книги / Микромеханика композиционных материалов
..pdfГ Л А В А 7
СРЕДЫ С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Эллипсоидальные включения могут служить моделью коротких волокон, круглых пластинчатых заполнителей, а также других более сложных по геометрии включений.
Первые два случая являются предельными для эллипсоида вра щения; трехосные эллипсоиды позволяют строить более общие струк туры для сред с наиболее низкой симметрией, упругие свойства ко торых описываются соотношениями вида (5.11). В дальнейшем рас сматриваются только включения в виде эллипсоидов вращения.
В задаче о напряженно-деформированном состоянии композицион ной среды с эллипсоидальными включениями наибольший интерес представляет определение эффективных упругих постоянных как при регулярном, так и случайном (при заданном распределении) располо жении включений, предельных отношений размеров большой и малой осей эллипсоидов, при которых интегральные модули достигают своих наивысших значений, а также распределение напряжений по длине включений или по их площади.
Задача решается методом последовательной регуляризации в приближении однородного взаимодействия включений. Для упрощения решения рассматривается включение в виде вытянутых и сжатых эл липсоидов (сфероидов) вращения при простейших внешних воздейст виях в предположении наивысшей симметрии упаковки среды.
Решение задачи о напряженном состоянии отдельного включения в неограниченной матрице можно получить различными способами; общее решение задачи при произвольных регулярных воздействиях на эллипсоид вращения рассматривалось в работах [58, 59], которым мы и будем следовать. Для построения первого приближения достаточно ограничиться простейшими функциями с учетом основных представ лений упругой энергии.
§ 1. СРЕДЫ С ВЫТЯНУТЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Рассматривается неограниченная изотропная упругая среда с ре гулярно расположенными одинаковыми включениями в виде вытяну тых изотропных эллипсоидов вращения (рис. 53). Центры тяжести включений образуют простейшую регулярную решетку (рис. 54). Реше
111
аЭ1 = 0; ап = — ~ зЪ \ зт г| з т (р; а33= —- зЬ 1 з т д соз ф.
Обратное преобразование имеет вид
е1 — а11еЬ4" а21ет\ 4“ Д31^Ф*
^2 —^12^6 4" ^22^’П4" Лз2б<р, |
(7.4) |
е3— ацв^ + ^2з^л 4“ Язз^ф* |
|
Общее напряженное состояние элементарного объема разбиваем на составляющие — продольное и двухмерное поперечное растяже ния, продольный и поперечный сдвиги. В основу решения положим из вестный факт, что при действии однородных на бесконечности напряже ний в матрице напряжения во включении являются однородными и однотипными, т. е. нормальные и касательные напряжения во включе нии не смешиваются между собой на площадках, перпендикулярных к осям координат.
Напряжения простого растяжения матрицы на бесконечности (сг1)х Ха? вдоль большой оси сфероида вызывают во включении следующие напряжения:
Та = (еА “ 1 + ё2ёаа | + ё ^ 3а “) («г,) = [е^а? + |
+ е»«<ра Ф+ |
|
|
4- (^ л 4- #л*|) а&л! (а1)» |
|
где (ах) — средние |
напряжения растяжения; |
|
= ~ (а“зЬ21 соз2 я 4- а® сЬ21 з т 2 т]); |
|
|
|
|
(7.5) |
0 | Ч = |
•р -(— “ ? + а?) зЬ 5 еЬ 5 51П п с°5 Т). |
|
Остальные компоненты тензора напряжений находятся аналогично.
Упругие смещения |
|
|
иа = |
4- ё2х2г%+ ~е3х&2 ~ г%и\ + ~ефац. |
|
Здесь |
|
|
и*= ~ |
сЬ ? зЬ 6 (е^ соз2 г\ 4- е° з т 2 Т|); |
(7.6) |
а® = —• (— сЬ2 5 4- е“ зЬ2 0 з т г) соз ц. |
|
|
|
|
ИЗ |
На поверхности контакта |
включения с |
матрицей 5 = |
в усло |
виях совершенного контакта |
следует потребовать непрерывности на |
||
пряжений и смещений |
|
|
|
% = ип' а1 = аЬ' |
4 * = ° * |
(7.7) |
|
|
|||
Поле в матрице представим в виде суммы однородного поля взаимо действия, которое будем отмечать верхним индексом, и двух рассеян ных составляющих, убывающих при удалении от включения. Однород ное поле
Т0= |
(с^) = |
[е&а.Ц+ |
+ (е,ец + о д ) а?л] |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
а1 ~ |
1? а ?зЬ2|со з2 т); |
|
|
|
а°л = |
— -^-а° $Ь I сЬ 1 51П г] соз ц\ |
(7.8) |
||
|
«$ч = |
Ж а° сЬ2 5 |
$ш2 л- |
|
|
Соответствующие смещения |
|
|
|
||
В качестве первого рассеянного поля возьмем вектор-функцию смещений, удовлетворяющую уравнению [58]
(1^ и* = 0.
Решения, удовлетворяющие условиям затухания, имеют вид
«; = Ф |
1 % ( с Ь |) Р1 (соз т,), |
|
и; = |
^ |
(сЬ 0 Р[" (соз г)) соз ф, |
“з = |
С40*^ 8Й '1(сЬ 0 М" (соз п) 31П ф. |
|
В криволинейных координатах
= |
п й г ’ *[в*(сЬ э 8Ь |
(с03т» С05Т1+ |
|
+ |
-у ф'ДсЬ 5) сЬ У3!11 (соз Г]) 31П т)| , |
(7.10) |
|
114
_ * <*1> И |
(сН 5) сЬ %Рг (С05Г]) 51П Т| - |
+ 4 “ ^ |
(сЬ I) зЬ 1Р(1](С05 Г\) СОЗ Т|| , |
« ;= ° -
Здесь И — произвольная постоянная; использованы обозначения сфе роидальных функций [31]
О, ( с М ) = ^ 1 п |
+ |
|
<3(1” (сЫ) _ |
1 _СП-И_ |
Ы13. |
|
ш сЬ 5 + 1 ^ |
5ь I > |
Рг (СОЗ Т]) = СОЗ Г[] |
Р™(СОЗ Т]) = |
— 51П Т]. |
Гектор напряжения на площадке с нормалью е% определяется через смещения [50]
^ = 20(ё^ т^ г + Ц |
+ | ^ Х гои ). |
(7.11) |
Напряжения на поверхности | = сопз1: в случае первого рассеянного поля
а- _ |
Л . |
гф . <«?, (сЫ) |
2 |
/Ф Ч (К?1 (сь 1) |
|
|
6 |
А» |
[5 5 |
<1| |
|
^ + \2зИ5 |
|
|
|
— сЬ |<31 (сЬ1)| |
51п2 Г|| (с^), |
|
||
|
[зН ЗД (сН 0 |
+ -5- с Ь | |
|
ип л соз л (а,)- |
(7.12) |
|
Смещения второго рассеянного поля строим через решение Папковича— Нейбера [50]
20 (х е ^ — бгабВ г — §гас!#0),
где х = 3 — 4у и [58]
(7.13)
В0 = - ^ Р с ь а д (сЬ I) Рг (соз л);
В — произвольная постоянная;
0 1(Л Ю= т (3 сЬг5 - ч 1пЦ т т + т сЬ5:
Р2 (соз л) = т (3 с°52 71— 1).
115
Искомые компоненты вектора смещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
,,*• |
(°1) |
(%п |
р> |
|
г |
д% |
____ ]_ |
дВЛ |
|
|
|
|
||
|
|
и1 “ |
20 |
(кап^1 |
*1 н |
|
Н ~дГ) » |
|
|
|
|
|||||
|
|
** _ |
(а1) (_Кп в |
4- — |
дв1 -4- — |
\ |
|
|
|
(7.14) |
||||||
|
|
‘ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
20 |
^ |
021 |
|
Н |
дг\ |
^ |
Н |
дх\ ) |
|
|
|
||
Напряжения на межфазной |
поверхности |
находим согласно формулам |
||||||||||||||
(7.11) и |
(7.14): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ^М^1> | ^(1 — V) зЬ I С05Л — V «Л&51П Г)] -у |
-----^ |
X |
|||||||||||||
|
|
/1а |
зЬ2| |
|
|
|
|
51П2Т] |
|
)В,- |
|
|||||
|
/ а2 |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
(а*2 |
сЬ 2^ — с02 2г| |
|
сЬ 21 — соз 2т| |
|
|||||||||||
|
|
а2 |
|
5Ь2| |
|
а |
|
|
51П 2Г| |
|
|
|
|
|
||
|
-Я а^2 |
сЬ 2 |— соз 2т| |
|
+ ; |
2 | — соз 2г| |
|
|
|
|
|||||||
|
|
а^ ~ с Ь |
|
|
|
|
||||||||||
|
Т |
{(1 - |
2у) ( - СЬ 5 з т Т, А |
+ |
ЗЫ соз т, ± |
) ± |
В, - |
|||||||||
__ |
сЬ ^ СОЗ Г) / |
а2_______ 5Ш2т) |
_а_______5Ь 2Е; |
|
д \ „ |
__ |
||||||||||
|
са |
( д1дУ\ |
сЬ 2^ — соз 2т] |
а | |
|
сЬ2 | — собв 2т] а»] ] |
1 |
|
||||||||
|
1 |
/ а20 й_____________ 51П2 |
|
а |
|
|
|
5Ь25 |
|
д\ |
О |
I |
п . гч |
|||
|
с2 |
(дага^а»1 |
|
|
2Г]г) |
|
_ 0 _____________ 5П |
|
|
|||||||
|
сЬ 2^— соз 2т| |
а| |
|
сЬ 21] — соз2т) Эк] / 01 ’ |
Л ' |
|||||||||||
С помощью соотношений, вытекающих из краевых условий на меж фазной границе (7.7) при подстановке решений (7.8)—(7.10), (7.12), (7.14), (7.15), все постоянные выражаются через оставшиеся неиз
вестными |
напряжения |
а ? ^ } . Все выкладки элементарны, но фор |
мулы для |
постоянных |
громоздки, поэтому здесь не приводятся. |
Определяющие уравнения упругости относительно средних напря жений и деформаций будут содержать пять существенно различных
эффективных |
постоянных: |
|
|
|
|
|
|
(81) = |
’Щ'(а1) |
]И" (аг) |
(а1з)» |
|
(У12)= |
~о^ (а1г)* |
|
<%) ------- ^ (°1> + |
<®2> — ^ |
(°з). |
<?13> = |
<«1Э>. |
|||
(Е3> = |
]г* (<^1> |
|
щ- (аг>+ |
(<*з)> |
(7гэ) = |
(а2з)» |
|
|
|
|
|
У21 |
_ |
VI2 |
(7.16) |
|
Ф>я — 2 (1 + ^вз) * |
|
|||||
|
А |
“ |
^2 |
|
|||
Это является следствием поворотной и трансляционной симметрии упа ковки композиционной среды.
Для нахождения напряжений сг? воспользуемся первым |
представ* |
|
лением энергии (5.2) |
|
|
(от*) (е,) = |
(а6«Е + ай «ч) кк0Аг\А<р, |
(7.17) |
|
$1 |
|
116
где 5*— поверхность, ограничивающая приведенный элемент среды; в первом приближении ее заменяем на софокусный эллипсоид | = 6*,
.равновеликий выделенному объему; V = -|-яс35Ь25*сЬ|И8— объем это.
го эллипсоида.
Для нахождения нижних значений модуля вносим под интеграл (7.17) смещения согласно теоремам гл. 5:
|
(е^ сЬ | зЬ | соз2 т], |
с2 |
|
«п = ----^ |
(б!) сЬ21 СОЗ Г) 51П Г|. |
В результате преобразований находим связь среднего напряжения с напряжениями взаимодействия включений при продольном растяже нии
<«.) = |
<<Г1>« » + |
(<*,)§ ( ^ - |
+ 1п |
) + |
|
||
3 |
я |
|
|
|
|
|
|
+ 2 Щ |
; ^ |
К * |
I . |
«05 Г) — ст'* сЬ I . 81П П) СОЗ Г) 51П Т)**- |
(7.18) |
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
Для определения |
модуля заменим |
левую |
часть формулы |
(7.17) |
|||
на второе представление энергии, а под интеграл вносим значение напряжений
=(® 1>|г 2Ь2!„С052Т),
Ой = — (О1) - р г зЫ* сН соз я з!п Г).
Смещения в матрице определяются суммой соотношений (7.9), (7.10)
и (7.14); опуская |
промежуточные |
выкладки, окончательно получаем |
||||
1 _ «? , I У , х М < г ,( с Н 1 ,) . |
М 3 |
с Ь Ч ,з Ь 5 , |
М » ( Л Ь ) - 1 - |
|||
— Е ~ г \ 2 в |
40 1 с1Ц. |
^ |
20 и |
сЬ ?, |
||
-30,(сЬЬ)<Д1»Ы |
+ т«Ь г10[1 +3<?1(сЬ У зЬ2У |
х |
||||
X 0 2(сЬ у — ^ |
^ ( с ь у + |
|
|
- «Ье>сУЬЯ,(сЬ|,) X |
||
X |аЬ ЬЙ, (сЬ|,) - |
сЬ?. |
|
• |
17.19) |
||
Если учесть, что все постоянные пропорциональны среднему напря жению (ог) согласно выражению (7.18), то из приведенного равенст ва непосредственно вытекает формула для продольной упругой подат ливости композиционной среды.
Упругие модели композиционной среды в поперечном к оси ориен тации включений направлении получим при рассмотрении двухосного
117
равномерного растяжения выделенного объема напряжениями (ст2) а°2 = аз(а3).
Напряженное состояние включения в этом случае устанавливает ся формулами вида (7.5) и (7.6); состояние матрицы определяется полем однородного взаимодействия включений и двумя рассеянными составляющими согласно выражениям (7.10), (7.12)—(7.15); все функ
ции |
становятся пропорциональными напряжению |
(а2>. Однородное |
|
поле в этом случае определяется формулой |
|
||
|
Т„ = («г) (ё2ё2“ 2 + ёзёэаг) = [ё^а? + ё ^ с ^ + |
ёфёфа^ + |
|
|
+ ( ё ^ + ё ^ а ^ К С г ), |
|
|
где |
а “ = |
а “ сЬ21з т 2ц; |
|
С%
= -^2- «2зЬ5 сЬ IС05 'П ЗШ Г);
другие компоненты определяются непосредственно с привлечением фор мул преобразования (7.3). Смещения в матрице при однородном напря женном состоянии
йб = |
Х |
'Т 1 1”~ ‘у "“ (1"*“<у) со§2 ^ сЬ 6 8115 (а2)» |
|
|
(7.20) |
« 5 = 7 |
7 |
[зЬ2| + V(сЬ21 + 1)]С05Г)81Пк\(о2), И° = 0. |
Краевые условия совершенного контакта (7.7) позволяют связать напряжения однородного взаимодействия (сг2) а§ с постоянными в решениях первого и второго рассеянных полей (7.10), (7.12) и (7.14), (7.15). Связь между напряжениями взаимодействия включений
(а2)а? и средними напряжениями устанавливаем на основе изложен ного выше метода (см. гл. 5). Первое представление удельной энер гии в случае равномерного поперечного растяжения среды с сим
метричной |
упаковкой |
|
|
|
2 (<г2> <е2) = |
(ъщ + <Т|„и^ |
(7.21) |
где <сг2> = |
<стэ>; <е2) = <е„). |
|
|
Остальные обозначения соответствуют приведенным в формуле (7.17). Нижние значения модуля находим при подстановке под интеграл сле дующих выражений для смещений:
4 = -%- (Ез) сЬ ^ зЬ | з т ал,
“ч = X ^ з1>г 6созя81Пд.
118
Средние напряжения связаны с напряжениями взаимодействия в слу чае всестороннего растяжения равенством, вытекающим из формулы (7.21):
<аг)=<аг>а о + |
^ * |
( | |
сЬ«Б» |
- |
с№1,(3. (сЬ у |
| [4(3, (сЬ 1.) - |
||||
|
1 |
|
сЬ Б* — 1 |
|
|
| + [ |
- |
|
||
---- г + |
сЬБ* 1п |
<*$•+ 1 |
2 сЬ2 | Л (сЬ У |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
- 2аь (СЬ у |
+ |
2 сЬ21,(3, (сЬ у |
Л + |
|
|
|
|
|
Л |
( « Г сЫ,51ЯТН- а ” |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
Щ |
7 |
\ |
81 1 1 * с о 5 п ) з ш |
2 ^ - |
<7 -2 2 ) |
|||
о
Эффективные упругие постоянные определяем путем замены под интег ралом (7.21) напряжений
=(ст2)-|гсЬ 2У т 2л.
а1Ч == (®2)рГ СЬ 1зЬ 151П я СОЗ Г),
а также второго представления энергии; в результате получим
■ Ц р 5 = 45^ | ( | |
(и\ сЬ 1, зш п + «л зЬ I, соз т)) ат). (7.23) |
о |
|
Смещения в матрице определяются суммой функций вида (7.20), (7.14) и (7.10), в которых постоянные пропорциональны средним нап ряжениям (ст2). В результате интегрирования по формуле (7.23) по лучаем зависимость эффективных параметров от характеристик струк туры композиционной среды
1 — у« _ |
I —V |
|
г <*“>(сЬI.) + |
|
+ |
3<?1 (сЬу |
$1]2у х |
||
Е* " |
|
«8— 4 а |
|
|
|
|
|
|
|
X [(2х- |
Ц О .С с Ь У с Ы ,- |
^ |
<%*Ы |
+ З с Ь 210<Зг (с Ь у + |
|||||
+ |
ЗсЬа |
сЬ 5* |
40* (<=Ь|*у |
ЗР сЬ1 сЬ I. |
<?<?,(сЬ 1.) |
||||
|
41* |
!1- |
32(7зЬ |
|
<*6. |
|
|||
|
|
[2<3,(сЬУ |
1 |
■1п |
сЬ |
— 1 |
(7.24) |
||
|
|
|
|
сЬ |» 411 |
сЬ Б* + |
1 |
|
||
Поперечный эффект определяем путем интегрирования деформаций по всему объему приведенного элемента с учетом равенства, вытекающе го из уравнения (7.16):
V., |
с 4 “* - ° ? |
|
|
|
1*0 |
х [ л -^-<21 (сЬ 1)Л (созП)+ (х- 1) |
• (7.25) |
|
119
Здесь Е — относительное объемное содержание включений;
с (сЬ*| — со$г ц)
остальные обозначения соответствуют введенным ранее в этой главе. Формула (7.24) связывает сразу две эффективные постоянные, поэтому для полной определенности рассмотрим состояние поперечного сдвига среды, возникающее при действии напряжений (сг23>. Напря женное состояние включения однородное, диадное представление его
выражается формулой
Та = |
(— ЧЧ + |
(о2з) = |
[е&а* + |
+(в*ёф + |
|
|
+ |
ЧЧ) а ?Ф + |
(епЧ + ЧЧ) |
+ |
(еъЧ + Ч е$ |
(^гз)* |
|
Смещения во включении |
|
|
|
|
||
|
“° = ( " ^ + л ) ** ^ |
+ |
~ |
( |
7-26) |
|
где постоянная А характеризует поворот включения как жесткого тела.
Смещения в матрице при однородном напряженном состоянии, ха рактеризующем в первом приближении взаимодействие включений, бу дут
|
|
|
|
|
а ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«О = |
20 |
^3^2 + |
|
(°2з)* |
(7.27) |
||
Рассеянное включением поле слагается из трех видов функций |
|
||||||||||
|
«2 + |
«'“а = |
-§5- <<ггз> |
(соз л) д!" (сЬ |) е~щ, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.28) |
«. = |
- |
ж |
« я * ( т - |
4 ^ |
|
- |
|
’(сЬ» С082ф: |
|
||
«2 + |
ш , = |
^ (ам>«2 1- |
8с“ ^ + |
^ |
Ч - |
с°5^ <2<3>(сН|) ***, |
|||||
и, = |
- |
25- <о*0 |
(8 |
1~ |
2° ^ |
- |
4 соз я ) <)? (сЬ 5) соз 2Ф. |
(7.29) |
|||
В третьем решении смещения выражаются |
через функции |
Папко- |
|||||||||
вича — Нейбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и = |
|
(к еД — хг §тайВг — §га<1В0), |
(7.30) |
||||||
где |
|
|
са3(2'‘ГичТ' —С084 |
С‘1> (сЬ ЭС052ф; |
|
||||||
|
В, = |
(7.31) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В0 = - - — |
|
айР{? |
(соз т]) 0Ц](сН1) соз 2ср. |
|
|||||
120