книги / Микромеханика композиционных материалов

Дальнейшие преобразования удобно производить с привлечением урав­ нений усреднения (10.46). Значение погрешности при замене соотноше­ ний (10.47) на (10.48) зависит от степени неоднородности внутреннего поля; например, при отсутствии термоэлектроизолированных тре­ щин погрешность приближения (10.48) при прочих равных условиях становится минимальной. Для среды с трещинами формула (10.48) приемлема для малых трещин.

В общем случае поперечного потока в волокнистой среде вслед­ ствие несимметрии тензора термоэлектродвижущей силы имеется де­ сять существенно различных эффективных кинетических коэффици­ ентов. Определяющие уравнения термоэлектрических явлений в во­ локнистых средах при поперечных потоках согласно (10.11)

Здесь уравнения построены с привлечением обычных обозначений тер­

модинамических сил.

В дальнейшем рассмотрим частные случаи не связанных между со­ бой полей; если а = 0, аа = 0 и а = 0, ай — 0, то разрешающие функ­

ции (10.42), определяющие в этом случае распределение температуры в среде с термоизолированными трещинами на межфазных границах, будут

Условие усреднения (10.44) приводит к следующей связи между сред­ ним тепловым потоком и параметром <7:

231

Скорость роста удельной необратимой энтропии однородной анизо­ тропной среды согласно (10.14)

Скорость роста необратимой удельной энтропии волокнистой среды при поперечном потоке определяется через функции локального поля

+ С(1 - 0 М М Ч )-

Путем сравнения представлений энтропии (10.52) и (10.53) полу­ чим искомые формулы для эффективных коэффициентов теплопровод­ ности волокнистой среды с произвольными теплоизолированными меж­ фазными трещинами при поперечном градиенте температуры:

Рассмотрим приведенные коэффициенты теплопроводности в пре­ дельных случаях, когда в среде отсутствуют трещины (О0 = 2л; А* =

дов из (10.54) получаем известные выражения для х22 = х33, х23 = 0, совпадающие с (10.29); во втором случаем имеем х23 = 0; х22 = х33 =

= х что соответствует теплопроводности среды с теплоизоли.

рованными волокнами в приближении однородного градиента поля между волокнами.

Рассмотрим волокнистую среду с симметрично расположенными трещинами, когда 0 = 0. В этом случае формулы (40.54) принимают вид

232

П + С ^ -Я ^ + о - О ^ ] »

Упрощенные формулы, согласующиеся с рассмотренными выше пре­ дельными случаями, получаются при отбрасывании сумм в формулах

Формулы для коэффициентов теплопроводности (10.55) принимают вид

Этими формулами приближенно определяется изменение эффективных коэффициентов теплопроводности волокнистой среды при поперечном потоке с ослабленной двоякопериодической системой термоизолиро­ ванных трещин.

Электрическое поле в армированной среде с электроизолированными трещинами на межфазной границе при поперечном токе оп­ ределяется функциями, вытекающими из соотношений (10.42) при а = 0, аа = 0 и ха = 0, и = 0:

Учитывая аналогию между функциями локального поля (10.50) и (10.55), а также между формулами усреднения и представления энтро­

пии, выпишем эффективные коэффициенты электропроводности волок­ нистой среды с электроизолированными трещинами при поперечном токе

^22^1 =

О з з / с г )

2 3 3

н-*-<т на ха Аналогично строятся и приближенные формулы для эффективных

коэффициентов.

§ 4. ТЕРМОДИНАМИКА ТЕРМОГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

При наличии магнитного поля термоэлектрические явления выде­ ляются в термогальваномагнитные, так как кинетические коэффици­ енты зависят от напряженности и направления магнитного поля. Маг­ нитное поле не вызывает дополнительные диссипативные процессы в проводящей среде; для физической интерпретации новых кинетических коэффициентов наиболее приемлемо определяющее уравнение (10.7).

В линейном приближении в разложении кинетических коэффици­

ентов а1к по степеням интенсивности вектора магнитного поля Н пола­ гаем [47, 67]

поэтому уравнения (10.7) преобразуем к виду

Если учесть соотношения симметрии (10.9), то параметры определя­ ющих уравнений для немагнитных материалов можно выразить через термогальваномагнитные коэффициенты

где Ь 4кр — символ Леви — Чивита,

I0 (при другой последовательности индексов);

—тензор коэффициентов Холла, определяющий влияние магнит­ ного поля на электропроводность; Ьрп — тензор коэффициентовЛедю-

ка — Риги, определяющий влияние магнитного поля на теплопровод­ ность; N ^2 — псевдотензор коэффициентов Нернста — Эттингсхаузена, определяющий влияние магнитного поля на термо-ЭДС (эффект

234

Нернста) и связанное с последним влияние магнитного поля на теп­ ловой поток, возникающий вследствие проходящего электрического тока (эффект Эттингсхаузена). Основные уравнения с учетом этих ко­ эффициентов примут вид 167]

и определяющие соотношения примут вид

1 = Р/~-Ьа^гайТ + Я Я х/ + ЯЯх^гаДГ;

(10.60)

ц — л/ — и ёгайГ + 7ЧУЯ X/ + 1Я х§га(17\

Здесь чертой сверху отмечены векторы; знак х — означает операцию векторного произведения, вследствие чего в линейном приближении существенна составляющая вектора магнитного поля, перпендикуляр­

ная к вектору тока / или градиенту температуры.

В более общем случае магнитных материалов равенства (10.57) заменяются соотношениями

В этом случае псевдотензоры третьего ранга Р1Лт, Ы1кп, М 1кп и (}Шп

снижающие число существенных констант [67]. В тех случаях, когда

существенны квадратичные по Я слагаемые, при отсутствии градиен­ та температуры зависимость напряженности электрического поля от плотности электрического тока имеет вид

где Т 1ктп = Т1кпт— тензор магнетосопротивления.

На границах фаз при совершенном контакте должны выполняться условия (10.19). Кроме того, должны быть определены средние зна­ чения потоков (10.15), а также средние значения напряженности маг­

235

§ 5. ’ПЕРМОГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ

Рассмотрим случай изотропных однородных компонентовЛМагнитное поле в среде определяется независимо от остальных полей; наи­

эффектов на распределение внутренних полей в структуре линейноармированной двухкомпонентной волокнистой среды; ось Охх системы декартовых координат совместим с осью волокна, расположенного вдали от края слоя.

При указанных предпосылках статическое магнитное поле в ком­

В условиях совершенного контакта фаз должны соблюдаться усло­ вия равенства нормальных к граничной поверхности компонентов век­ тора магнитной индукции и тангенциальных к границе составляющих

Здесь п — внешняя нормаль к межфазной поверхности. Среднее зна­ чение магнитной индукции должно определяться равенством

Согласно первому уравнению (10.63) напряженность двухмерного маг­ нитного поля выражается через магнитостатический потенциал ф (г):

Я2 — Ш3 = — 2ф' (г), г = х2+ 1Х3.

Краевые условия (10.64) определяются через комплексные потенциа­ лы в виде одного уравнения

Здесь /а, 1В— контуры, ограничивающие в плоскости хх = сопз! во­ локно и матрицу. Эффективная магнитная постоянная определяется условием эквивалентного представления магнитной энергии приведен­ ного элемента среды

236

Функции локального поля, удовлетворяющие в первом приближе­ нии поставленным условиям, запишем в виде

где

Т* = (1 -О 7 а + 0 - 0 7 .

Эффективная магнитная проницаемость волокнистой среды в попереч­ ном поле в приближении однородного взаимодействия волокон будет

Изменение у22 с ростом объемного содержания волокон С и отношения

у1уа аналогично зависимости эффективных модулей продольного сдви­ га линейно-армированных материалов от указанных параметров. Обо­ зримые результаты по исследованию термогальваномагнитных явле­ ний удается получать при рассмотрении частных случаев полей. Наи­ более важным из них является эффект Холла; другие эффекты тоже полезно оценить для композиционных сред различной структуры и упаковки. Для принятого представления термодинамических потоков и сил в случае изотропных компонентов волокнистых сред определяю­ щие соотношения (10.60) запишем в виде

В дальнейшем рассматриваются случаи, когда магнитное поле, ос­ новные градиенты температуры и токи направлены перпендикулярно к волокнам армированной среды, поэтому принимаются заданными только следующие компоненты:

Н г— 1# 3, /2 — Л.

В соответствии с этим предположением в определяющих уравне­ ниях можно разделить основные и побочные токи и потоки

237

В соответствии с теоремой об эквивалентных состояниях операции усреднения проводятся по токам и потокам, поэтому систему (10.68) перестраиваем

где х* = х + стал, от = 1/р. Побочные токи и потоки остаются без из­ менения. В дальнейшем все построения аналогичны таковым в задаче о термоэлектрических явлениях, поэтому пользуемся теми же обо­ значениями и методом решения задачи. Строгое решение задачи стро­ ится с привлечением двоякопериодических функций (10.17) и решений (10.18); представление искомых функций согласуется с введенными ранее (10.16); краевые условия для этих функций полностью согласу­ ются с соотношениями (10.19) или (10.21) при тех же предположениях относительно изменения температуры в пределах выделенного объема. Средние значения токов и потоков соответствуют приведенным в фор­

мулах (10.23) и (10.22), где х* = х7-, х* = х.

В приближении однородного взаимодействия в двухкомпонентных средах локальное поле принимаем в виде функций (10.25). Коэффици­ енты определяются соотношениями (10.27). Кинетические коэффици­ енты поперечных потоков и токов находятся в соответствии с представ­ лением (10.28).

Продольные термогальваномагнитные эффекты определяются не­ посредственным усреднением продольных токов и потоков по площади приведенного элемента. В композиционных средах вследствие взаимо­ действия полей при одновременном наложении температурного и электрического полей термогальваномагнитные эффекты являются смешанными между собой, поэтому в дальнейшем ограничиваемся рас­ смотрением отдельных случаев.

Если пренебречь температурными эффектами, вызванными гради­ ентом температуры, то в среде будут только электрические токи. Тогда локальное электрическое поле в компонентах определяется функци­ ями

которые построены с учетом условия непрерывности на межфазной границе электрического потенциала и нормальной составляющей элек­ трического тока, а также при заданном среднем токе. При этом при­ нята связь между токами и потенциалом

238

ГЛАВА 11

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Наполнение пьезокерамики ориентированными волокнами или ни­ тевидными кристаллами — один из путей ее упрочнения, повышения физико-механических характеристик и управления интегральными параметрами. Наибольших эффектов от армирования следует ожидать для схем ориентации волокон, согласующихся с симметрией поляриза­ ции пьезокерамики.

Другие эффекты высшего порядка в армированных средах опре­ деляются пьезо- и упругооптическими свойствами компонентов. Ди­ электрические материалы типа стеклопластиков обычно прозрачны в невидимой части спектра электромагнитного излучения, поэтому задача теории фотоупругости армированных сред аналогична изложен­ ной выше — это установление количественных соотношений, связы­ вающих их напряженно-деформированное состояние с измеряемыми эффектами в выделенной части спектра электромагнитного излучения с учетом особенностей структуры волокнистых сред.

Ниже в длинноволновом приближении найдено решение постав­ ленной задачи в простейшем случае напряженного состояния компози­ ционного материала.

§ 1. СДВИГ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД

Рассмотрим задачу о продольном сдвиге линейно-армированной круглыми волокнами среды, компоненты которой обладают пьезоэлект­ рическими свойствами. Будем пренебрегать краевыми эффектами на граничных поверхностях материала, поэтому среду принимаем неог­ раниченной и имеющей регулярную двоякопериодическую структуру. Для упрощения задачи выделим случай, когда направления осей электрической поляризации волокон и пьезокерамической матрицы совпадают [20]. Примем, что пьезокерамика и волокна обладают транс­ версально-изотропной симметрией; структура среды, окружающей вы­ деленный объем V, образована периодическим продолжением в направ­ лении осей х2. хз рассматриваемой ячейки. Выделенный объем в об­ щем случае предполагается составленным из N сортов непрерывных ци­ линдрических волокон (кристаллов), связанных между собой одно­ родной матрицей; частицы колеблющегося объема находятся в одной фазе; изменением внешних механических и электрических напряжений

240