книги / Микромеханика композиционных материалов

После подстановки в эти уравнения разложений функций в степен­ ные ряды по г придем к системам бесконечных алгебраических урав­ нений [23]

так{0,к—Р+1}

151

Г (*) — гамма-функция [6].

Анализ системы (8.44) приводит к заключению, что при отсутствии касания волокон между собой система имеет единственное решение, для нахождения которого применим метод редукции.

§ 4. КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ СРЕДЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ

Линейно-армированный слой является составной частью компози­ ционного материала, волокна в котором, как правило, образуют слож­ ную пространственную структуру. В процессе длительного статическо­ го, квазистатического или низкочастотного циклического нагружения в структуре возникает и развивается множество трещин; благодаря сте­ сненной деформации среды и ее неоднородности каждая трещина вызы­ вает лишь локальное перераспределение напряжений вследствие сни­ жения упругих характеристик отдельного приведенного элемента. Рассеянное локальное разрушение способствует накоплению трещин в материале и при определенном уровне дефектов приводит к слиянию отдельных разрывов в макротрещину. Представляет особый интерес рассмотреть изменение упругих свойств реального материала при его дисперсном разрушении, критерии разрушения этого материала и ус­ тановить параметры, необходимые для согласования данных модельных исследований с результатами экспериментов.

В основу исследования положим приближенные аналитические зависимости упругих параметров (8.41) от показателей дисперсного разрушения.

Для упрощения анализа рассмотрим симметрично расположенные трещины, когда их центр размещен на прямой, параллельной оси Ох2и проходящей через оси волокон. В этом случае 0 = 0, и формулы (8.41) упрощаются

Данные значений упру гих постоянных будут соответствовать верхней и нижней границам области, определяющей снижение жест­ кости материала вследствие роста в нем одинаковых произвольно ори­ ентированных трещин. Для упаковки, близкой к гексагональной, при объемном заполнении стеклопластика (6а!С = 25) С = 0,7 устойчи­ вое распространение симметричной трещины около волокна достига­ ется вплоть до углов раскрытия 2л/3, что соответствует #0 = 4л/3

152

ключается из работы, становятся существенными интегральные эф­ фекты. Рост концентрации дефектов значительно снижает жесткость материала; при этом существенны эффекты анизотропии вследствие ориентации трещин.

Из данных расчетов видно, что концентрацию дефектов в качестве критерия разрушения композиционного материала необходимо согла­ совывать с распределением размеров трещин, так как только развитые трещины могут вызвать макроскопически наблюдаемое изменение свойств и перераспределение напряжений между волокнами.

Другим важным фактором является анизотропия разрушения ма­ териала, которая позволяет оценить эффекты, вызванные преимуще­ ственной ориентацией трещин.

Критерий дисперсного разрушения материалов по измеряемому изменению их упругих характеристик, как это следует из (8.41), непо­ средственно согласуется с размером, ориентацией и концентрацией трещин в структуре. Непосредственным проявлением этих факторов является изменение, например, при продольном сдвиге трех упругих постоянных при дисперсном разрушении.

В свете изложенного существующие критерии линейной механики разрушения могут дать оценку критического напряжения только для отдельно взятой трещины. Согласно энергетическому критерию раз­ рушения предельные напряжения при сдвиге среды в одной плоскости ((а13) = 0) определяются формулой (8.30), которая применительно к данной структуре с симметричными трещинами преобразуется к сле­ дующему виду;

153

Используя доминирующее слагаемое в разложении податливости (8.41) и подставляя его в^приведенную формулу, найдем первое слага­ емое в распределении напряжений у кончика симметричной трещины в структуре

на концентрацию напряжений. Если концентрация трещин снижает­ ся до нуля, то критическое значение напряжения при дисперсном раз­

шения, но, видимо, типичен для дисперсного разрушения; интерес представляет интервал изменения критического напряжения. Таким образом, в первом приближении установлена зависимость критичес­ ких напряжений не только от размеров трещин, определяемых углами раскрытия, но и от концентрации дефектов в композиционной среде.

§5. КОГЕЗИОННОЕ

ИСМЕШАННОЕ ЛОКАЛЬНЫЕ РАЗРУШЕНИЯ

Рассмотренные случаи возникновения трещин относились к так называемому адгезионному разрушению композиционных сред, когда разделение материала происходит точно по межфазной границе. По­ добный вид локального разрушения наиболее распространен вслед­ ствие повышенной концентрации напряжений именно в этой зоне, а также ослабленных связей между химически различными фазами изза плохой смачиваемости одной фазы другой и др. Если между компо­ нентами в процессе изготовления материала устанавливаются прочные связи, то возможно когезионное разрушение, при котором трещины распространяются в матрице или волокне.

Одна из причин образования трещин в волокнах — остаточные технологические напряжения, возникающие при изготовлении. Н а­ пример, волокна бора большого диаметра вследствие значительных тех­ нологических напряжений часто разрушаются вдоль радиуса волок­ на. В полимерной матрице причиной образования трещин являются ос­ лабления, вызываемые неудаленными побочными продуктами реакции при отверждении.

Под смешанным понимается разрушение, сопровождающееся одно­ временным появлением трещин на межфазных поверхностях и в ком­ понентах в пределах одного приведенного элемента. Наибольший ин­ терес при подобных моделях разрушения представляют зависимость интегральных модулей от геометрии трещин в структуре и изменение интенсивности напряжений вблизи концов трещин.

154

Трещина когезионного разрушения в дальнейшем моделируется в виде дуговых разрезов, расположенных, например, в матрице на окруж­ ности радиуса а0> а, где а — радиус волокна. Полагаем, что при­ веденный элемент содержит только одно волокно; материал имеет прос­ тую периодическую структуру. Точки, расположенные на окружности трещины, будем отмечать т0 = а ^ \ размеры дуговой трещины 10оп­ ределяются углом #0. положение ее центра — 0. Напряженное состо­ яние будет слагаться из отдельных состояний — в волокне, на коль­ цевом участке между волокном и окружностью трещины и в области, размещенной между окружностью трещины до границ ячейки — па­ раллелограмма периодов. Полагаем, что компоненты материала одно­ родны и изотропны. Условия контакта между введенными областями будут:

на границе приведенного элемента и оставшейся части ячейки “+ = “г- х'€ г .

Функции, описывающие поле на внешней части окружности трещины, отмечаются звездочкой.

Условия на межфазной границе будут удовлетворены, если иско­ мые функции перемещений в каждой области принять в виде

Здесь индекс т определяет т-е слагаемое в разложении внешнего воз­ действия. Коэффициенты Атп и Втп находятся из решения вспомога­

155

Решение этой системы будет

Опуская громоздкие и однотипные преобразования, проводимые по методу последовательной регуляризации, приведем окончательные ре­

зультаты.

Упругие постоянные продольного сдвига в приближении однород­ ного взаимодействия

Остальные обозначения соответствуют принятым в этой главе. Если сравнить найденные формулы с (8.33) для материалов с межфазной трещиной, то нетрудно убедиться в их эквивалентности с учетом (8.52). Здесь действует ранее установленное нами правило в задаче о продольном сдвиге армированных материалов без трещин: упругие постоянные среды зависят от эффективных параметров компонентов, каждый из которых в свою очередь тоже представляет композицион­ ную среду.

Если ячейка содержит N включений, из которых п волокон вбли­ зи межфазной поверхности в матрице имеет одинаковые по размерам и ориентации дуговые трещины, то упругие постоянные такой среды при продольном сдвиге в приближении однородного взаимодействия ком­ понентов составляются согласно формулам (8.41)

156

Критические напряжения сдвига определяются непосредственно через упругую податливость среды согласно формуле (8.30).

В случае дисперсного разрушения среды с симметрично располо­ женными трещинами в структуре общего вида критического напряже­ ния будут определяться в соответствии с (8.46) соотношением

Здесь сохранены обозначения (8.54).

Особый практический интерес представляет приближенная оценка когезионной и адгезионной прочности композиционных материалов исходя из условия равенства критических напряжений по линейной механике разрушения в случае малых трещин, расположенных в об­ ласти, примыкающей к волокну, и на межфазной границе. Полагаем, что межфазная и прилегающая к ней зоны однородны, локальная тре­ щина расположена симметрично относительно площадки с наиболь­ шими напряжениями (# = 0). Трещину в матрице располагаем на рас­ стоянии а0= 1, 1а; для стеклопластика (6а/0 = 25) при ^ = 0,7 со­ противление росту трещины при адгезионном разрушении должно быть на 10 % выше такового при когезионном разрушении. Указанное раз­ личие обусловлено падением локальной интенсивности напряжений с удалением от межфазной поверхности. Приведенная оценка нужда­ ется в уточнении для тех конфигураций волокон, при которых они подходят друг к другу весьма близко.

Другая, не менее важная задача состоит в численной оценке изме­ нения эффективных модулей для реальных материалов и сравнении этих результатов с такими данными, которые были найдены для

сред с ослабленной межфазной границей.

Результаты расчетов для линей-

157

рис. 70. Кривые 1, 3 иллюстрируют изменение модулей (?13/<3 и 012/0 с ростом межфазной трещины, а кривые 2, 4 — изменение тех же ве­ личин, но при симметричной когезионной трещине, расположенной на расстоянии от центра волокна а0(а = 1,1. Отметим, что с увеличением объемного содержания волокон до ? = 0,7 количественное отличие эф­ фективных характеристик с внутри- и межфазной трещинами стано­

нение эффективных постоянных, практически совпадают. Слабое от­ клонение кривых обусловлено высоким отношением упругих постоян­ ных волокон к таковым для матрицы.

Приведенное позволяет сделать вывод, что в композиционных мате­ риалах, у которых упругие характеристики заполнителей на порядок и более превосходят соответствующие показатели для матриц, изме­ нение эффективных постоянных с ростом межфазных одинаковых по размерам и ориентации трещин при продольном сдвиге фактически не отличается от таковых для сред с эквивалентными внутрифазными тре­ щинами. Поэтому исследование интегральных упругих постоянных в высокомодульных композиционных материалах с межфазными тре­ щинами с удовлетворительной точностью определяет влияние на эти параметры эквивалентных по величине и ориентации дефектов в мат­ рице.

При смешанном разрушении в материале возникают и развиваются одновременно две трещины — на межфазной границе и в матрице. Соответствующая краевая задача сводится к следующим граничным условиям (рис. 71):

фазной и внутриматричной дуговых трещин. Остальные обозначения

158

Уп (г) перестраиваются так, чтобы сформулировать систему функцио­ нальных уравнений для Уп (г) и Уп (г):

приближения в решении задачи. Найденная система функциональных уравнений решается методом, рассмотренным выше. Результаты вы­ числений имеют громоздкий вид, поэтому здесь приводим только фраг­ менты найденного решения задачи.

§6. СДВИГ СРЕДЫ

СТРЕЩИНАМИ И НЕОДНОРОДНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

Высокомодульные волокна из бора, углерода и других химических соединений имеют сплошную анизотропную и неоднородную микро­ структуру [421, поэтому представляет интерес исследование напряжен­ ного состояния у берегов трещин и структуры формул, определяющих эффективные параметры композиционной среды с трещинами с учетом влияния строения волокон [271.

15$

Рассмотрим влияние неоднородного строения изотропных волокон на указанные параметры при продольном сдвиге: 6а = С0еаг1 где О0— модуль сдвига сердцевины волокна; а — показатель изменения неодно­ родности его структуры; г — расстояние от центра волокна. Подобная модель пригодна для описания структуры волокна бора, когда прибли­ женно пренебрегается мелкокристаллической структурой осажден­ ного бора или его окислами. Уравнение для разрешающей функции смещений в волокне при сдвиге и его решение получены ранее (3.1). Матрица принимается изотропной. Искомые функции в приведенном элементе для волокна и матрицы ищем методом вспомогательных функ­ ций (гл. 5)

И тп1" +

160