книги / Микромеханика композиционных материалов

сг4 = сх2 = о3 = а0,

(6.17)

^ = - 6 В ( 1 - 2 ^ ) А а - | ± ^ - . « * - 0 .

а 1

Состояние матрицы согласно (6.13) и (6.15)

„г ------2 < 1

- 2 т ) В ' + 6 ( 1 - 2 т ) - ^ = ^ в - ^ - ,

«в- 0 ,

<г„ =

- 2 5 6 - 2 4 0 ( 1 - 2 ^ 4 К п о В -^ >

ав «=аф =

_ 2 Ш

+ 1 2 С ( 1 - 2 у ) - 4 ^ В ^ , <гг0 = 0.

(6.19)

ит=(ё,ёг) и, + (ё2ег) иг +

(ё3 г) и3 =

«= (е) Г (11х С05 0 + и г 51П 0 С05 ф +

и3 51П 0 5Ш ф).

о

_ _ ( о > ____________ 3*а +

40

° ~

6(1 — 2V) 3к к + А^0ка +

4 (1 - О Ок ‘

равенства (6.20)

вторым

представлением

энергии и

напряжений

о>

в подынтегральной функции на средние значения:

где

аг = ег-ег-Т =

(а),

Т =

(ехех +

~е2ё2+

ё3ё3) (а),

далее

<а>*

3 ^ +

3 ( 1 - ^ ) Л а +

40

ж - = # П

“^ з!пе^ ' р =

2

З к к +

Ц О к

+ 4 ( 1

- 0 Ой

•

откуда эффективный модуль объемной упругости

_

ЗАаЬ + 4С^а + 4 ( 1 - а С *

(621)

3 ( 1 - ^ ) й а +

3 ^

+ 4С?

1

3*4-40

9*

3к 4-40 <2/- +

(7 — 5\*) о + (8 -

10у)О

^ гР г (С03 0) ’

а ’

1—V

в Р 2 (соз 0)

5

(6.22)

От

ао

2 (7 — 5у) 0 + (8 — 10у) О

Ьа

3*4-40 д ,

10 __ ^

°д__

п р (С05 0)

Ж

3*а440 Ц +

(7 - 5у) О4- ( 8 - 1 И 0а

<С° 3

_

5 ( 1 - у ) Са

р

Л Р , ( СО5 0)

'0

(7 — 5“у) (7 4~ (8 — 10л>) 0Д **I

ст2 =

I

ЗА +

40

0

5 ( 1 - у) 0Д

Л Г4 Р / со, б ) 1

3*

з* 4 -

40

V

(7—5у)0 4- (8 -

1(Ъ0 0Д * ^ 2 (С05 ^ +

е

+

4Ра (соз 0)

ав

к

з* + 40

0

5(1- V ) 0

°ф

ЗА

ЗА

+

4 0 ^ ^

(7 — 5у) С? +

(8 — 10у) 01<3х

2р2(созщ+ —2^д059) с^е е];

для матрицы

" г = Ж «Г-

1

*а~ *

С д3

I

I

1 г

I

‘°

- 8у

у

ЗА

ЗАа + 40

4 г* ^

] ЗС

^

120

Х

5 ( 0 - 0 )

0 - 0 л

V, _____ 01^—V

в*

3

в Ч л п /

пх

0 —

Оа

(7 — 5у) 0 + ( 8 —

КЬ>)0

га

20

(7 — 5у) О +

(8 — Юг) Оа

г4 ] ^ г (С03 0;,

~

["Г г +

(! — 2у) (О — С )

а3 ,

3 (7 — 5у) 0 + (8—

10г)0а

г*

+

° —

а6 I

(2

4Ра (со5 6)

(7 — 5у) О +

(8 — 10у) Сл

20

40

•

(6.23)

л

1

40

^ —А

**27^г3 +^

[4| 3 ~

5

(Ю — 2V) (О — О )

аг =

х3 <хг +1 '

ЗА

ЗАв 4 ” 40

3

(7 — 5у) 0 +

( 8 — Ю \)О й X

12 (0 — О )

V ___ |_____________________

*]<ЗР2 (С08 0),

гЗ

^

(7 «— 5у) О4- (8 — 10у) О

стге

-0

+

(1 + V) (С -С

)

3

(7 — 5V)0 +

(8—

10у) Оа

Г3

4 ( о - с а:

а5*] п

4Р2 (соз 0)

(7 — 5у) 0 +

(8 — 10у) О

гь ]У

40

в« =

т « -

20

А„ — А

га

+

(1 — 2у) (О — Од)

ЗА

ЗАа +

40

3

у

10у)0а

0

(7 — 5 ) 0 + (8—

9 ( 0 - 0 )

г»а5

<2Рг (соз 6) —

* 7 Г + - (7 — 5у) О + (8 — 10у) Оа

Г 5 / .

о.л

а3

,

в Ч

° - ° а

10У)0С <3

^

(; 905б) с (§ 9 ,

[ 3 ^

г3

т\ ]

(7 — 5V)0 + (8 —

20

Аа — А

аз

г 5

аз

аБ

1

а ф - — Ж

1Г+40™ <275' + [ т

(5

8л>) 7 з

3 Ж

| х

Х

(7 — 5у)0 +

(8— 10у)Оа

(С08 ^

+ ["3 ^

Ж +

7»

л

0 - О л

4Ра (соз 0) с1§0.

(7 — 5*у) С -Н (8—

107) Оа

40

Постоянную 0, устанавливаем на

основе первого

представления

энер­

гии

(агиг +

ОгеЫе) г2зш №№ф =

~

(6.24)

где

иг =

{е^гсоз2©;

ие =

— (е ^ г с о зб зт б ;

иф =

0.

Связь между внутренним полем и средними напряжениями

0 = ____________________ <^!>-

(7— 5V) (О

— О)

(6.25)

4№

к

— к

2С .

1+ 3к

Зйа + 4С

' 3

(7 — 5V) О + (8 — 1(IV) Са

Модуль при

растяжении

Е0 среды легко определяется

подстановкой

а г =

(о ^ СОЗ2 0,

Оге =

— (С^) СОЗ 0 51П 0.

(6.26)

Окончательно запишем

1+

4^0

— к

2Ь

( 7 - М (0 - 0)

36

ЗАа + 4 0 ■ +‘

3

(7 - 5у) 0 + (8 —

10у) Од

(6.27)

к - к

2ЪЕ

( 4 - 5 ^ ( 0 - 0 )

36

36 + 4 0

30

(7 — 5V)0^-(8—

10^)0а

Эффективные постоянные Ко и Е0 в принятом

приближении поз­

воляют найти другие характеристики среды:

V -

( ^ )

3 —ЗКо

VI) с ростом

объемного содержа­

ния

? (верхняя

шкала), а кри­

вые

1 — 3

подсчитаны

соответ­

ственно

для

К о Е о ! Е , Оо/О

(нижняя шкала). Расчеты про­

ведены применительно к компо­

зиционной среде из

эпоксидной

матрицы

и

стеклянных микро­

сфер

с

характеристиками: V =

= 0,382; Vа =

0,2;

0а/6 = 25.

При

одинаковых

микросферах

предельное

значение объемного

содержания

(см. §

1)

0,52 ^

< С тах< 0,74.

значений

Вблизи указанных

в зависимости от упаковки зна­

чения Е0, Ко существенно от­

клоняются

отточных. Для гек­

сагональной

упаковки

область

Рис. 50

применимости соотношений (6.21)

и (6.27) будет выше. Концент­

рация напряжений

на

межфаз-

0 =

4^0 <1-

2^ (*„ -*)

!

^

(1 + V) (7-

5») (о - в ) ' (6'30)

3к

ЗАа + 40

■*"

3

(7 — 5\) О+

(8— 1(7у) 0 а

Формула для модуля (6.27) принимает

вид

1 +

Ц С

(1 — 2 у ) ( а — к)

2^

(1 + V) (7 — 5V) (Са —

0)

^

Зк

ЗА?а Н-4О

+

3

(7 — 5\>) <3+

(8— 1<Ь*) 0 а

Е° = Е

:

1Е

Ьа - к

%

(4 -5 ^ (0 о-С >

•

ЗЛ

ЗЛа + 4 0

30 (7— 5у) 0 + (8—

10у)0а

о? = 0, о?е = 0.

(6.32)

о? = - 2 Б 0в ( 1 - ^ ) ,

с?е = 0.

(6 .3 3 )

о° = 0 ; = - 2 Е вв ( ц - - | + ) .

Смещения и напряжения

в матрице

Цг — — 2(1 — 2ч)Сг

— ^

4( * - * с ) О а + « ? Ч (3*,+

40а)

(ЗАв + 4 0 ) 0 о + 3?>Ао ( 0

- 0

<1)

«е =

0,

(6.34)

4 (

Л

- у

Оа +

цЧа (Зк + АОа)

«г

— 2 Е С +

2 Е - !

(ЗАа +

4С)0о +

3?»Аа ( С - е о)

°

г»

>

сге =

о<р = — 2Е С —

В

4 {к -

Аа) Са +

(3к + 4<За)

„

а.

<Зйо +

40) Оо +

3?»Ав ( в — Са)

Ь

г5 ’

о,в =

0.

Между постоянными существует связь

ь Г Е

3к + 40

° - ° а 1

С,

р _2_ _а

а 1

4 - б ? 3 (1 + \ а)

° Е [ ка Зк + 40

3 6 + 4 0 ]

где <7=

е/а.

<сг> к

Оа(3ка+ 40) +

(О -

Оа)

2В

Са [ЗАЛа+ 4^0Аа+ 4 (1 - С) Ок] -

<7а*о 14^ а 0 + 3«?а -

3(1 - О кО]’

Однородные напряжения

в структуре связаны со средними

Оа (3йо + 40) + 3 ^ а ( 0 - 0 в)

{ } Оа [3кка + 4^0Ла +

4 (1 -5 ) Ок\ - ЯЧа [4500д +

3кОа -

3 (I -+)А0] *

кими включениями

К0 находим через

второе представление энергии

-

_ 12к к 1(1 -

<73) Оа +

(1 - О дЮ] + 160а0 [ 5 ( 1 - Я3) ка +

(1 -

5) *]

Д о

%Я*как +

12дЮка + 1250аЛ +

12 (1 -

5) (I -

Я•) Ов*в +

1б0о°

‘

(6.35)

Рассмотрим предельные

случаи.

Если

<7=

0

и полости

во вклю­

чении

нет, получаем зависимость (6.21).

Если

7 = 1, включение вы­

рождается в полость и К0= 4

• Этот же результат полу­

чается

при ка = 0,

Са = 0.

Для абсолютно жестких включений

0а =

= оо,

ка = оо имеемКо=

.

0,5;

0. Практический интерес представляет интервал = 0,4 н- 0,5

для

Т, <С 0,5, где полученные формулы имеют меньшую погрешность.

рых (сердцевина)

заполнена средой

с упругими

характеристиками

ко, С0:

(3*0 +

4Са) [3к к +

40 & а 4-40 (1 —

О *] —

4?» (*0 -

к) [3*Од -

— 3 (1 —

I) ЛО 4- 4^00с]

К » = (ЗА +

4 0 ) [ й «

(3 * 0 +

40 а ) +

5 ( 1 - 9а) (ЗА0 +

4 0 ,) ]

+

(1 - О X ' < 6 ,3 б )

«? =

— А Л [2 (1 — 2у„) г + (1 + V.)

+

]^\ЪаАг3+ 2Вг +

+ (10 -

8*) С -2 —

тг- В] Р, (соз 0),

и%=

[ ( 7 - 4ч.) А* +

Вг + ( 2 -

4Vа)

+

•

о‘,а = _

40а(1 + г0) А<Э+ 40а (1 +

ча) АД

+ 20а' - 6уаЛ^ +

+ 2В -

2 (10 -

2 ^

-^-С + -^-‘ с [ Рг (соз 0),

(6.37)

°?в =

2 0 ‘ [<7 +

2уа) А г* +

В +

(2 + 2га) - ^ С

- - ^ Р ] . ^

с°*е) ,

°% = -

4С . (1 +

V .) Д < ? -

20а (1 + V .) А Д ^

+

20 . [ -

(14 +

2г.) X

X ЗАг2—4В +2— (1 +

2»„)

С -

2>] Р2 (соз 6) -

20 . | (7 -

4Vа) х

X Аг2 + В + (2 - 4 ^) ^ - С +

В ] ^ Г

с^ 6’

о; = -

40. (1 + V,,) А Д - 2 0 . (1 +

V.) Л0<2-^- +

20 . [ -

ЗОг.Лг* +

+ 2В + 2 (5 -

1Ог.) ^

С -

О) Рх(соз 0) +

2 0 . [(7 - 4V .) Лг2 +

+

В + (2

4у.)

С +

о |

с(§0.

Смещения и напряжения в матрице

И, =

ж

<* ~ Т Г е

7Г -

[2 (! -

2г.) +

(1 +

V.) <73] Л0<?

+

+

| ж

<г +

( Ю

~ 8 « ) - ^ * - 3 ^ - < Р ] - ^ ^ ,

(6.38)

— \1 В .

.

2 ~ 4у

езе

I

_5?_ с',

4Ра (С05 9)

“в — [60

+

л2

е ® + г 1 ^ |

^ = -3- + Ж <г75- +

4 0 [2 (1 -

2'’«) +

(1 +

' ’« ^ 3] Л^ - ^

+

+

20

0 -

(20 -

*>)

2 + 2 2 -

Р, (соз 0),

с,е =

20 [ - ^ - <3 +

(2 + 2у)

5]

аР*

9) ,

ае =

Т

(2

- ! г <Э 7 Г - 2С[2<1-

2г.) +

(1 +

V .) 9»] А Д

-

-

20

<2 +

(2 -

4у)4

8 +

Т2] Р2 (соз 0) -

-

20

е3§ +

^

Р

)

^

— 1 с4б е,

с , —

^

4 - 2

0

1 2 ( 1 - 2з>.) +

(1 +

V.)?3] Л00-^- +

+ 20[ 10 — 20у еэ(е_

/г| р 2 (с03 0) +

20

е3Ц+

*) X

й Р 2 (соз 0) с!&0.

йд

Здесь

1

Л®- “ ( 4 +

1у) (Т+

\ )

[(1 -

д3) Са + дЮ )

+ 2 (1 - 2уд) О •

С =

25

(8 -

( 1 - у)3

5Vо +

(8-

10Уа) <р] С *

4

Юу) (7 — 5у) (1 — д3) (?д + (7-

5V) [7-

5<2

(7 - 5Уа) [0 -

(1 -

д3) Оа] + (8 -

10уд)

12 09» (8— Юу) (7 — 5ул) (1 —

<?*) Ос +

(7 - 5у) (7— 5уд + (8—

10уд) д^О ;

А =

12С

(1-<73) ( С - С )

5Уа) д* (Оа -

б)

’

а®

(28 - 40Уа) (Са -

О) -

35 (1 -

Уа) + (7 +

п

-

7+ 5л,«

А*1 |

!2 с °2

•

^

1П

П

оЬ

1Г

Щ ^ р5

’

5 =

+

10

°

0 —0 ■

По установленным

выше правилам

находим связь

между <2 и сред­

ними

напряжениями

(<*!>

< 3 -

(6.39)

где

1+

96

3 ^

,

(46 +

36) [2 (1 -

2у ) + (1 +

Уа) ?3]

1 = 1

4 (1

4" уд) [(1 —

<73) (?а +

<73С] +2(1 — 2уо)0

(7 - 5у) (7-

5уя) [0 -

(1 -

д3) 0 1+

(7 -

5у) (8 -

Юу

) д30

Р =: -(8_

Юу) (7 - 5Уа) (1 -

д3) 0 а + (7 - 5 у) (7-5Уа + (8 - 10ус) д3] 0

*

Модуль Юнга среды будет

(6.40)

р _ р

96 +

4 ^

— 6^6(7 — 5у) Я

(6.41)

^

96 —

12СА (1 + у) (4 — 5у) Я

*

Здесь

(7-

5уо) [О—

(1 — дэ) Оа] + (8-

10Уа) дЮ

#

= «(8-

Юу) (7 -

5уа) (1 -

д3) Оа +

(7 -

5у) [7- 5уа+ (8-

10ул) д3] О '

Остальные обозначения в (6.41) приведены выше.

В предельном случае ц =

0 от формулы (6.41) приходим к равенст­

п-

С.96 + 4& (1 - 2у) 0 1 - 6^6 (I + V) (7 - 5у) Я

(6.42)

0

9 6 - ^ / . + 12^6(1 +

у) ( 7 - 5

у)Я