книги / Микромеханика композиционных материалов

где

Как видно из этих формул, влияние множества трещин в основном ска­ жется на изменении поперечных эффектов армированной среды.

§ 8. ПОПЕРЕЧНЫЕ СДВИГ И РАСТЯЖЕНИЕ

Рассмотрим среду с периодически расположенными симметричными относительно оси 0х2равными межфазными трещинами #0 < #</2. Кра­ евые условия на поверхности контакта волокна для неналегающих, т. е: со свободными от усилий берегами, трещин будут

Выделенный элемент взаимодействует с окружающими его волокнами через напряжения поперечных сдвига и растяжения. Решение задачи строится аналогично приведенному выше с учетом заданных однород­ ных напряжений взаимодействия. Искомые функции напряжений в первом приближении имеют вид

При действии средних напряжений поперечного сдвига следует принять Г = 0, <*2 = аз = 0. Напряжения взаимодействия в соот-

171

ветствии с методом последовательной регуляризации связаны со сред­ ним равенством

Для упругой податливости волокнистой среды с симметрично рас­

В предельном случае среды с совершенным контактом Ф0 = О,

14-к 010

х(*») = 4р % 7 5 Г >

иформула переходит в известную (1.5).

Сопротивление поперечному растяжению линейно-армированного материала весьма незначительно из-за высокой концентрации напря­ жений и сравнительно малой прочности матрицы. Определение изме­ нения упругих постоянных с ростом трещин при поперечных деформа­ циях представляет интерес в связи с задачей о разрушении слоистых структур, когда благодаря поддержке соседних слоев трещины лишь частично ослабляют слой. Последний играет активную роль в воспри­ ятии усилий на других площадках и непосредственно участвует в пе­ рераспределении напряжений между слоями.

Решение задачи о поперечном растяжении строится аналогично за­ даче о поперечном сдвиге. Разрешающие функции соответствуют пред­ ставлению (8.87), где С°3 = 0.

Приближенные формулы для определения упругих постоянных при (сг2) ф 0 имеют вид

172

Здесь

Если поперечное растяжение материала осуществляется нормаль­ ными напряжениями (а3)=^=0, то в результате решения задачи оп­ ределяются податливость Е ~\ а также соотношения симметрии между

эффективными упругими параметрами, связывающие между собой коэффициенты закона Гука, расположенные симметрично относитель­ но главной диагонали.

Для рассмотренного расположения симметричной трещины упру­

(8.91)

где

■X

(1 -е)4 + (1+4Р2)«"5^

Х2(ив + ви/0)-(*о + 1)«

Остальные обозначения соответствуют выше приведенным.

173

Рис. 72 Рис. 73 Рис. 74

Интенсивность напряжений у концов трещины при поперечных растяжении и сдвиге имеет типовую особенность с возрастающей ос­ цилляцией напряжения.

Изменение упругих постоянных с ростом угла раскрытия трещины Ф0 в приближении однородного взаимодействия имеет монотонный ха­ рактер от максимального значения, соответствующего материалу с совершенным контактом компонентов, до минимального, соответству­ ющего пористой матрице.

Типовое поведение кривых, отображающих изменение модулей

модуль Еъ как и следовало ожидать, в основном определяется слага­ емыми, не учитывающими взаимодействие волокон и матрицы. Изме­ нение поперечных эффектов при растяжении в трех взаимно перпен­ дикулярных направлениях с ростом угла отслоения волокон от мат­ рицы показано на рис. 73. Здесь кривые 1—4 определяют соответствен­ но поведение т°3, и г°2. Различие между V°1и мало, поэтому

в данном масштабе кривые 2 и 3 сливаются. Изменение модулей сдвига линейно-армированного слоя, ослабленного ориентированными сим­ метричными трещинами, с ростом угла отслоения представлено на рис. 74, где кривые 1—3 определяют соответственно 0 1з/0, 012/С, 02^0.

Все рассмотренные формулы дают несколько завышенные резуль­ таты при больших углах отслоения и построены по теории однородного взаимодействия волокон.

§9. СРЕДЫ

СПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОЙ ТРЕЩИНОЙ

Среды с произвольно расположенной трещиной представляют осо­ бый‘интерес в связи с влиянием ориентации и размеров трещин на эффективные упругие параметры при дисперсном разрушении компо­ зиционного материала. Напряженное состояние материалов в случае эксплуатации характеризуется повышенной интенсивностью на неко­ торых площадках, поэтому именно на них следует ожидать наиболь­

174

шего числа развитых трещин. Последнее приведет к существенной анизотропии материала и к снижению упругих модулей. В частности, первоначально трансверсально-изотропный линейно-армированный материал с гексагональной структурой характеризуется пятью упру­ гими постоянными; после появления произвольно ориентированных трещин постоянных становится уже 13. Случай продольного сдвига среды с произвольно расположенной трещиной рассмотрен ранее. Оставшиеся десять упругих параметров определим для первоначально трансверсально-изотропного материала, соответствующего гексаго­ нальной упаковке волокон.

Учитывая идентичность в постановке краевых задач, воспользуемся граничными условиями, приведенными в § 8, обобщая их на случай произвольно расположенных трещин. Середину трещины определим углом 0, ее величину — й0Решения задач строим в приближении однородного взаимодействия. Общее выражение разрешающих функ­ ций, пригодное для всех случаев нагружения (исключая продольный сдвиг), имеет вид

Ц (0) = — &ехр (— /е — 2{№0).

Введенные постоянные связаны с напряжениями однородного

175

Кроме указанных условий, существуют ограничения на коэффи­ циенты разложения комплексных потенциалов в степенные ряды, об­ условленные равенствами (8.62).

Для произвольного расположения трещин исходя из соотношений симметрии для всей среды как однородного тела обобщенный закон упругости имеет вид (1.46), как для тела с моноклинной симметрией.

Модуль нормальной упругости менее чувствителен к несовершен­ ствам, обусловленным разностью коэффициентов Пуассона компонен­ тов, поэтому рассмотрим поперечные эффекты при продольном рас­ тяжении, когда ((?!> ф 0.

В этом случае согласно уравнениям (1.46) возникают побочные

где I — контур границы приведенного элемента.

Искомые коэффициенты из этой системы легко выражаем через

Здесь контур ^ в первом приближении может быть деформирован в окружность равновеликого круга. Для установления явной зависи­ мости постоянных от параметров структуры и ориентации трещин следует внести значения смещений по формулам (1.31) и (8.92).

В случае поперечного сдвига среды ((о25) ф 0) с несимметрично размещенными трещинами наблюдаются также ее удлинения в трех взаимно перпендикулярных главных направлениях. Согласно урав­ нениям (1.46) продольные смещения при поперечном сдвиге (в!) =

= ~ (ст23) = я,1в (у23)0; соответствующие продольные смещения при поперечном сдвиге {их) = х ^ 1б (у23)0.

176

Коэффициенты V18 находятся путем усреднения продольных сме­ щений среды при поперечном сдвиге. Усредняем по площади ячейки Р нормальные напряжения аь вызванные поперечным сдвигом и пре­ пятствующие деформациям из плоскости:

Обозначим через ц2, и3 смещения, возникающие при поперечном сдвиге среды ((а23)^=0) в условиях плоской деформации:

+(*21 — ^31) + Ц1 — ^16^61)1 2}.

Аналогично (8.80) и (8.81) находим

(8.96)

177

Пусть среда находится в условиях одномерного поперечного рас­ тяжения (а2) ^ 0 . Деформации имеют вид (см. (1.47))

Смещения, возникающие при данных условиях нагружения, обозна­ чим г*2> из. Средние смещения

178

Используя преобразования при выводе формул (8.80) и (8.81), получаем

Соотношения (8.95)—(8.98) позволяют определить полный комплект упругих постоянных; ряд соотношений приводится к равенствам вида (5.12).

Представим первые приближения для упругих постоянных при по­ перечном сдвиге армированной среды, ослабленной произвольными по величине и расположению межфазными трещинами:

179

я (*о) = Т + Т 003 - 2р ЗШ 0 , + 2рг з т 2 А +

Отметим, что состояние поперечного сдвига может быть получено су­ перпозицией напряжений поперечного растяжения и на перпен­ дикулярных площадках равных им напряжений поперечного сжатия. Последние вызовут налегание берегов трещин друг на друга, что при­ ведет к изменению напряженного состояния и эффективных модулей сдвига.

Важнейшие эффекты при поперечном растяжении (а2)= ^ 0 опре­ деляются приближенными формулами

где

а _ _ г- ( С05 А _ 2р зы А) — г ^ - ( 4 - + 2рг)2 ^51П2 20

.180