книги / Микромеханика композиционных материалов

Рис. 23

Для оценки предельных напряжений в структуре волокнистых материалов кратко рассмотрим данные о зависимости коэффициентов концентрации нормальных и касательных напряжений на межфазной границе с ростом объемного содержания волокон В простейших регулярных структурах знание С позволяет однозначно определить расстояние между волокнами и, сопоставляя его с распределением этого расстояния в реальных структурах, получить значение коэф­ фициентов концентрации напряжений на межфазной границе, по крайней мере, для двух видов конфигураций. Эти данные позволяют оценить момент достижения предельных напряжений и деформаций, превышение которых приведет к росту трещин в структуре.

На рис. 24 показано изменение максимальных коэффициентов концентрации нормальных N и касательных Т напряжений на меж­ фазной границе с ростом объемного заполнения С при поперечном сдвиге (Оаз) = 1. Кривые на рис. 24, а построены для низкомодуль­ ного стеклопластика с указанными выше характеристиками, на рис. 24, б — для композиции на основе эпоксидной матрицы и стальных волокон. Сплошные кривые соответствуют гексагональной укладке во­ локон, штриховые — тетрагональной. Цифры на кривых указывают угол $ наклона радиального сечения волокна, на котором достигается

71

наибольшая концентрация нормальных N напряжений. Из рис. 24 видно, что мак­ симальная концентрация касательных на­ пряжений Т 0 превышает кг^= 3 при пре­ дельном наполнении материала с квадрат­ ной укладкой ? ~ 0,78. Подобная кон­ центрация нормальных напряжений дости­ гается в гексагональной структуре при I он 0,9.

Зависимость максимальных коэффициен­ тов концентрации напряжений на межфаз­ ной границе при поперечном растяжении

(сгг)=1 с ростом объемного содержания стеклянных и стальных воло­ кон приведена на рис. 25. Кривые а, Ь, с, д определяют концентра­ цию нормальных, а кривые а \ Ь\ с\ Л'—касательных напряжений; гексагональная укладка обозначена а, а', Ъ, Ь\ тетрагональная—с, с\ 4, д! металло- и стеклопластики — соответственно а, а', с, с' и Ь, Ь\ с1, 6!. В этом случае нагружения концентрация напряжений ниже, чем при поперечном сдвиге; максимальная концентрация для рас­ смотренных материалов к — 2,7.

Изменение упругих постоянных для орторомбической структуры

показано на рис. 26. Кривые 1 и 2 определяют закон роста модулей ЕгЮ и Е51С\ отметим повышение жесткости в тетрагональной струк­ туре по сравнению с гексагональной на 30 %. Для высокомодульных заполнителей это повышение более значительно из-за роста взаимо­ действия волокон для тетрагональной структуры. Кривые 3, 4 и 5 определяют изменение с ростом а соответственно (512/С, 023/(? и С13/(3 при тех же условиях.

Изменение с ростом а поперечных и побочных эффектов для ор­ торомбической структуры при С = 0,7 представлено на рис. 27. Кри­ вые 1 — 7 иллюстрируют изменение при указанной эволюции соот­ ветствующих постоянных: т23, V31, V21> Vб1, V62, т03, р2з* Побочные эффекты “N>61, \ 62. ^бз и р2з исчезают для простейших структур, но все

1

72

жание компонентов для рассматриваемой структуры сведены в табл. 3. Результаты прогнозирования упругих модулей продольного сдви­ га для указанных значений ? или радиуса а с ростом угла а пред­

ставлены сплошными для 012/0 и штриховыми для 0 13/0 кривыми на рис. 28. Номер кривых соответствует указанным значениям безразмер­ ного радиуса. Изменение побочных эффектов — эффектов Ченцова — при тех же предпосылках показано на рис. 29. Рост максимальных коэффициентов концентрации касательных напряжений при данной перестройке микроструктуры материала иллюстрируют кривые на рис. 30. Монотонный характер кривых является дополнительным подтверждением уже отмеченного предположения, что при фиксирован­ ных расстояниях между волокнами в широком интервале изменений углов между центрами трех смежных волокон гексагональная и тет­ рагональная структура определяют предельные значения модулей и максимальных коэффициентов концентрации напряжений.

§ 4. РЯДНАЯ УПАКОВКА ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД

Рядная упаковка волокнистых материалов получается при изго­ товлении их, например, методом прокатки, когда слои волокон чере­ дуются со слоями матрицы в виде тонких листов. Модель такой уклад­ ки заполнителя образуется путем удаления на одно и то же расстоя­ ние одного ряда волокон от другого. Простые структуры получаются растяжением по оси Ох3 гексагональной и тетрагональной струк­ тур (рис. 31) с сохранением положения всех точек на оси 0х2. Струк­ тура среды сохраняет три плоскости симметрии хъ х2, х3= сопз!, характерные для тел с ортотропной анизотропией. Отметим, что сох­ ранение объемного содержания ^ при Ь >» 1 достигается относитель­ ным ростом диаметра волокон. Если структура получена смещением центров волокон первоначально гексагональной упаковки, то новый параллелограмм периодов будет образован параметрами: ©1; со2 =

— щ Ье1*, Ь > 1; а = агс1б У 4Ь2 — 1.

73

ростом параметра Ьначиная с еди­ ницы. Результаты расчетов для измененной тетрагональной упаков­

для рядной структуры, полученной путем смещения вдоль оси 0х3 тетрагональной укладки материала. Объемное содержание волокон % в тетрагональной структуре при Ь = 1 составляет 0,5; 0,7 и 0,75 (соответственно кривые 1 — 3). Резкое падение модуля С13/С с ростом Ь и ярко выраженный характер асимптотики 013/0 1 при Ь -* оо обусловлены падением взаимодействия волокон различных слоев. Это взаимодействие играет меньшую роль при продольном сдвиге в плос­ кости хг— соп§1, вследствие чего асимптотика 0 12/0 -> 1 отчетливо проявляется для Ь < 3 только при достаточно малых значениях без­ размерного радиуса волокон а.

Изменение модулей продольного сдвига с ростом параметра Ь для рядной структуры, полученной путем деформирования гексаго­ нальной упаковки волокон, иллюстрирует рис. 33. Относительное объ­ емное содержание волокон ^ в исходной структуре при Ь = 1 состав­ ляет 0,5; 0,7 и 0,85 (соответственно кривые 1 — 3).

Характер асимптотики и убывания модулей при уменьшении вза­ имодействия волокон для этой структуры подобен рассмотренному вы­ ше. Как видно, с удалением рядов волокон друг от друга влияние начального их расположения на модули не сказывается уже при Ь ;> > 1,5.

Рассмотрим изменение внутреннего поля напряжений на межфаз­ ной границе с ростом параметра Ь Результаты расчетов распреде­ ления касательных напряжений а12 приведены на рис. 34 при дей­

(на рис. 34 приведена четверть площади сечения волокна) до кривых по радиусу (для рис. 34, а, б в одном масштабе, для рис. 34, в — е — в другом). С ростом Ь вследствие сближения волокон резко возрастает концентрация напряжений при малых углах # и действии напряже­

74

ний (а12) = 1. Особенно велика концентрация напряжений при 6 = 4 , когда перемычка между волокнами мала. Зависимость напряжений от действия средних (а13) = 1, (а12> = 0 при 6 = 1 отражает харак­ тер взаимодействия данного волокна с ближайшим, расположенным в зоне наибольших деформаций. С удалением ближайшего ряда волокон максимум напряжений смещается к оси симметрии волокна начиная с 6 = 1, 2, а затем наблюдается некоторое падение, сменяющееся ста­ бильным состоянием в распределении и интенсивности напряжений (см. рис. 34, кривые в — ё).

Распределение напряжений в волокне и прилегающем участке матрицы во взаимно перпендикулярных сечениях, линия пересечения которых совпадает с осью волокна, представлено на рис. 35. Здесь

Масштаб концентрации напряжений отложен на положительной час­ ти оси ординат; точка г соответствует границе волокна. Распределе­ ние напряжений о13 по сечению хг= 0 на площадках, перпендику­ лярных к этому сечению, отражено штриховыми вертикальными кри­ выми; распределение напряжений в сечении х3 = 0 на перпендику­ лярных к нему площадках определяется штриховыми горизонтальны­ ми кривыми. Структура на рис. 35, а, в получена деформированием тетрагональной упаковки при начальном объемном содержании воло­ кон ^=0,7; на рис. 35, б—дефор-

75

Анализ кривых указывает на неоднородное напряженное состояние волокна при сдвиге — повышенную концентрацию напряжений на пе­ риферийной части волокна на площадках наибольшего взаимодейст­ вия волокон и незначительную концентрацию напряжений в перпен­ дикулярной плоскости. Интенсивные напряжения в матрице наблю­ даются только на площадках с интенсивным взаимодействием волокон; в перпендикулярной плоскости в сечениях, проходящих через центр волокна, матрица испытывает незначительные напряжения вследст­ вие удаленности следующего ряда волокон.

Распределение напряжений сгг (сплошные кривые) и аг^ (штрихо­ вые кривые) на межфазной границе при продольном растяжении при­ ведено на рис. 36. При Ь = 1 объемное содержание С = 0,85. Рис.

1 . Ъ-1.2

Ш Г и

Щс

а6

Щг

де

76

<

Рис. 36

мере сближения волокон концентрация напряжений появляется толь­ ко в непосредственно примыкающей к смежному волокну области.

Изменение модуля поперечного сдвига 023/С? для рядной струк­ туры с ростом расстояний между рядами волокон Ь иллюстрирует

интенсивное падение 625/6 и явно выраженный предел асимптотики кривых при Ь > 2 . Аналогичное заключение вытекает при изучении падения модуля нормальной упругости Е31Е (рис. 38, а). Модуль Е2/Е убывает менее интенсивно вследствие взаимодействия волокон в одной плоскости. Кривые 1 — 3 построены для деформированной гек­

ляют концентрацию нормальных напряжений на соответствующих пло­ щадках в сечении х2=х 0; масштаб кривых отмечен на положительной части оси ординат; точка г лежит на поверхности волокна. Распреде­ ление нормальных напряжений по сечению х3= 0 представлено штри­ ховыми горизонтальными кривыми на отрицательной части оси ор­

77

динат. Расчеты проведены для рядных структур, полученных дефор­ мацией тетрагональной (рис. 39, а, в) и гексагональной (рис. 39, б) структур; все данные получены при I = 0,7, когда 6 = 1 .

Поведение кривых указывает на сглаженное распределение напря­ жений а3 вследствие удаленности соседнего ряда волокон; коэффи­ циент концентрации напряжений несколько превышает единицу. Нап­ ряжения а2 изменяются скачкообразно в точке г. Иначе напряжения распределяются в сечении х3= 0, когда напряжения <т3 изменятся скачкообразно на межфазной границе.

В заключение рассмотрим состояние продольного сдвига в мате­ риалах с простейшей моноклинной структурой, когда Ь = 1, 4, угол а изменяется от я/3 до я/2. Изменение модулей продольного сдвига показано на рис. 40, а\ сплошные кривые определяют изменение (?12/С/, штриховые — С13/а. Расчет проведен для безразмерных радиу-

Рнс. 38

78

Г Л А В А 5

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И МЕТОДЫ

Метод усреднения упругих постоянных композиционных сред эф­ фективен при исследовании некоторых их состояний, имеющих важное практическое значение для расчетов конструкций при статических и длинноволновых воздействиях. Корректное определение осредненных величин необходимо для согласования их с основными соотноше­ ниями механики и термодинамики сплошных сред. Существующие ме­ тоды усреднения, например напряжений и деформаций, некоторые авторы сводят к простым зависимостям

к изменению потенциальной энергии и других функционалов. В сре­ дах с высокой симметрией с помощью (5.1) можно получить удовлетво­ рительные результаты. В данной главе предлагается метод усреднения [14, 21], наилучшим образом согласующийся с результатами вычис­ лений осредненных характеристик для двухмерных периодических структур, для которых известно точное решение. Частные случаи этого метода детально рассматривались выше.

§ 1. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СОСТОЯНИЯХ

Пусть ансамбль неограниченных в пространстве упругих компози­ ционных сред с двухили трехмерной периодической структурой на­ ходится в состоянии термодинамического равновесия в поле, слабо изменяющемся в пределах одно­ го выделенного элемента—ячейки.

Примем, что ансамбль включает также предельный случай среды, когда размеры включений беско­ нечно уменьшаются при сохране­ нии их объемного содержания в ячейке. Внутреннее поле в послед­ нем случае становится однород­ ным, а состояние элемента полно­ стью определяется минимальным числом термодинамических пара­ метров [14, 21]. Полагаем, что

80