книги / Микромеханика композиционных материалов

Наблюдаемые в опытах начальные несовершенства в виде пор и трещин сильно удлинены вдоль волокон, поэтому в дальнейшем пред­ положим следующее:

а) берега трещины в исходном состоянии образуют поверхности, эквидистантные поверхностям раздела компонентов или близкие к ним. Проекция границы трещины на плоскость, перпендикулярную к нормали в геометрическом центре тяжести трещины, образует эллипс, большая ось которого расположена параллельно оси волокна и на порядок превышает малую ось;

б) рост трещины не изменяет исходного отношения полуосей:

в) сопротивление росту трещим в матрице и на межфазной грани­ це при нормальном отрыве и сдвиге определяется соответственно дву­ мя параметрами къ кг и к01г к02 В случаях, когда эти коэффициенты равны между собой, возможно смешанное разрушение композиционной

среды, при этом могут одновременно появиться параметры каЪ к*а[ и ка2, характеризующие соответственно сопротивление на разрыв во­ локон или составляющих его элементов вдоль и поперек оси и про­ дольно-поперечному сдвигу. В органических и других волокнах с высокой степенью анизотропии, обусловленной фибриллярным стро­ ением волокна, возможно разрушение и расслоение волокон на более мелкие волокнистые структуры. Толстые волокна бора вследствие вы­ соких остаточных напряжений испытывают значительные напряжения на продольных площадках, где в жестких матрицах может произойти продольное отслоение.

Одна из важных задач теории локального разрушения — установление"связи между введенными параметрами с учетом особенностей композиционного материала и вида нагружения для выявления соот­ ношений между ними.

Принятые допущения представляют возможность для анализа двух­ мерного напряженно-деформированного состояния среды с трещинами только вдали от концов большой оси эллипса отслоения.

Эволюция хрупкого разрушения композиционных материалов, когда возникает и развивается множество локальных трещин, сво­ дится к определению явной зависимости компонентов 2-матрицы от параметров, характеризующих структуру, несовершенства и началь­ ные напряжения. Компоненты 2-матрицы связывают средние напря­ жения и деформации композиционной среды с ростом трещин в соот­ ветствии с законом упругости

5Л

При нагружении, когда начинаются локальные разрушения, фи­ зико-механические свойства материала, т. е. параметры 2-матрицы, изменяются, что приводит к дополнительному перераспределению на­ пряжений не только в окрестности отдельной трещины или отдельного волокна, но и между слоями с различно ориентированными волокна­ ми вследствие множества трещин.

Общий вид устойчивого напряженного состояния материала, когда размер трещин постоянен и не появляются новые, разбиваем на

131

несколько простейших состояний согласно рис. 1 и для каждого из них выявим специфику распространения локальных трещин. На ус­ ловия локального разрушения компонентов существенно влияет про­ странственно неоднородное строение волокон и матрицы. В этом пара­ графе рассмотрим однородные изотропные волокна из стекла. Поли­ мерная матрица в микрообласти, непосредственно примыкающей к во­ локну, обладает аномалией физико-механических свойств, вызван­ ной влиянием высокой поверхностной энергии волокна, аппретирую­ щими составами и особенностями процесса отверждения. Указанная область благодаря развитой поверхности раздела фаз в структуре стеклопластика заметно сказывается на распределении напряжений, их релаксации и росте локальных трещин. Качественная оценка вли­ яния локальной неоднородности на процесс разрушения возможна только при известных законах изменения физико-механических харак­ теристик в малом объеме. Поскольку прямое измерение изменения в этом объеме данных показателей исключено, опытная проверка при­ нятых моделей процесса разрушения может быть осуществлена по результатам согласования вычисленных на основе теории и измерен­ ных в опытах интегральных величин.

Рассмотрим волокнистый материал с двоякопериодической систе­ мой одинаковых по величине и ориентации межфазных трещин.

Пусть / + /0 — межфазная граница; участок /0 определяет разрыв •сплошности — трещину, имеющую бесконечно малую ширину; I —

.плоскость с совершенным контактом фаз; п — вектор упругих смеще­

ний; Тп — граничное значение напряжений с нормалью п. При от­ сутствии фрикционных связей и налегания берегов разреза друг на друга введенные функции на границе каждого волокна должны удов­ летворять соотношениям

Тпа = Тп у На — И> , Тб/,

(8.2)

Т^а = Тп = О, Т б Здесь т = ае1и — координата точки на границе; величины, относящи­

еся к волокну, имеют индекс а, к матрице — без индекса; знаки «+» и «—» указывают, что предельное значение определяется вдоль поло­ жительного и отрицательного направлений нормали. Если волокна одинаковы, а их центры расположены в узлах двоякопериодической сетки, то условия (8.2) дополняются требованием инвариантности со­ стояния отдельной ячейки к операциям трансляционной и поворотной симметрии, допустимыми для выбранной структуры. Условия перио­ дичности требуют

где х и © — координаты текущей точки и вектор периода структуры. Приведенные соотношения дополняются системой равенств, свя­ зывающих средние напряжения или деформации с полем в структуре.

132

где V— объем ячейки; 5* — площадь грани, перпендикулярной к оси хг\ ©! — компоненты вектора периода о.

Решение поставленной задачи со смешанными краевыми условиями (8.2) строим методом сшивки функций [18], согласно которому иско­ мые решения для области, занимаемой матрицей, получаются супер­ позицией функций, описывающих локальное поле вблизи волокон при произвольном поле возбуждающих напряжений и обладающих опре­ деленной точечной симметрией, и функций, определяющих взаимодей­ ствие включений с учетом трансляционной симметрии структуры среды. Для волокнистой однородной вдоль ориентации волокон среды гармонические и бигармонические функции, определяющие указанное взаимодействие между ячейками, выражаются через эллиптические функции.

Вначале рассмотрим решение задачи о продольном сдвиге приве­ денного элемента, состоящего из волокна и прилегающей в нему мат­ рицы, при произвольных касательных напряжениях и симметрично расположенной относительно оси Ох2 трещины. Направление осей и расположение начала координат выбираем согласно рис. 1. Выразим краевые и другие условия через разрешающую вещественную функ­ цию в полярной системе координат г,

Методом разделения переменных решение строится элементарно:

«„ = « « + 2 рп{РпеШ + Рпе-‘Л

п = ‘ ^ (8.8)

133

Строим формальное решение задачи. Подчиняя функцию иа краевому условию

^ = - т ~ ж = ° - р = 1 : ♦ •< | * | < я *

Это функциональное уравнение выразим через условие аналитическо­ го продолжения за пределы круга вспомогательной функции X (г)

комплексной переменной г = ре1<>

134

135

решение, удовлетворяющее всем условиям внутри ячейки, имеет вид

где значение ц определено формулой (8.9).

В данном случае вспомогательные функции непосредственно свя­

Найденное решение вполне достаточно, чтобы методом последова­ тельной регуляризации найти в первом приближении упругие модули среды с трещинами. Для этого воспользуемся первым представлением

'— 2612^23№2)(?1з))

и заменяя смещения и на их среднее значение (1.17), запишем формулы для эффективных модулей

Для весьма малых трещин отслоения, когда # 0 -* л, значение уп­ ругих модулей согласуется с формулой (1.26), когда на всей межфаз­

136

ной границе соблюдаются условия совершенного контакта. Если во­ локно полностью отслоилось от матрицы, что соответствует значению 1>о = 0, получаем наинизшее значение модуля сдвига 612 = <?13 =

= С вполне согласующееся в принятом приближении с ранее

найденными результатами.

Рассмотрим случай более общего взаимодействия данного волокна со смежными. Пусть, например, напряжения при удалении от рассмат­ риваемого волокна возрастают так, что

и = а р8созЗй + а-—2- р з т Зд.

Решение задачи и для этого случая строится аналогично. Оконча­ тельно имеем

Здесь <7 определено формулой (8.9);

Для произвольного закона возрастания N напряжений получаем решение методом индукции

Суммируем все решения при различных я и находим достаточно общий вид взаимодействия данного волокна со смежными

(8-231

137

Строгое решение поставленной задачи ищем по методу сшивок [18], согласно которому полагаем, что поле смещений и напряжений по фор­ мулам (8.23) должно быть согласовано на некоторой окружности г= = Не™, расположенной внутри ячейки, с функцией, определяющей взаимодействие в двоякопериодической структуре. Последнюю для простой гексагональной или тетрагональной решетки берем в виде ряда по эллиптическим функциям Вейерштрасса С (г)

Используя условие в среднем для напряжений и исключая из най­ денных уравнений постоянные Ак, приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений, связывающих постоянные <7П со средними напряжениями:

Здесь апф — коэффициенты разложения (р + 1)-й производной ^-функ­ ции Вейерштрасса:

При анализе сходимости системы устанавливаем, что если смежные волокна не касаются друг друга, то система алгебраических уравне­ ний имеет единственное решение, которое получаем численно методом редукции. Для определения интегральных модулей сдвига, применяя свойства эллиптических функций, получаем

Сохраняя в системах (8.25), (8.26) первые доминирующие слагаемые, приходим к формулам (8.22). Последнее указывает на полную согла­ сованность результатов, найденных методом последовательной регу­ ляризации (см. гл. 5) с доминирующими членами в точном решении задачи.

138

скачкообразному падению сдвиговой жесткости материала. Модуль С12 до значительных углов раскрытия трещин снижается практически по линейному закону. Некоторые отклонения от закона прямой свя­ заны с изменением ориентации площадки сдвига. Для более плотных упаковок при $ = 0,85 наблюдается локальное влияние ближайших волокон на искривление кривой (рис. 61) при гексагональной и тет­ рагональной (рис. 62) структурах. Кривые /, 2 соответствуют измене­ нию С13/С и С12/С. Для малых углов раскрытия трещин выполняется

условие Н т - А — (01к— О,-А) = 0; 0% — модуль бездефектного мате­

риала.

Особый интерес представляет сравнение результатов, получен­ ных на основе первого приближения по методу последовательной регу­ ляризации и строгого решения задачи. Результаты расчетов приведе­ ны на рис. 63 при Е = 0,7 для рассматриваемого стеклопластика; сплошные кривые построены по точному решению, штриховые — по

139

формуле (8.22). Кривые 1 и 2 соответствуют поведению 013/0 и 01г/0 с ростом трещин. В целом наблюдается удовлетворительное сог­ ласование результатов при достаточно высо­ ком значении Очевидно, что погрешность будет расти для более плотных упаковок.

Рассмотрим условия хрупкого разруше­ ния волокнистой среды при продольном сдви­ ге и росте трещин в поперечном сечении ма­ териала в соответствии с линейной механи­ кой разрушения [5]. Скорость роста упругой энергии Д№ объема ячейки при действии на­ пряжений (о12) и (о13> будет

Здесь у — экспериментально определяемая постоянная. При этом при­ нято, что рост трещин не нарушает симметрию структуры материала, поэтому одновременно движутся оба конца трещины.

Из условия хрупкого разрушения Гриффитса следует выражение для соотношения между критическими средними напряжениями

данной ориентации трещин слабо изменяется с ростом размера дуговой трещины, поэтому а2 > Ь2, и эллипс сильно вытянут вдоль оси (а12 >. Если (ог13) = 0, то связь между углом раскрытия трещины и крити­ ческими напряжениями

140