книги / Микромеханика композиционных материалов

в пределах выделенного объема можно пренебречь. Поэтому электри­

ческое поле в объеме V устанавливается на основе уравнений электро­ статики, что, по-видимому, допустимо для волн с длиной не менее 1 мм

при обычных диаметрах волокон. Согласно теории пьезоэлектрических явлений [55], двухмерное состояние сдвига для сред с указанной сим­

метрией напряжения и электрическая индукция Б в каждой точке со­ ставляющих компонентов связаны с деформациями и напряженностью электрического поля определяющими уравнениями

соответствующие принятым независимым переменным и направлению осей поляризации компонентов материала. Углы сдвига связаны с про­ дольными смещениями и формулой

Напряженность электрического поля определена через электростати­ ческий потенциал

=- 2 ^ .

Вусловиях статики введенные функции определяются через комп­ лексные потенциалы

и = ф (г) + ф(г), ц = 1|)(г) + цЩ .

Следовательно, в принятом приближении не учитываются дисперси­ онные характеристики композиционных сред, вызванные дифракцион­ ным рассеянием полей на заполнителях; взаимодействие полей учиты­ вается краевыми условиями и соотношениями усреднения.

Определение эффективных параметров среды ведем без учета теп­ ловых и других эффектов, поэтому внутреннюю энергию каждого со­ ставляющего компонента представляем в виде суммы упругой и элект­ рической энергий

а

дхг

Последних два слагаемых исчезают в статических полях, поэтому

241

Здесь Г — площадь усреднения; 1>п и ст1п — нормальная к контуру интегрирования составляющая вектора электрической индукции и ка­

сательное напряжение на площадке с нормалью п. Для введения ком­ плексных потенциалов формулу (1 1 .2) полезно преобразовать к виду

В условиях совершенного контакта компонентов, полагая, что в выделенном объеме содержится N волокон различных сортов, соблю­ дается непрерывность полей и комплексных потенциалов, поэтому

р — электростатические потенциалы в /*-м волокне и матрице. Удель­ ная энергия выделенного объема композиционной среды получится суммированием интегралов (11.3) по всем компонентам

^ = ТГ ^ ((°2 — <А>) & — (0 2 + *А>з) <й] —

(11.5)

Здесь Ь — контур в матрице, охватывающий весь выделенный объем; при выводе формулы учтено, что интегралы по границам волокон (для волокон и матрицы) вследствие равенств (1 1 .2) и краевых усло­

вий (11.4) взаимно уничтожаются. Для периодических структур ком­ поненты полей подчинены условию

Разбивая контур Ь по сторонам параллелограмма периодов, как в (1.16), получаем по формуле (11.5)

где средние значения определяются согласно (1.18); при этом

242

Сравнение формул (11.5) и (11.7) приводит к искомому равенству

Для дальнейшего необходимо основные соотношения задачи выразить через комплексные потенциалы; определяющие уравнения (1 1 .1)

принимают вид

или / отмечаются величины, относящиеся к волокнам; функции и пара­ метры без индекса относятся или только к матрице, или ко всем компо­ нентам одновременно.

Напряжения на наклонных площадках и нормальная к контуру

Краевые условия (11.4) преобразуются к системе функциональных соотношений

Для построения строгого решения задачи комплексные потенциа­ лы выбираем с учетом периодичности структуры в виде рядов по эллип­ тическим функциям (10.17) матрицы и степенных рядов для волокон

(10.18).

Не менее интересно получить приближенное обозримое решение, согласующееся с точным. В дальнейшем построим решение задачи для

243

двухкомпонентной волокнистой среды методом последовательной ре­ гуляризации, полагая в приближении однородного взаимодействия

Фа(2) = Д*. ф(2) = Дг + А, ~ ,

(11.13)

Ц>0(г)=Д г, ф(г) = Дг + Д + .

Условия усреднения получаем путем замены под интегралом (11.9) функций и и р их значениями согласно (1 1 .8):

Фг — Ф*> = ----- Фз) & — Фг + Фа) * ] ,

(«7,2 — Д > = — -% т ф г[Да — Д 3) — Да + Д 3) <гё].

Выражаем подынтегральные функции через комплексные потенциалы в соответствии с (1 1 .10)

Деформируя контур Ь в окружность, ограничивающую равновеликий круг, получаем дополнительную систему уравнений, с помощью кото­ рой находим

244

(Л0)* = О + 0 ЛаОа + (1 — 0 00;

О* = (1 + С) 0о + (1 — О О; е * = ( 1 + 9 еа + (1 - $ )е .

Для гексагональной и тетрагональной упаковок волокон и трансвер­ сально-изотропных компонентов усредненные определяющие уравне­ ния волокнистых материалов при продольном сдвиге будут инвариант­ ными относительно поворотов около оси Охъ направленной вдоль ори­ ентации волокон, поэтому

Эта же энергия, но выраженная через потенциалы, определяется равен­ ством (1 1 .9); сравнение подобных членов приводит к формулам

для получения третьего равенства воспользуемся уравнением усред­ нения полей и определяющим соотношением (11.5). Приближенные формулы для определения интегральных параметров двухфазной сре­ ды имеют вид

- ( 1 - О я(4-<ОЧЮЛ

245

Как следует из (11.16), в армированной пьезокерамике эффектив­ ные упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические параметры связы­ вают одновременно все физические характеристики компонентов. Влияние этой связи для различных материалов неравномерно. Когда с1а » сI, влияние связанности полей мало, поэтому эффективные посто­ янные волокнистой пьезокерамики мало отличаются от таковых для несвязанных полей. Если разность & —с1а будет максимально возмож­ ной для существующих материалов, то влияние связанности полей возрастает, но оно ограничено тем, что абсолютная величина парамет­ ра & не может превышать определенных значений, согласующихся с основными соотношениями термодинамики.

§ 2. СДВИГ АРМИРОВАННОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИКИ С ТРЕЩИНАМИ

Пусть армированная среда с пьезоэлектрическими свойствами ком­ понентов ослаблена межфазными произвольно расположенными тре­ щинами; ось поляризации пьезосреды совпадает с направлением арми­ рования; среда находится в напряженном состоянии продольного сдви­ га. Длину волны полагаем настолько большой, что ячейки среды нахо­ дятся в состоянии однородных усредненных напряжений. Поле в каж­ дом компоненте определим двумя комплексными потенциалами

и = ф (*) + фФ. И = ф(г) + ф(г),

где и — упругие продольные смещения; р, — электростатический по­ тенциал. Связь между потенциалами и физическими величинами за­ пишем в виде

в*— Я, — — 2|*'(*).

Здесь все обозначения соответствуют приведенным в§ 1.

Задачу решаем в предположении, что между ячейками существует однородное взаимодействие. Условия контакта на межфазной грани­ це (г 6 т):

б) площадки с нарушенным контактом (т 6 /о)« считая, что суще­

ствуют условия, обеспечивающие непрерывность электростатического потенциала и нормальной составляющей электрической индукции:

246

Осуществляем аналитическое продолжение функций, считая радиус волокон равным единице:

Краевые условия на площадках с совершенным контактом (т 6 0 для напряжения и на всей межфазной границе (т 6 /+ / о) для элек­

трической индукции сводим к системе функциональных уравнений

247

где

Условия равенства смещений на участке совершенного контакта и электростатического потенциала на всей границе требуют

Условия равенства нулю напряжений на площадках с нарушенным ме­ ханическим контактом при этом удовлетворяются благодаря свойствам интеграла Коши. Система функциональных уравнений (11.19) приво­ дит к двум интегральным уравнениям относительно неизвестных функ­ ций & (т) и &о (О:

где т0 — координата текущей точки на контуре волокна;

248

Здесь С (г) — полином с произвольными постоянными:

ределяющий величину этого участка. Для решения задачи в прибли­ жении однородного взаимодействия при 2->-оо полагаем, что <р(г)->-

-►Сг, яр (г) -+3г, где С = (1 — Л2Се- 1) С* + сРОе^З*; 8 = сЮ&~1 х

X (С*— 5*).

Произвольные постоянные в полиноме ф (г) выбираются с учетом предельных условий при г -* оо; введенные интегралы вычисляются с применением теории вычетов; в результате вычислений окончательно запишем

Для связи постоянных С и 5 со средними значениями полей воепользуемся первым представлением приращения термодинамического потенциала 147]

249

При этом связь электрической индукции с полями имеет вид

электрические свойства композиционной среды; число существенных постоянных тензора зависит от симметрии структуры среды.

Интегрируя (11.20) и пользуясь формулой преобразования инте­ гралов по объему в поверхностные интегралы, получаем среднее при­ ращение термодинамического потенциала. С помощью метода усред­ нения находим связь постоянных С и 5 со средними по ячейке полями; второе представление среднего приращения термодинамического по­ тенциала приводит к определению в явном виде формул для эффектив­ ных значений тензоров упругих и диэлектрических постоянных, а также компонентов пьезоэлектрического тензора. Окончательный результат имеет громоздкий вид, хотя выкладки достаточно просты.

§ 3. ТЕРМОПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ ПОЛЯХ

Известные аналогии в теории композиционных сред установлены, как правило, для несвязанных полей, поэтому пример даже неполной аналогии в связанных поперечных полях армированных сред пред­ ставляет несомненный интерес.

Рассмотрим математические основы аналогии для волокнистого материала с компонентами — полупроводниками, находящегося в по­ перечных к направлению расположения волокон стационарных темпе­ ратурном и электрическом полях, а также структурно подобной волок­ нистой среды с пьезоэлектрическими составляющими, расположенной в постоянных во времени поле напряжений продольного сдвига и по­ перечного электрического тока.

Термоэлектрические явления в случае поперечных потоков опре­ деляются следующими соотношениями для каждого изотропного ком­ понента среды:

а) стационарное в пределах ячейки температурное поле выражается через комплексный потенциал

4 - = 'Ч’(2>+ Ф®!

б) стационарное электрическое поле находится через электроста­ тический потенциал

р, = ф (г) + <р (2);

в) суммарный поперечный ток

250