости с нормалью к поверхности G.

Девиаторные компоненты главных напряжений имеют противоположные знаки с разных сторон от поверхности

разрыва, то есть с? = —о Г и точка нагружения в девиаторной плоскости при переходе через поверхность разрыва перескакивает в диаметрально противоположную точку поверхности нагружения.

Если поверхность разрыва напряжений рассматривать как тонкий слой, в котором напряжения быстро, по непре­ рывно изменяются, то напряжения внутри слоя при пере­ ходе от состояния Оц до состояния ay, лежащих на по-

Ъерхпости нагружения, пробегают состояния, соответст­ вующие точкам, лежащим внутри поверхности нагруже­ ния. Скорости пластических деформаций обращаются ^ пуль внутри этого слоя. В этом смысле поверхности раз­ рыва напряжений можно понимать как предельное поло­ жение исчезнувших жестких зон или как жесткие пере­ мычки нулевой толщины в пластически деформирующемся теле.

Несколько усложняется анализ соотношений (2.192) — (2.194) при условии пластичности Треска. Пусть главные Напряжения пронумерованы так, что является проме­ жуточным между а2 и а3, тогда условие Треска изотропно Упрочняющегося тела можно записать в виде:

поэтому из соотношения (2.171) не следует, что скорости деформации обращаются в нуль на поверхности разрыва напряжений. И вообще говоря, скорости пластических деформаций, возможно, и будут претерпевать разрыв на поверхности G.

Если при этом поверхность G нестационарная, то раз­ рыв скоростей деформаций не вызовет разрыва деформаций

будут совпадать с разных сторон от поверхности разрыва. Если же скорости деформации будут претерпевать разрыв на стационарной поверхности разрыва, то это обсто­

ятельство вызовет разрыв величин ef) и Xi, и поверхность нагружения будет иметь различный вид с разных сторон от поверхности G.

Однако, ограничиваясь рассмотрением тел, в которых в начальный момент времени t = 0 пластические дефор­ мации непрерывны, будем анализировать стационарные поверхности G только до тех пор, пока на них не возник­ нут разрывы скоростей деформаций. Поэтому поверх­ ность нагружения в дальнейшем с обеих сторон от поверх­ ности разрыва предполагается одной и той же.

Из дальнейшего анализа будет следовать, что скоро­ сти деформаций непрерывны на поверхности G, а сле­

довательно, и efj и ^ будут оставаться непрерывными

в любой момент времени, откуда и будет следовать, что

Если на поверхности G скорости деформаций претерпе­ вают разрыв, то из геометрических условий совместности (2.169) и ассоциированного закона течения (2.148) будет следовать,что на поверхности разрыва выполняются уравне­

ния (2.189), где величины Lt и фо, будут обозначать £*, р®. Таким образом, и для невыпуклых поверхностей нагру­

В изотропно-упрочняющемся теле скорости пластиче­ ских деформаций имеют главные оси, совпадающие с глав­ ными осями напряжений, откуда

Главные значения тензора скоростей пластических деформаций направлены по нормали к поверхности на­

гружения (2 .2 0 2 ) в пространстве главных напряжений, то есть

Подставляя значения efy из соотношений (2.204), (2.205) в соотношения (2.192), получим

(2.206)

где ф = е2, или, если е2+ = е2" = 0 , то ф есть некоторая нормальная производная от е2.

Если напряжения с разных сторон от поверхности разрыва связаны соотношениями (2 .2 0 1 ), то уравнения (2.203), (2.206) будут удовлетворены, если ф+ = — г|г.

Если точка, характеризующая напряженное состоя­ ние с одной стороны от поверхности разрыва а*, лежит на грани условия пластичности (2 .2 0 2 ), то из (2 .2 0 1 ) следует, что точка оч лежит на противоположной грани, то есть

сг^ и аГ будут удовлетворять уравнениям (2 .2 0 1 ) с различ­ ными знаками в правой части равенства. Из ассоцииро­

ванного закона течения следует, что г\ и е2 имеют раз­ личные знаки, а условие ф+ = о|г может быть выполнено

только, если е2+ = е2", а отличны от нуля некоторые нор­ мальные производные от е2. Таким образом, на поверх­

на которых главные оси папряжений не изменяют направ­ ления, а претерпевают разрыв только значения главных напряжений.

Из соотношений (2.203) для скачков главных напряже­

Уравнения (2.207) имеют отличные от нуля решения, если

Уравнения (2.207) и (2.209) имеют отличные от нуля ре­ шения, при которых

вообще говоря, на поверхности G скорости деформации могут быть отличными от нуля, но они непрерывны при переходе через поверхность разрыва.

Из соотношений (2 .2 1 0 ) следует, что в изотропно-упроч- няющихся жестко-пластических телах при условии пла­ стичности Треска, кроме разрывов, на которых имеют место соотношения (2 .2 0 2 ), могут существовать поверх­ ности разрыва, на которых главные оси напряжений и скорости пластических деформаций непрерывны.

Одно или два главных направления тензора напряже­ ний касаются поверхности G, и разрыв претерпевают только главные значения тензора напряжений в этих ка­

Однако решения (2.212) не дают новых видов поверх­ ностей разрыва, а эти решения можно понимать как сов­ мещение поверхностей разрыва вида (2 .2 1 0 ) и (2 .2 0 1 ), если направления главных осей напряжений непрерывны.

Отметим, что поверхности разрыва вида (2.210) и

Рассмотрим нормально-изотропное и изотропно-упроч- няющееся тело с произвольной поверхностью текучести, не зависящей от гидростатического давления. Поверх­ ность нагружения для такой среды представим в виде:

f (Pi - ° 2 \, p t ~ Ы Pi - о 3\) = к (е% х,). (2.213)

Основные соотношения на поверхности разрыва на­ пряжений (2.192), (2.179) в рассматриваемом случав пред­ ставимы в виде:

[бхМз + <з2«¥ «з + <з3гс{п3] = 0, .

[ / ( К — <53 |, |бх — 0,1, |02 — <3з I)) = 0 ,

(2.214)

Отметим, что если о7 = — о? -j-о, тоdf/dofi = — dfldoij,

откуда следует, что, если на поверхности разрыва имеют место соотношения (2.201), то уравнения (2.214) будут удовлетворены.

Таким образом, в несжимаемом нормально-изотропном и изотропно-упрочняющемся жестко-пластическом теле могут существовать поверхности разрыва напряжении G, на которых одноименные главные оси равнонаклонены к поверхности G и лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности G. Девиаторные компоненты главных на­ пряжений изменяют знак при переходе через поверхность

невогнутости, то возможен еще один вид решении урав­ нений (2.214), при которых главные оси тензора напряже­ ний непрерывны при переходе через поверхность разрыва.

При анализе последнего случая участки невогнутости

где а, 6 , с — параметры, характеризующие пластические свойства на рассматриваемом участке поверхности на­

гружения. Эти параметры являются функциями е* и Так как поверхность нагружения не зависит от гидроста­ тического давления, то а + Ъ+ с = 0 .

В отличие от обобщения условия пластичности Треска (2 .2 0 2 ), в данном случае все главные направления равно-

правды, потому при рассмотрении решений уравнений (2.207) достаточно рассмотреть только две возможности.

два случая. В первом of и аГ находятся на одной грани поверхности нагружения, и тогда a [crj + Ъ[сг2] = 0, во втором случае происходит перескок на противополож­ ную грань, и тогда

a [a j + Ъ[а2] = ± 24.

Итак, разрывы напряжений, возникающие в нормаль­ но-изотропных и изотропно-упрочняющихся жестко-пла­ стических телах можно классифицировать на два вида:

а) Главные оси напряжений равно наклонены к по­ верхности разрыва и происходит перескок напряженного состояния в противоположную точку поверхности нагру­ жения при переходе через G.

б) Главные оси тензора atj непрерывны при переходе через поверхность G, одно или два главных направления лежат в плоскости, касательной к поверхности разрыва G. В этом случае скачок претерпевает только главные напря­ жения, направленные вдоль этих осей. Такие поверхности разрыва возможны только при кусочно линейных поверх­ ностях нагружения. Если на поверхности разрыва про­ исходит перескок в симметричную точку поверхности

по плоскому участку, то скорости деформации могут быть отличными от нуля, но при этом из соотношений (2.214) следует, чтоф+ = ajr, то есть скорости деформации непрерывны на поверхности G. Таким образом, на стацио­ нарных поверхностях разрыва напряжений скорости де­ формаций непрерывны, и на них невозможно зарождение поверхностей разрыва скоростей и при кусочно линейных поверхностях нагружения.

Не представляет затруднений обобщение полученных результатов на поверхности нагружения более сложно изменяющиеся при пластическом деформировании. Пусть

поверхность нагружения имеет вид:

где stj — некоторые функции eg, х*> характеризующие смещение центра изотропно-упрочняющейся поверхности нагружения.

Величины stj непрерывны на поверхности разрыва на­ пряжений. Если через qtj обозначить разность

Qij &ij Siji

то уравнение (2.216) принимает вид:

/(и) (?„) = * (4-, хО.

Соотношения ассоциированного закона течения можно представить в виде:

еvа S i* 0. Э/(“)

А из (2.179) и условия непрерывности величин sj;- сле­ дует, что на поверхности разрыва напряжений выпол­ няются соотношения

{qt]\ = 0 .

И весь анализ, проведенный для изотропно-упрочняю- щихся сред, можно повторить и для анизотропно-упроч- няющихся сред, с поверхностью нагружения вида (2.216), заменяя во всех рассуждениях тензор otj на тензор qtj.

В ы в о д . В упрочняющихся жестко-пластических сре­ дах могут существовать поверхности разрыва напряже­ ний G. Существуют вполне определенные {установленные в этом параграфе) соотношения, связывающие компоненты напряжений по обе стороны поверхности G.

§9. Непрерывность скоростей деформаций

вупрочняющихся жестко-пластических телах

Под поверхностью разрыва скоростей деформаций пони­ мается изолированная поверхность, движущаяся в про­ странстве, на которой скорости и напряжения непрерывны, Д претерпевают разрыв скорости деформации.

Покажем, что в упрочняющемся жестко-пластическом теле поверхностей разрыва скоростей деформаций не су­ ществует. Предварительно рассмотрим упрочняющееся жестко-пластическое тело с гладкой поверхностью нагру­ жения

(2.217)

Из соотношений ассоциированного закона течения для скачков скоростей пластических деформаций на поверх­ ности разрыва получим соотношения

Из непрерывности скоростей на поверхности разрыва следует, что скачки скоростей деформаций связаны соот­ ношениями (2.169), которые, учитывая уравнения (2.218), запишем в виде:

Приравнивая в соотношениях (2.219) индексы i и / и суммируя по повторяющимся индексам, для несжимаемых тел получим = 0. Умножая (2.219) на v;- и суммируя по повторяющимся индексам, найдем

Подставляя величины £* из уравнений (2.220) в соот­ ношения (2.219), получим, что на поверхности разрыва скоростей деформаций должны иметь место равенства

Дифференцируя поверхность нагружения по времени, найдем, что на поверхности разрыва скоростей деформа­ ций будут выполнены соотношения