книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfАКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ
А. Н. Гузь
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ— 1973
531
Г93
УДК 539.3
В монографии изложена трехмерная теория упругой устойчивости при конечных деформациях сжимаемых и несжимаемых тел с произвольной формой упругого потенциала. Исследованы общие свой ства задач, сформулированы вариационные принци пы для статических и динамических линеаризиро ванных задач и построены общие решения. Развита теория устойчивости волокнистых и слоистых арми рованных сред. Изучены в трехмерной постановке устойчивость стержней, пластин и оболочек при конечных докритических деформациях.
Предназначена для специалистов по механике твердого деформируемого тела, преподавателей, ас пирантов и студентов вузов соответствующих специальностей.
О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р
академик ЛН УССР Г. Н. С а в и н
Р е ц е н з е н т ы
член-кор. АН УССР А. С. К о с м о д а м и а н - с к и й, д-р техи. наук И. А. Ц у р п а л
Редакция технической литературы Зав. редакцией В. Д . Навроцкая
Г М22Ц04)—73 31-73
Издательство «Наукова думка», 1973 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория упругой устойчивости в настоящее время представляет со бой весьма разветвленную область механики, имеющую многочисленные приложения, свои методы и подходы. Практически нет ни одной от расли промышленности и строительства, где бы не применялись методы и результаты теории упругой устойчивости.
Устойчивости упругих систем посвящены многочисленные моно графии и журнальные статьи. Подавляющее число исследователей, спиливая явление потери устойчивости с тонкостенными элементами конструкций и стремясь упростить решения задач, использовали дву мерные в одномерные прикладные теории, которые получаются при
|||1сдг11НИ вспомогательных гипотез. Таким образом, в теории упругой
устойчивости до последнего времени оставались почти неразработан ными следующие проблемы: 1) общие вопросы теории упругой устойчиiHicTii и трехмерной постановке; 2) методы решения задач устойчивости и трехмерной постановке.
Задачи механики армированных и полимерных материалов, расчет элементов конструкций из них, задачи математической тектоники и гирной механики, теория поверхностных явлений и т. д. потребовали решении указанных проблем. Появившиеся в последние два-три деся тилетии публикации, в которых исследуются эти проблемы, можно условно разделить на две группы. В первой группе принимается пред
положение о малости докритических деформаций, что приемлемо для жестких материалои. Этим задачам посвящены монографии [13, 56], причем и |56] рассмотрены плоские, а в [13] — пространственные и плоские задачи. Во второй же группе публикаций никаких ограни чении на величину докритических деформаций не налагается — иснолы1уетея теория конечных деформаций. Это дает возможность, с
одной стороны, выполнить исследования для упругих тел, подвержен ных большим деформациям и, с другой стороны, при наличии строго увтннонленных уравнений состояния оценить в принципе погрешности ^наличных теорий.
11рсдлпгаемая монография — первая попытка изложения теории упругой устойчивости при конечных докритических деформациях для tluteru нелинейно упругого однородного тела. Монография состоит М трех частей. В первой части исследованы общие вопросы трехмерных 4вм«11|ш.тиропаниых задач теории упругости, являющиеся общими для
«Ирин устойчивости, теории распространения волн в телах с начальныill инпряжсииями и теории колебаний предварительно загруженных
3
упругих тел. Здесь же изложена теория упругости конечных деформа ций в общей постановке и установлены связи и переходы между различ ными постановками. Во второй части исследована устойчивость одно родных тел (поверхностная неустойчивость, устойчивость стержней, пластин и оболочек). Третья часть посвящена выяснению механизмов потери устойчивости волокнистых и слоистых армированных тел. Все исследования выполнены в трехмерной постановке по линеаризи рованным уравнениям при наиболее общей форме уравнений состояния в координатах недеформированного тела. С целью упрощения в данной книге, как и в монографиях [13, 36, 39], не используется тензорный анализ, за исключением отдельных параграфов, где дана сводка основ ных результатов.
Значительная часть материала книги основана на результатах, полученных автором.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность сотрудни кам Института механики АН УССР И. Ю. Бабичу, оказавшему помощь при написании рукописи, и М. А. Рындюк, Л. Д . Репик, Т. Н. Косик, В. В. Шелудько, принимавшим участие в ее оформлении.
С учетом выражений (1.1) соотношения (1.2) можно за писать в виде
in = |
“I” ит(il' ?2> £з> т)> |
(1-3) |
где |
|
|
Ч,ц — U,n l^ i (lii Ег> Ез> т)> • - •» |
(1-4) |
В механике сплошной среды существует два способа описания движения среды; связывают их соответственно с именами Лагранжа и Эйлера. Первый заключается в том, что с каждой частицей среды связываются координаты хт, которые не изменяются в процессе движения и называют ся лангранжевыми координатами. Второй способ состоит
втом, что в каждой точке пространства с координатами описываются деформации движущихся частиц. Эти ко
ординаты изменяются в процессе движения и называются эйлеровыми координатами. Заметим, что координатные ли нии хт и %т являются координатными линиями криволи нейной системы координат в теле соответственно после и до деформации.
§ 2. Описание деформирования сплошного тела. Тензоры деформаций Грина, Альманси и Генки
Для описания деформации в точке необходимо знать изменение длин произвольно направленных бесконечно малых отрезков, углов между ними и ориентированных площадок в этой точке. Поскольку тензоры деформаций Грина и Альманси дают возможность определить указан ные величины, перейдем к их вычислению. Предваритель
но введем орты im и /„„ необходимые для дальнейшего
изложения. Орты im направим по координатным линиям
хт. Через jm обозначим орт нормали к площадке, которая
—►
до деформации была ортогональна im. Заметим, что до де-
формации орты ут и im совпадают.
Вычислим изменение расстояния между двумя бесконеч
но близкими точками: |
|
|
ds*1— ds2= |
— dx/dx/. |
(1.5) |
Здесь и в последующем буде|м полагать, что |
|
|
detfl& J^O . |
(1.6) |
6
Найдем геометрические объекты через компоненты тен зора деформаций Альманси. С этой целью рассмотрим бес конечно малые отрезки, направленные после деформации
вдоль ортов ут. Удлинения их обозначим лт, изменение
/"Ч |
1^4 * |
угла между ними ц>пт, |
изменение площади S J S i, измене- |
ние объема V/V *, причем будем определять отношение величин до деформации к величинам после деформации. Выполнив аналогичные вычисления, получим
(1.18)
V/V* = 1 + Д = [d e t J l^ jr 1= Idet|6M + д Я |Г '. (И 9)
Таким образом, тензоры деформаций Грина и Альман си полностью определяют геометрические объекты и пред ставляют собой симметричные тензоры второго ранга, что видно из выражений (1.8) и (1.9). Следовательно, каждый из этих тензоров должен иметь хотя бы одну систему глав ных осей. Если принять эти главные оси в качестве коор динатных, то недиагональные элементы тензора деформа ций станут равными нулю. Таким образом, для каждой частицы тела имеем три оси, которые ортогональны до и
после деформации. Главные значения тензоров деформаций
>"ч
Грина и Альманси обозначим через ет и ет. Следовательно, если известны главные направления, то деформирование тела в точке характеризуется тремя главными значениями тензоров.
Имеются два способа описания деформирования тела в точке. Первый способ состоит в использовании шести ком понент тензора деформаций Грина или Альманси, так как по этим тензорам согласно выражениям (1.12) — (1.15) или (1.16) — (1.19) полностью определяются все геометри ческие объекты. Второй способ также заключается в приме нении шести величин, три из которых представляют собой
8
углы Эйлера, определяющие положение главных осей от носительно произвольной системы координат, а три. дру гие — главные значения тензоров деформаций.
Предположим, что уже осуществлен переход к главным («нм тензора деформаций Грина. В этом случае компонен ты тензора деформаций Генки — Грина (его главные зна чения) определяются по формуле
Л„, = |
1пЯт = |
1п К Т Т 2^ . |
(1-20) |
Важное свойство |
тензора |
деформаций Генки — Грина |
|
заключается в том, что имеет место соотношение |
|
||
-Ь Л3= 1п |
= In (1 + Д). |
(1.2 1) |
Кроме того, для главных значений тензора деформаций Генки — Грина (1.20) выполняются условия последователь ного суммирования удлинений, что не наблюдается для других тензоров. Последнее обстоятельство послужило причиной тому, что величины hm (1.20) называют истинны ми удлинениями. Поясним свойство последовательного сум
мирования. Пусть в |
недеформированном |
состоянии длина |
||||||||
стержня |
|
равна |
L, |
а |
в |
деформированном |
L + |
AL = L + |
||
-|- AZ.J + |
• ■■+ |
АГт . Тогда согласно |
(1.20) получаем |
|||||||
h = |
1п |
L -f АД |
|
. |
L -f- ЛЛХ-f- AL2 + • • • |
+ &Lm |
i -f- ALm |
|||
|
|
|
L------= l n -------------------- --------- 1 ---------------------------- |
|||||||
= |
In |
Г L ~HALi |
L -f- A/.x + A/.s L -f- A/.x -f- |
• • ■-f- ALm 1 _ |
||||||
|
|
[ |
L |
|
|
L + ALjpALX+ • ■• |
+ ALm_, J “ |
|||
|
|
|
In ^ *t~ |
|
I |
|n A + ALX+ ААг |
• |
+ |
||
|
|
|
ш |
L |
|
h |
L + ALX |
4 |
|
|
+ Л+ДУ-• ++afe = *■+^+ |
+h-■<r82> |
Предположим, что осуществлен переход к главным Осям тензора деформаций Альманси. В этом случае компо ненты тензора деформаций Генки — Альманси (его главные апачения) определяются по формуле
hm= \ n i m= \ n V 1 — 2em. |
(1.23)- |
/■"Ч |
аналогич |
Главные значения hm (1.23) имеют свойства, |
|
ные (1.21) и (1.22). |
|
Предположим, что произведен переход к главным осям i тензора деформаций Грина. Введем еще некоторые харак теристики деформации в точке, рассматривая процесс
9
деформирования в главных осях. Результирующим называ ют материальное волокно, которое одинаково наклонено к главным осям в недеформироваппом теле. После деформа ции результирующее материальное волокно относительно главных осей занимает новое положение, образуя угол 0 между двумя указанными положениями. Результирующим сдвигом называется величина у ■* sin 0. Легко можно по- -лучить
..2 _ 1 |
„„,.2 О_ 1 |
№| — ^»)* + Р-1 |
*■)* + (^-2— W |
|||
т - 1 |
« W 0 - - J - |
|
|
.,.»■ + ,> |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
Главными удлинениями формоизменения называют ве |
||||||
личины |
|
|
__i_ |
|
|
|
|
|
|
1 + Д |
|
(1-25) |
|
|
*« = *-«(! + |
А) |
3 ; |
= М Л - |
||
Главные удлинения формоизменения связаны между |
||||||
собой соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш з = 1. |
|
(1-26) |
||
Удлинение формоизменения |
результирующего |
волокна |
||||
■I определяется по формуле |
|
|
|
|||
|
З/2(1 + |
А)3 = КпК- |
|
(1-27) |
Рассмотрим плоскость, в которой находится результи рующее материальное волокно до и после деформации. Положение этой плоскости относительно главных осей в недеформироваппом состоянии определяет угол а [45], для которого из (1.26) можно получить следующее соотно шение:
/®[(/ — 2,5у2) ] / 1 — Y2 + 0,5]/2v3cos3a]= 1. (1.28)
Угол сс называют направляющим углом формоизменения. Соотношение (1.28) позволяет выразить одну из трех величин I, у и а через две другие. Результирующий сдвиг, главные удлинения формоизменения, удлинение формо изменения результирующего волокна и направляющий угол формоизменения не изменяются при чисто объемной дефор мации. В этом можно убедиться, если заменить кт на ikm в (1.24) — (1.28), так как указанные величины при такой за мене не будут зависеть от значения t. Заметим, что через
10