книги / Микромеханика композиционных материалов
..pdfГ Л А В А 3
МАТЕРИАЛЫ С АНИЗОТРОПНЫМИ И НЕОДНОРОДНЫМИ ВОЛОКНАМИ
Высокомодульные волокна углерода, бора, нитевидные кристал лы и другие заполнители обладают ярко выраженными анизотроп ными свойствами. В волокнах углерода и органических волокнах ани зотропия возникает вследствие молекулярной ориентации; кроме того, в борных волокнах наблюдается высокая неоднородность структуры, обусловленная технологией осаждения мелкокристаллического бора. Определение полного набора упругих постоянных элементарных воло кон затруднительно, поэтому детальное экспериментальное и теоре тическое исследование свойств композиционного материала позво ляет получать информацию об аномалиях в характеристиках волокон.
§ 1. ПРОДОЛЬНЫЙ СДВИГ СРЕД С АНИЗОТРОПНЫМИ И НЕОДНОРОДНЫМИ ВОЛОКНАМИ
Пусть упругие свойства волокна непрерывно изменяются от цен тральной до периферийной части. Примером таких волокон, например, могут служить волокна бора, у которых сердцевина образована под ложкой из вольфрама (молибдена, углерода), а рубашка изменяет свой состав от борида вольфрама до чистого бора. Для защиты воло кон от окисления их покрывают слоем карбида кремния или карби да бора.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением неоднородных изотроп ных заполнителей или с цилиндрической анизотропией, когда оси анизотропии и волокна совпадают.
Для определенности полагаем, что модули продольного сдвига волокна не зависят от угла а являются функцией радиальной ко ординаты 6а= 60еаг, где О0— модуль сердцевины (вольфрама); а — степень неоднородности материала. Матрица — однородный изотроп ный материал. Уравнение (1.8) для волокна с переменным модулем в цилиндрической системе координат г, $ заменится следующим:
Его решение запишется через вырожденную гипергеометрическую функцию [44]
А> О
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
|
|
х = а г. |
|
|
С/ь (х) = |
хАФ №, 1 + |
2&; — х). |
|||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(й, 1 + |
2 6 ; - * ) |
= |
^ |
(1 + 2М |
ш! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2) |
|
|
(А)т = А(А+ 1)...(6 + т - 1 ) . |
||||||||
Решение |
задачи при |
совершенном контакте компонентов в первом |
||||||||
приближении будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
„(И _ |
|
|
2а11^ (х) |
|
(Се{« + Се~1% |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
у , ( * 0 ) (1 + суо) |
|
|
||||
|
|
ф(» (г) = Сг + |
- — ^ - С |
— |
, |
|||||
|
|
г |
' ' |
т |
1+ |
аув |
* |
• |
||
где х0 = аа\ |
а — радиус |
волокна; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
п 2 |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
С| — Оа (*0) Х0 иг (Хо) |
|
|||||
Ряд |
(хд) |
можно просуммировать: |
|
|
|
|||||
|
|
ПЬ |
|
(— хУ |
|
2 V I (—х)т |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
т\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т—2 |
|
|
|
|
|
^ |
|
(*) = -? < 1 - е ~ * - х е - * ) . |
||||||
Формула приведенного модуля |
сдвига |
волокна |
преобразуется к виду |
|||||||
|
|
|
|
^ |
0 |
х0 - 1 |
+ е ~ “ |
* |
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
||||||
Постоянная С связана |
со средними касательными напряжениями: |
|||||||||
|
|
Г — (Оц — «Тц) |
|
1 + °1/0 |
(3.4) |
|||||
|
|
|
|
|
20 |
|
1 —С + (1+00?/0' |
|||
Модуль сдвига в первом приближении |
|
|
||||||||
|
|
|
„о |
_ 1 - И - ( 1 + 0 0 ?/0 |
(3.5) |
|||||
|
|
|
|
12 |
° 1 + С + (1 -О С ?/0 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
42
Учет влияния вида упаковки среды достигается переразложением во втором приближении функции смещений матрицы по добно тому, как это получено ранее (см. § 2 гл. 1). Для изотроп ной матрицы разрешающие функции выписываются по аналогии, где модуль сдвига волокна Оа заменяется на приведенный мо
дуль Слл.
Окончательный результат преобразований имеет вид
* » ( * » - |
па» д |
1~ |
0\/0 |
( ? / < - ' |
|
яа« с |
1 ~ |
°У° |
||
® |
° |
1 + |
0\Ю |
1— (г/се)" |
|
ш |
1+ |
0\Ю |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
уЛ |
1—02/° |
( а2 Ч*""1 |
|
|
|||
|
|
|
2шЛ |
1+ |
Спк№ |
I 2Ш / |
|
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5п |
а* |
1~ °У а |
V I |
|
<Х) |
Ы |
|
|
|
|
|
“ |
‘ + |
0\ю |
2 и |
^ „ -1 |
(V |
(1 + |
С*/<3) |
|
X (Се*кп-ъ* + Се-^кп- ^ ) .
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
01 = 0, |
х0еХо |
|
1<*0> |
|
|
(3.6) |
|
|
|
кп— 1 |
"к*-1<*0> |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При подсчете энергий |
для |
вычисления |
интегралов |
вида |
|
||
I |
|
|
= | |
Ыхе* [</?_, + |
(п - 1)»|, |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
1/п- 1 (х) = |
д»-'Ф (п— 1, 2п — 1; — х); |
|
|
||||
+ |
+ |
|
|
^ - ^ |
= 0, |
|
|
воспользуемся формулой интегрирования по частям с |
помощью приве |
||||||
денного дифференциального уравнения и получим |
|
|
|||||
I = |
хехи п^ {х) и п^‘ |
(х) 15*. |
|
|
|
||
43
Приращение энергии во втором приближении
Д4(/ = 2пЮСС ^ 1 - 0 '/<3
я>О
Сохраняя доминирующие члены в разложении, по аналогии с (2.6) составим формулы для модулей сдвига во втором приближений:
^ = - ^ - = 1 + « ’ ( « - ! ) % ( — |
1- |
01/0 _ \ 2_31ПХ |
С + (1 + 0 С г |
||
°?2 |
|
\Ю ) Пп |
|
С"/0 |
42 |
|
|
(3.7) |
Выражение для модуля сдвига в третьем приближении выписывает ся аналогично (2.8).
Влияние упаковки при сдвиге материалов с неоднородными во локнами иллюстрирует рис. 16, где кривые 1 и 2 построены по фор
муле (3.7) при « = |
4 и п = 6, а кривая 3 — по результатам первого |
|
приближения (3.5). |
В расчетах принято С0/О = 100, |
= 3. В этом |
случае в гексагональной структуре (п = 6) достигается двукратное повышение модуля упругости за счет более плотной упаковки волокон. Погрешность первого приближения (кривая 3) достигает около 40 % для материалов с тетрагональной упаковкой (л = 4). Для реальных материалов со смешанной структурой погрешность первого прибли жения в среднем снизится почти в два раза.
В случае цилиндрической анизотропии общего вида закон Гука содержит побочные эффекты, определяемые постоянной Сг0:
_ дип ди
(3.8)
Л |
ди |
Л |
1 дй |
= б * |
~дг~ "Ь ^ |
" Ж • |
|
Здесь смещения иа удовлетворяют уравнению
_ д*и |
л . аЗл а. |
1 |
дС гЪ \ |
!К |
|
(> |
.в*! |
н |
|
4 О |
|
|
ад / д г ■ + \ г2 |
|
|
||||
|
+ д г + г |
|
ад |
1 г |
|||||
|
ди |
О .Л |
|
* и а |
|
Тг |
д 2и |
а |
|
|
|
/\Г |
|
|
|
|
|||
|
ад + * |
дг |
|
дгд® |
+ |
г 2 ад2■ = |
0. |
||
д° г 9 )
д г 11X
(3.9)
Изменение упругих свойств волокон в тангенциальном направ лении неизвестно; достаточно общий закон зависимости модулей от радиальной координаты будет
°Г = °0 ( т ) 2?еа<Г_е>- 0,о = *Ог, О* = т г. |
(3.10) |
44
Постоянные С0, а, х, б определяют неоднородные свойства круг лых волокон в радиальном направлении; е — радиус центральной изотропной части волокна с модулем сдвига О0
Решение уравнения (3.9) выражается в виде ряда по вырожден ным гипергеометрическим функциям [6]
иа = |
2Ке 2 |
|
|
|
[АпР (а„, &„;*) + |
Вп1Р<«„, Ьл;*)], |
(3.11) |
|
где |
А >0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а |
)т |
|
|
|
|
х = аг, |
|
|
*"> |
|
|||
|
Р(ап,Ъп\х) = ^ |
)т |
т\ * |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
бп!*) = |
я |
[ |
'" Х Л ;* » |
Г(ап) Г ( 2 - 6 я) |
]• |
||
|
Япя6п 1Г ( ! - ? „ ) Г (6„) |
|||||||
Здесь Г (с) — гамма-функция |
[6]; |
|
|
|
||||
|
|
Яп = Я+ Уч2 + »2(62- X 2); |
|
|
||||
|
Од = 1 + |
2д + |
6П = 1 + |
2д + |
2<?„• |
|
||
Рассмотрим частные случаи общего решения (3.11). Полагая <7 = О, |
||||||||
и = 0, |
б2 = 1, |
приходим |
к |
случаю изотропных волокон с перемен |
||||
ным модулем упругости, |
рассмотренному выше. |
|
|
|||||
45
Другой предельный случай имеем при (/,<>= 0, где Сг и 6о— по стоянные, а центральная часть волокна с модулем сдвига С0и радиу сом е изотропна.
В первом приближении, удовлетворяя условиям совершенного контакта компонентов, найдем разрешающие функции для сердцеви
ны и0, рубашки |
волокна иа и участка матрицы и (г): |
|||||
<44) = |
|
4 / - 1Оц/О0 |
Сге1* + Сге~ |
|||
[1 + О /О0- ( 1 - О а/О0) Л |
1+в\Ю |
|||||
|
|
а' 0 |
'* |
''а''"О7 |
|
|
|
|
|
2а1_Р |
|
|
[(1 + 0а/0) X |
И<» = •[1 + Оа/С0 —{1 — Оа/О0) <1 + |
С?/С) |
|||||
X |
+ |
Сг»е-») — (1 — 0а/0) (Се10 + |
С е - в) |
|||
|
|
Ф<» (г) = |
Сг + |
1 + 0\№ |
С — |
|
Здесь |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оа = УОгО«\ |
? = |
4 - ; |
р |
|
||
|
2 |
1 + С„/0„ + |
( 1 - 0 я/0п) ^ |
(3.12) |
||
|
‘ |
1+ °а/О0 ~ 0 —ва/°в) Ч* |
||||
|
|
|||||
Постоянная С связана со средними напряжениями согласно фор муле (3.4). Используя второе представление энергии (1.23), найдем формулу для модуля сдвига с анизотропными волокнами, точно сов падающую с выражением (3.5).
Во втором приближении полагаем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
„(2) = |
_ |
^ |
_3>_ {- аУа |
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
® |
°0 |
1 + а\/0 |
|
|
2 |
, - |
г4"-1 |
|
|
|
|
(Се<(Ал-П* 4- Сй-адл-|)«)1 |
|||
|
/ ° |
» |
|
|
|
|||||
*>Т■ 1 + Са |
°*10о>^ К 1 + Оп/в)к |
|
|
|||||||
ит _ |
2па» |
1 -0 ?/0 |
V |
(Д/Ш)*'-1а-В(*л-1) (се<(*п^1)» + |
|
|||||
° |
“ |
1+ °У0 |
Ы |
Т* + |
0 > . - (1 - Оо/О0) ^ 1 (1 + ауо) |
|||||
|
X [(1 + |
в а/О о ) Л »*"-1' — (1 — Оа/О0) 823(*л-|)г-р(лл- 1)]1 |
||||||||
ф(,(г) — |
— |
Т |
Т |
^ - ■ с |
2 (г/со)*"-1- л°2 |
—~ |
й?/0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Л >0 |
® |
1 + |
оуо |
|
|
|
|
|
к>о 1 + |
С«/0 |
\ гео у |
|
|
|
46
где |
0п= с |
|
1+ о а/о0 + |
( 1 - о а/о0)угВ(*"~|) |
(3.13) |
|
* |
а |
М -ос/оо- ( 1 - с (1/о0)?ад'"1- |> |
||
|
|
||||
Остальные обозначения |
введены ранее. |
|
|||
|
Приближенные формулы для |
модулей сдвига 612= 013 во втором |
|||
и третьем приближениях полностью согласуются (3.7) и (2.8). Ограни чение только первым членом ряда в выражении для энергии вполне допустимо, так как ^ < 1.
Влияние неоднородности строения волокна на модуль продоль ного сдвига линейно-армированного материала при различной струк
туре показано |
на рис. 17. |
Расчеты проведены для значений Са/6 = |
= 25, Оа/60= |
3, Р = 2. Кривые Г и 2' построены по первому прибли |
|
жению соответственно для |
= 0 и д = 1. Остальные результаты най |
|
дены по второму приближению. |
Кривые / |
и 2 построены |
для ^ |
= О |
||
соответственно при /г = |
4 и я = |
6, а кривые 3 и 4 — для |
д = |
1 |
при |
|
п = 4 и п = 6. |
|
|
|
|
|
|
Из рис. 17 следует, |
что для |
круглых |
волокон наибольшее |
влия |
||
ние оказывает отношение модулей волокна и матрицы; с уменьше нием этого отношения до Са1С = 8 роль упаковки (кривые 3 и 4) сглаживается.
Путем сравнения конечных результатов нетрудно установить, что выражения (3.13) и (3.6) играют роль эффективных модулей для волокна, поэтому упругие свойства при продольном сдвиге для лю бых волокон могут быть предсказаны с помощью (3.7) и других фор мул.
Для иллюстрации этого определим модуль продольного сдвига линейно-армированного боропластика, волокна у которого имеют изо тропные барьерные покрытия толщиной К“ с модулем сдвига <3*. При нимаем, что модуль сдвига неоднородных и изотропных волокон бо
ра |
Оа изменяется по закону, |
близкому |
|
к экспоненциальному 0а = |
|||
= |
О0ех. |
|
|
|
|
|
|
|
На основе изложенного составляем формулу для модуля продоль |
||||||
ного сдвига во втором приближении: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 1 п "ап 0 ° г |
/ |
1 - 0 | / 0 |
\ а |
|
°12 |
°12 |
' |
п"0 |
\ |
1—С+(1 + 0 0?/0 / |
|
|
|
I |
|
«1п"а„ \ ( 1 — 0?/0 |
\ 21 |
||
|
|
|
|
|
|
|
(З .М ) |
где д = а |
; а — радиус |
волокна без покрытия; |
|
||||
|
|
|
|
1+ С+ (1 - |
|
а о2/в |
(3.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 0 ./0; + ( 1 - 0 . / 0 ; ) ^ '- 1)
к* 1 + 0'!0кп— (1 — ОуОр ч2«м- 1>
о а |
о |
*о « г* |
У* я - 1 <*0> |
°* |
» |
А«-1 |
У*л_, Ы |
47
В интервале 0 ^ а. < гс/4 при совершенном контакте компонен тов значения модулей сдвига реальных материалов заключены в вил ке между значениями, определяемыми формулой (3.14) при п = 4
(верхняя граница) и п= 6 (нижняя граница). Для я/4 С а «< я/2 \ ~б при одинаковых диаметрах волокон величины 0 12 = Охз будут опре деляться (3.14) при п = 6.
§ 2. ПРОДОЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
Пусть круглые волокна обладают цилиндрической анизотропией, ось которой совмещена с осью волокна. Рассмотрим частный случай
цилиндрически-ортотропного |
тела, |
упругие |
характеристики |
которо |
|||||||||||
го определяются восьмью постоянными. В |
цилиндрической |
систе |
|||||||||||||
ме координат хъ л, |
& закон |
упругости |
для |
волокон запишем |
в виде |
||||||||||
|
_ |
1 |
|
|
|
|
V. |
|
V?. = |
-о“ |
^1г. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ег |
°г ^~ |
Еф |
Е* |
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
е1= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4>г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вг ““ д г |
' |
|
|
г |
д # |
+ |
г |
’ |
61 “ |
дх± |
• |
|
||
|
|
_ |
дн |
|
диг |
|
|
|
ди^ |
|
1 |
|
. |
|
(3.17) |
|
|
|
|
710 : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
?1 г |
дг |
|
|
|
дхл1 |
|
Г |
аа |
* |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ди* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ с_ _]____2_____ . |
* |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
/■ |
ай ' |
|
д г |
|
г |
|
|
|
|
|
«1,“ цг, |
— компоненты |
вектора |
смещений |
в |
цилиндрической сис |
||||||||||
теме координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица |
материала |
изотропная, |
поэтому |
ее |
упругие |
свойства |
|||||||||
определяются законом (1.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение |
задачи |
о |
продольном |
растяжении |
строится аналогично |
||||||||||
приведенному в § 2 гл. 2, поэтому выкладки проводим без пояснений. Решение задачи о растяжении компонентов без учета их взаимодей ствия элементарно, так как компоненты испытывают однородное растяжение по оси Охх:
смещения |
в волокнах |
|
|
и\ = |
х 1(е4), |
иаг = — п>4 (е^, |
|
смещения |
в матрице |
|
|
|
|
«г = — ™(е4), |
= — /"V <еА>. |
48
из |
При плоском деформированном состоянии волокон е4 = |
0, поэтому |
||||||||||||||||
соотношений |
(3.16) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ег = Р| |
+ М * |
|
|
|
|
|
|
(3.18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
= Р12 |
+ Р2а<ь |
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
_ |
|
^ . |
о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Р г - |
|
’ЁГ’ |
Р« |
|
|
|
|
|
||||
|
Напряжения определяются через разрешающую функцию Эри |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
— |
1 _др_ |
|
|
1 д * р |
|
_ |
|
д*Р |
|
|
|
(3.19) |
||
|
|
|
Стг“ |
г |
дг |
' |
|
дЪ* » |
|
а<>““ |
|
дг2 » |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
_ |
1 |
д*7 |
1 |
д2Р |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
°г{>~ |
га |
ао |
г |
длэо * |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
принято, |
что |
Е удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
А |
д*р |
, |
* Р И |
+ |
Р« |
а |
4^ |
|
, |
Ь, |
2ра2 4 /7а 3/ 7 |
2р и |
+ |
р в дзР |
||||
Н2 |
^ Т " |
г* |
|
дггд$ г |
Т |
Г4 |
|
/• |
дг3 |
|
|
Т2 |
|
а г д ^ 3 |
||||
|
Р 1 |
^ |
^ |
, |
2 Р 1 + 2 Р 1 2 +* Г Ре , Р г дР |
„ |
|
й |
_ |
1 |
|
|||||||
|
г3 |
а/-3 |
|
г4 |
|
|
аяа |
г2 |
|
аг ~ |
^ |
Рб |
“ |
~ с ^ • |
||||
|
Решением этого уравнения будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
/=■ ( Г , |
«) - |
2 |
Л. « М »*"* + Л » в -Й,в1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь функция /^(г) содержит четыре функции |
вида |
г3«, г5*, г5*, г5*, |
||||||||||||||||
где |
|
|
|
_________________________________________ |
||||||||||||||
51.2.3.4 = |
1 ± |
- ^ = - ^ 1 + |
х2 + |
[Ш2 ± |
] Л ( 1 + |
X* + |
|Ш*>* — |
4к*(1 — |
Л*)«; |
|||||||||
|
|
|
|
5/2 — |
|
' |
II — 2^12 + Ра |
• |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
н ~ |
р, |
’ |
|
|
|
р, |
|
|
|
|
|
|||
|
В дальнейшем принята следующая нумерация корней: |
|
|
|
||||||||||||||
51Д = |
1 + |
- щ |
К 1 + и ? + |
и п * ± У ( 1 + х * + |
|ша)* — 4н*(1 - |
л2)2; |
||||||||||||
5з,4 = |
1 — - щ |
У \ + |
и2 + |
цп2 ± |
]/ (1 + |
и2 + |
рп2)2 — 4х2 (1 — п2)2. |
|||||||||||
Знак выражения, стоящего под вторым корнем, определяется нера венством
|
|
(1 + х )г + (ц - 2 и ) л 2 > 0 . |
|
|
|
Для |
волокон |
Е ^ Е ъ и Е |
^ Е г . |
Еп получаем |
р. > |
В |
случае |
графитовых |
волокон, полагая |
||
> 2х, поэтому полагаем, что 51,2. з, 4 не содержит |
комплексных |
кор |
|||
ней. |
|
|
|
|
|
49
Рассмотрим |
частные |
случаи. |
Для |
трансверсально-изотропного во |
||||||||||||||
локна Ег = Е$у |
к2= р4/р2 = 1 , |
(х = |
2, |
поэтому |
з{ = 2 + п, |
з2= |
2 |
|||||||||||
$3= |
— п, |
54 = |
п. |
Для |
осесимметричного |
состояния |
л = |
0 и |
|
|||||||||
|
|
54 = |
2, |
|
52 = 1 + |
х, |
|
53 = |
0, |
|
54 =* 1 — к. |
|
(3.20) |
|||||
При п = 0 и к = |
1 получаем |
частные |
решения: г2, |
1пг, |
г21пг. |
|
||||||||||||
В дальнейшем |
рассматривается |
случай |
к >• 1, когда |
|
;> Ег. |
|||||||||||||
В первом приближении плоское |
деформированное состояние |
приве |
||||||||||||||||
денного элемента |
осесимметрично, |
поэтому |
напряжения |
и смещения, |
||||||||||||||
удовлетворяющие условиям совершенного контакта фаз, будут |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
20 (у1 - у) х ( 1 - » |
(в,) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
<т? = |
|
|
|
|
|
|
- С ) |
( е 1)_ _ _ _ _ _ _ _ |
|
|
|
||||||
|
х[1 4 4 ( 1 - 2 ^ ] + 2 0 |
(р,1 + |
хР12) ( 1 - 0 |
Ы |
|
* |
|
|||||||||||
|
4,а_ |
|
|
|
||||||||||||||
|
_ |
/ р х . |
|
20 (ул— у) |
|
|
|
|
(1 — О о <«!> |
|
/ Г ч * |
|||||||
|
|
|
1' |
Т |
|
* [1 + Е (1 - |
|
2»)] + |
20 (в + |
ири) (1 — о |
и ,1 ’ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
«%= |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
(3-21) |
||
|
|
|
|
|
|
20 (уг — у) X; <е1>__________ ,> _ |
й2\ |
|
||||||||||
|
|
|
* [ 1 - К ( 1 - 2 у)| + 2 0 (Р ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
иг = — ™<е,>- |
|
к [ 1 + |
Е (1 - |
(VI — V) « <»!> |
|
|
О X |
|
|||||||||
|
|
2т)] + |
20 (Р, + хр12) (1 - |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X | 0 — 2у)1/ + а (т")]- |
|
|
|
|
||||||||
Опуская |
выкладки, составляющие |
процедуру |
метода, получаем |
иско |
||||||||||||||
мые упругие постоянные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Е? = |
&Е, + |
( 1 - ? ) Е + |
|
4Е (1-Е )(У 1-у)»0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 + ? - 2 ^ + 2 (1 - ? ) О а • |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
Е? — модуль |
композиционного |
материала при |
продольном |
растя- |
|||||||||||||
жении в первом приближении; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
V», = V + |
|
Ц (V, - |
V) (1 - |
V) |
|
|
|
(3.22) |
||||||
|
|
|
1+ Е —2 ^ + 2 ( 1 - 0 0 0 • |
|
|
|||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
= Р.2+ и р г = |
- |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.23) |
Основное влияние на эффективные постоянные цилиндрической ани зотропии волокон выражается через параметр й . Модуль Е® в целом
зависит от первых двух членов из-за малой величины |
(V ! — V )2 . |
|||
В случае трансверсально-изотропных волокон |
|
|||
Е0= ЕГ=Е*, |
а = |
с0 |
-----2 - 3 - . |
(3.24) |
|
|
с* |
|
|
50