книги / Микромеханика композиционных материалов

Здесь С^ — постоянная; остальные обозначения встречались ранее. Введем полярную систему отсчета ячеек от рассматриваемой с помощью новых переменных р и

С помощью этого преобразования при подстановке решения (9.40) из системы (9.39) получаем бесконечную систему однородных алгебраи­ ческих уравнений

Р.0

Здесь суммирование производится по всем допустимым значениям р„ Фсогласно (9.41) и из суммы исключается член ряда при р = 0. _

Согласно условию совместности системы (9.42) должен быть ра­ вен нулю бесконечный определитель, составленный из коэффициентов системы

где бу4 — символ Кронекера. Для сходимости бесконечного определи­ теля необходимо и достаточно, чтобы сходились абсолютно [78) про­ изведение и сумма:

Функция потока в матрице, состоящая из суммы потоков (9,33) и (9.34), может быть представлена в виде произведения, один из сомно­ жителей которого характеризует изменение потока при смещении в смежные ячейки структуры среды, а д угой — распределение потока в ячейке:

В этом случае определяется также поток во включении. Суммированием решений (9.45) по всем я-корням определителя (9.44) полу'

чаем общее решение задачи с произвольными постоянными С$К Приближенное решение строится как для слабого изменения по­

тока частиц, когда мало изменяется поток при трансляционном сме­ щении от ячейки к ячейке, так и для слабонеоднородных сред, когда

201

физические свойства компонентов материала близки друг к другу. Для этого приближения в силу слабого изменения поля оценим систе­ му (9.43) с помощью интегралов

оо 2л

члена при р = 0. Используя известную в теории цилиндрических функ­

ций формулу [29]

2л

При слабом изменении поля и сходимости интеграла нижний предел можно устремить к нулю (е = 0); получаемый интеграл, родственный интегралу Вебера—Шафхейтлина [6], сходится, если

Второе условие выполняется путем изменения показателя цилиндри­ ческой функции по известным формулам, первое является, по-види­ мому, условием существования принятого вида решения. Имеем [б!

Здесь 2^*1 (оь, Р; у; я2) — гипергеометрическая функция, которая рас­ кладывается в ряд.по степеням аргумента:

где Г (т + г) — Г-функция Эйлера [6]. Если ограничиться только первыми членами в рядах, то

г_ 2ле^“ ЙФ

~(к~ — №) р [ к )

Определим в этом приближении асимптотические разложения пара*

метров г{; используем асимптотические разложения модифицирован­ ных функций [6]

202

Ограничиваясь первыми, членами, найдем

Рассмотрим структуру бесконечного определителя (9.44) начиная с /, I = 0, ± 1,

Учитывая полученные асимптотические разложения, найдем

Один корень А* определяет возрастающий поток и должен быть опу­ щен; второй дает искомое решение. Если коэффициенты диффузии рав­ ны Ь = Г>0, то

ходится по закону простой смеси. Функция потока частиц в матрице согласно формуле (9.45)

которое сводится к неравенству р0а<РоПоэтому приближение сла­ бо изменяющегося поля возможно только при выполнении этого ог­ раничения; в противном случае решение в представленной форме не может существовать. Если увеличить число членов в разложении определителя и уточнить его параметры, то порядок уравнения кор­ ней повысится и число корней должно возрасти.

Для наглядности полученных результатов вводим макроскопиче­

203

Легко убедиться, что в рассматриваемом приближении макроскопи­ ческий поток удовлетворяет уравнению с приведенными параметрами

а2Ф , э*ф

аха аУа - Л - Ф - 0,

которое обычно выводится другим путем.

§ 7. ПРОДОЛЬНАЯ ДИФФУЗИЯ С ПОГЛОЩЕНИЕМ

Положим, что поток тепловых нейтронов направлен вдоль ориен­ тации волокон, а поперечный средний поток отсутствует. Источник частиц расположен на «бесконечности» (х^ = —оо); среда неограни­ ченная, так что краевые эффекты отсутствуют, но выравнивание пото­ ка в продольном направлении в компонентах уже достигнуто. Прини­ мая те же обозначения, что и в § 6, решение уравнения стационарной диффузии (9.30) ищем в виде

На границах раздела сред должны соблюдаться условия непрерыв­ ности потоков и токов нейтронов (9.32); функция Ч' (.х2, *3) должна

поток должен быть задан. В каждой ячейке будут локальные попереч­ ные потоки, выравнивающие средние продольные потоки.

Полагаем, что в ячейке можно выделить набегающий и рассеянные волокном потоки. Поток в межволоконной среде ищем в виде ряда в

Уоо— неизвестные параметры, нижние индексы указывают номер ячей­ ки. Поток, рассеянный волокном, должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности, поэтому

ям излучения; это решение справедливо и для случая №< ^0Я). По-

204

Здесь и в дальнейшем верхний индекс у функции Ханкеля опускается. Производя переразложение набегающего потока с учетом того, что он является суперпозицией рассеянных потоков от всех волокон, за исключением рассматриваемого, и пользуясь теоремой сложения функ­ ций Ханкеля, получаем систему -конечно-разностных уравнений

изменяться так, чтобы функция ф (х2, х3) удовлетворяла условию пе­ риодичности; поэтому решение системы (9.58) ищем в виде

у!пп = С^ехр {2псИ [тсоз <р + пЬсоз (а — <р)]}, т , п = 0, ± 1,... , (9.59)

Вводим полярную систему координат согласно преобразованию (9.41); используя представление решения (9.59), получаем бесконеч­ ную систему однородных алгебраических уравнений

Здесь

0,-у = (— 1)<-/е,(,-ЙФ2 ' 2 я *~/(*®1Р)ехР 2 Ш 1 Э - — 1((— /)0],

где

205

Условие совместности системы (9.60) приводит к равенству нулю бесконечного определителя

Полное решение задачи получится в виде суммы по всем корням опре­ делителя (9.63) и всевозможным значениям р и <7. Вводя макроскопи­ ческие переменные, получаем общее представление для среднего пото­ ка диффузионных частиц. Найденное решение позволяет удовлетво­ рить в плоскости хх = соп$1 произвольным двоякопериодическим ус­ ловиям в среднем по одной или по группе ячеек структуры среды.

В случае слабо изменяющегося диффузионного поля заменяем сум­ мирование в (9.61) на интегрирование

Для дальнейших преобразований учтем представление первой функ­ ции Ханкеля через цилиндрические функции первого и второго рода 5

Я,_,- (кр) = (кр) + Ш1Ч (кр),

а также известную формулу для функции Дирака

8 [к - - % г ) = к ] № - / (кР) Л - / р ), -

О

6 Эти преобразования используются, когда А2 > р0/Л.

206

х1-}

3 1-1 (Х ) — 2'“ ''Г(1-Н-У) ’

(,X) ^ — 2*~7Г ((— у)

х1~!

Эти разложения приводят к следующей оценке структурного параметра

?т ( ка \2/ 1

Г (О Г (I + 0 ( 2 / 1+ й / О а в

Параметр затухания потока в продольном направлении находим как корень бесконечного определителя вида (9.49). В первом прибли­ жении, приравняв нулю центральный элемент определителя

1 + 20С0 = О,

207

находим

_ Уо.1>+Р (2 л й [щ )*

где введены интегральные параметры диффузии

до = №. + а - № Ф) = + о - о п-

Для материалов при О = Оа нетрудно получить решение задачи в общем случае слабо изменяющегося поля. Показатель затухания про­ дольного потока зависит от периода поля /?, д согласно (9.62)

Последовательно задаваясь р, д и вычисляя для каждой гармоники соответствующие Ху легко построить полную систему двоякопериоди­ ческих функций. В макроскопических координатах, определяемых ра­ венством (9.51), можно показать, что средний по ячейке поток будет пропорционален двоякопериодическим функциям

-(рХ+дУ)

{ Ф )= ^ С те •• Р д

Согласно теории рядов Фурье при известных ограничениях, двоякопе­ риодическая функция может быть представлена в виде двойного ря­ да, где коэффициенты разложения определяются по формуле

§ 8. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ПРОДОЛЬНАЯ ДИФФУЗИЯ

Предлагаемый метод исследования распространения тепловых ней­ тронов обобщается на случай нестационарной диффузии с поглоще­ нием частиц. Интерес представляет установление времени, по исте­ чении которого диффузия частиц с принятой степенью точности может рассматриваться как стационарный процесс. Здесь рассмотрим при­ ближенное решение задачи в случае слабо изменяющегося поля.

Уравнение нестационарной диффузии в каждом компоненте при­ ведено в виде (9.28). Обозначения и расположение системы координат сохраняем прежние.

Пусть в сечении хг = 0 в начальный момент времени ^ = 0 задан продольный поток, среднее значение которого в пределах выбранной ячейки изменяется по заданному закону. Для упрощения задачи счи­

208

таем, что среда неограниченная и поток двоякопериодически повторя­ ется в смежных ячейках при преобразовании трансляции. Условия двоякой периодичности потока и непрерывности его и тока (9.32) не изменяются.

В сечении ^ = 0 в соответствии с принятой постановкой задачи принимаем

где 0 (0 — единичная функция Хевисайда.

Решение уравнений нестационарной диффузии для каждого компо­ нента армированной среды строим на основе преобразования Лапласа по времени. Считая поток в начальный момент времени равным нулю, для каждой однородной компоненты среды получаем

Здесь Ф — функция потока, преобразованная по Лапласу:

Ф = ^ Фет#61. 6

Решение уравнений Гельмгольца (9.71) для каждого компонента ищем в виде

Ф = е '“ ^ (*„*,); Фа = е'“ -Т,,(лг. *3).

где введенные функции удовлетворяют уравнениям

Общий поток в ячейке представим суммой набегающего и рассе­ янного потоков; первый строим в виде

(9.73)

—об

второй поток

Функция потока в области волокна

%^ ^ 1В ^ 1{Ха):,(Хг)еЧК

—00

209

Здесь

« = А — К + »1Х’

Подчиняя составленные решения краевым условиям, найдем

где 2у соответствует приведенному в формуле (9.57), в которой пара­ метры к и ка заменяются Ки %а.

Постоянные V7 в соответствии с предложенной методой подчиня­

Здесь сохранены обозначения рис. 84. Требуем периодичность па­ раметров V* и полагаем

Р.о

Пусть %п — корень определителя (9.78), тогда находим /гп, и пол­ ное решение для потока в матрице получается суммированием допус­ тимых функций

ЪЮ