книги / Микромеханика композиционных материалов

Используя соотношения (1.19) и (1.20), получаем второе пред­

Аналогично выводится второе представление энергии через сред­ ние деформации. Решение задачи строится методом последовательной регуляризации [14]. Метод основан на следующих предпосылках:

а) статическое или длинноволновое внешнее поле возбуждает во­ круг отдельного волокна внутреннее поле, состоящее из возбуждаю­ щей и рассеянной составляющих. Первая составлена из суммы од­ нородной и осциллирующей вдоль поверхности волокон частей;

б) последующие компоненты внутреннего поля, характеризую­ щие взаимодействие данного волокна со смежными, имеют более высокий порядок малости.

Решение в приближении однородного взаимодействия волокон в системе координат с началом в центре отдельного волокна имеет

где постоянные выбраны с учетом граничного условия (1.12). Для определения постоянной С воспользуемся первым представлением энергии (1.19) для гексагональной и тетрагональной упаковок

Заменяем в первом приближении и на {и) согласно (1.17), а кон­ тур 7, деформируем в окружность равновеликого круга; имеем

где Е — относительное объемное содержание волокна.

21

Используя для определения упругой податливости среды второе

.представление энергии (1.23) и заменяя под интегралом локальные ■.напряжения на средние, получаем известную формулу для модуля ■сдвига линейно-армированной среды [111:

Приведенная зависимость совершенно не отражает влияние упа­ ковки волокон и при плотной укладке заполнителя и высоких значе­ ниях 0а/0 приводит к существенной погрешности. Во втором прибли­ жении возбуждающее поле рассматриваемого элемента среды полу­ чается суммированием возмущений, определяемых вторым членом функции ф (г) в (1.24), от всех смежных и равноудаленных волокон. Перераскладывая эти возмущения в системе координат, связанной с центром выделенного элемента, запишем

где а) = он; л, равное 4, 6, 8, характеризует симметричную конфи­ гурацию, содержащую четное число смежных волокон. Разрешаю­ щие функции во втором приближении будут

Энергия выделенного элемента получит приращение вследствие учета осциллирующего взаимодействия между волокнами:

Здесь а п = 2л/п; п — 4, 6, 8 — число ближайших соседних рассматри. ваемых волокон. Формулу необходимо упростить, так как она содер­ жит величины разного порядка малости; учитывая, что я л ^>5тла п, получаем

22

Для тетрагональной укладки волокон полагаем п = 4, для гек­ сагональной — /1 = 6 (по числу наиболее близко расположенных смежных волокон).

Найденное приращение энергии Д ^ приведенного элемента ве­ дет к росту модулей или падению податливости. Поэтому во втором приближении модуль сдвига будет

1 - 0 / 0 ° 12 0,2 + з (Уи)‘ С12{ 1 + Л г(п 1) с ( 1 —& + (1 + о с а/с-Г

Эта формула интересна тем, что она в явном виде учитывает влияние на модуль сдвига типа упаковки материала. Третье приближение, учитывающее лишь первые слагаемые в разложении функций второго приближения, имеет вид

23

Результаты вычислений зави­ симости модуля при продольном сдвиге линейнс-армированного ма­ териала с низкомодульными волок­ нами (стекло Е) и матрицей из эпоксидного компаунда (Са1С=25) от объемного содержания С пред­ ставлены в виде кривых на рис. 10. Кривая 3 построена по формуле

денные при решении задачи с помощью эллиптических 'функций и ЭВМ. Как видно, в самом не­ благоприятном случае погрешность формулы (1.28) составляет около 10 %. Третье приближение (1.30) дает малую поправку ко второму приближению.

Отметим, что с ростом отноше­ ния Оа/<7, характерным для высоко­ модульных волокон, роль упаков­ ки существенно возрастает. Так, при Оа 10 = 100, достигаемом в композиционных материалах с высо­

комодульными волокнами и матрицей из эпоксидных компаундов, предельное значение эффективного модуля, найденное по формуле (1.28) для гексагональной структуры (см. кривую 2‘ на рис. 10), превышает^ два раза предельное значение модуля при тетрагональ­ ной укладке (кривая Г) волокон. Кривая 3' определяет модуль по формуле (1.26) при Оа/0 = 100; стрелки и цифры указывают пре­ дельные значения для данной упаковки. Поэтому можно считать, что тонкая структура в волокнистых материалах является важным фактором, обеспечивающим эффективное использование характерис­ тик элементарных волокон.

Ранее отмечалось, что при фиксированном объемном содержании волокон С в тетрагональной структуре большая часть волокон наибо­ лее близко расположена друг к другу. Это приводит к росту энергии взаимодействия волокон в данной структуре. Последнее очень важно при теоретической оценке границ разброса упругих постоянных для реальных материалов и подтверждается удовлетворительным совпа­ дением с результатами экспериментов. Поэтому при сдвиге материа-

24

лов с гексагональной и квадратной упаковками характеристики об­ разуют соответственно нижнюю и верхнюю границы области с наи­ более вероятными значениями упругих постоянных для реальных материалов.

При контакте упругих тел с различными механическими харак­ теристиками на межфазной границе возникает наибольшая концент­ рация напряжений, возрастающая с ростом отношения модулей ком­ понентов до определенных пределов. Другим источником повышения интенсивности напряжений в структуре является взаимодействие данного волокна с близлежащими. По мере сближения волокон, т. е. с увеличением объемного наполнения будут возрастать и напряже­ ния. Используя разрешающие функции трех приближений (1.24), (1.27) и (1.29), по формуле (1.10) определим концентрацию напряже­

лены на рис. 11. Здесь с ростом С» как следует из поведения штриховой кривой, построенной по первому приближению, наблюдается даже некоторое падение интенсивности напряжений, объясняемое увели­ чением доли нагрузки на волокна.

Подобное падение интенсивности напряжений на межфазной гра­ нице с ростом ? является обычным недостатком решения в первом приближении. Кривые 1,2 и Г , 2' определяют концентрацию напря­ жений для тетрагональной (1) и гексагональной (2) структур во вто­ ром и третьем приближениях. При квадратной упаковке напряжения в третьем приближении (кривая Г) почти полностью (до 5 %) со­ гласуются с точным значением; для гексагональной структуры (кри­ вая 2') при предельно высоких значениях наполнения (& = 0,9) третье приближение на 15 % понижает эффект концентрации напря­ жений по сравнению с точным значением. Для достоверного опреде­ ления напряжений в структуре необходимо построить большее чис­ ло приближений, чем для вычисления модулей с принятой точностью.

25

Аналогично строится решение этой задачи, если задать в первом представлении упругой энергии средние напряжения (ст1а), <ст13>.

Постоянные в этом случае определяются через средние деформа­ ции

Используя второе представление энергии, непосредственно на­ ходим модуль упругости. Дальнейшие выкладки мало чем отличаются от приведенных выше. Вычисление податливости в большинстве слу­ чаев проводится с менее громоздкими выкладками.

В практике объемное содержание устанавливается исходя из требований технологии изготовления и анализа данных испытаний на разрыв линейно-армированного материала. Согласно этим данным при высоком объемном содержании волокон С ^ 0,8 понижается разрывная прочность материала [12], поэтому из условий технологии

к чистому продольному сдви-

Рис. 13

26

гу. Поэтому представляет интерес рассмотреть изменение минималь­ ных касательных напряжений на межфазной границе с ростом отно­ шения модулей 0а/0. Для тетрагональной структуры (п = 4) в рас­ сматриваемом стеклопластике минимальное значение напряжений до­ стигается при I ~ 0,4; для гексагональной (п = 6) — при С~ 0,6.

С ростом коэффициента наполнения С в структуре материала происходит определенное выравнивание напряжений. Это иллюстри­ руется кривыми на рис. 12, где определена зависимость концентра­ ции напряжений на площадке, расположенной в матрице между во­

концентрации напряжений в матрице близки к таковым на межфаз­ ных границах. Полную картину распределения напряжений в струк­ туре определяют изолинии, найденные по формуле

_ 1^012 + 013

На рис. 13, а и б приведены изолинии концентрации напряжений для тетра-и гексагональной структур при $ ~ 0,4 и <сг13) = 0. Из­ менение распределения напряжений и их интенсивности с ростом объемного содержания волокон иллюстрируется изолиниями на рис. 13, в, где С = 0,7 при п = 6. Все кривые построены для стеклоплас­ тика Са!С = 25.

Как видно, наиболее напряженные площадки в матрице распо­ ложены по линии, соединяющей центры волокон и расположенной перпендикулярно к плоскости действия напряжений (а1а), т. е. на оси Оя2. Осциллирующие по границе волокна касательные напряже­ ния вызывают только локальные возмущения вблизи границы.

§ 3. ПРОДОЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ

Упругие модули волокон более чем на порядок превосходят упру­ гие модули матрицы. Последнее обусловливает высокую эффектив­ ность простых моделей типа простой смеси при изучении напряжен­ ного состояния и упругих постоянных волокнистых материалов при продольном растяжении. В действительности в данном состоянии в большей степени, чем в любом другом, проявляется игра напряже­ ний и деформаций, вызванная локальными искривлениями волокон или наличием в них трещин. Для исследования этих явлений зна­ чительный интерес представляет учет пространственности напряжен­ ного состояния.

Двухмерные модели при продольном растяжении армированной среды выявляют только некоторые аспекты общей задачи. Состояние среды при продольном растяжении представим в виде суммы двух простейших — растяжения без учета взаимодействия между компонен­ тами при действии неизвестных постоянных напряжений в предполо­

27

жении, что плоскости х^= сопз! не искривляются в процессе дефор­ мирования, и плоского деформированного состояния для заданных смещений на межфазных границах при отсутствии продольных дефор­ маций. Смещения задаются такими, чтобы разность поперечных сме­ щений матрицы и волокон при отсутствии продольной деформации обеспечила непрерывность суммарных смещений для обоих состоя­ ний на поверхности контакта компонентов.

I Плоское деформированное состояние определяется через две раз­ решающие функции комплексного переменного ср (г) и ф (г) с по­ мощью соотношений [53]

а3 + а2 = 2[Ф(г) + Ф(7)],

Аналогичные соотношения выписываются для волокна. Путем

2О(иг + шъ) = е_гв [хср (г) — гФ (г) — 1|>(г)].

Учитывая разность поперечных смещений компонентов при рас­ тяжении (1.33), находим краевые условия для плоского деформирован­ ного состояния на межфазной границе

28

Условия периодичности напряжений в матрице сводятся к ра­ венству напряжений при переносах на расстояния, кратные ©х и ю2, поэтому

<оуФ' (г + ©у) + 'Г (* + ©у) = Т(г).

В приближении однородного взаимодействия искомые функции бу-

дут Фс (г) = Л, Чга (г)= О, Ф (г) = О, Ч; (2) = й. Второе условие пе­

риодичности (1.36) при этом не выполняется.

На внешней границе каждого приведенного элемента Ь напряже­

поэтому вее неизвестные в формулах (1.36) определяются непосред­ ственно. Составим выражение удельной упругой энергии при плос­ кой деформации через разрешающие функции:

Интеграл по контуру ^ пропадает вследствие условия (1.37); смеще­

29

Формулы (1.39) и (1.40) определяют доминирующую часть про­ дольного модуля и коэффициента Пуассона в точном решении, полу­ чаемом с помощью эллиптических функций [111. Эти результаты не­ трудно получить и другими способами.

Третье слагаемое для модуля Ег в (1.39) пренебрежимо мало в высокомодульных композиционных материалах, поэтому Ех линейно растет с увеличением объемного наполнения С-

§ 4. ПОПЕРЕЧНЫЙ СДВИГ

Пусть на выделенный объем действуют только средние касатель­ ные напряжения (а23). Если структура волокнистой среды симмет­ рична относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, параллельных координатным, то при сдвиге ее в плоскостях, пер­ пендикулярных к ориентации волокон, деформации вдоль ориента­ ции волокон будут отсутствовать. Поэтому состояние среды опреде­ ляется через функции ср (г) и ф (г) согласно соотношениям (1.31).

Первое краевое условие (1.35) остается без изменений, второе примет вид

где сг°3 — неизвестные напряжения взаимодействия элементов. В та­

ком виде второе условие периодически не выполняется. Краевые условия (1.35) и (1.41) позволяют установить связи между постоян­ ными. Удельная энергия приведенного элемента при условии совер­ шенного контакта компонентов определяется интегралом

о = Ке -д г § (Ыг + «Из) [(<Т3 + сг2) йг + (<т3 — ог2 + 2шм) Ог]. (1.42)

Здесь I — контур внешней границы элемента. В первом прибли­ жении заменяем его на окружность Ь0 равновеликого круга.

Первое представление энергии получим с учетом условий перио­ дичности (1.36) и вытекающего из него соотношения

(«2 + ш3)г+Ш/ — («2 + ш3)г = (и2 + ш3)2+Ш/ — («2 + ш3)2. (1.43)

Последнее позволяет представить приращение смещений в смеж­ ных ячейках через средние деформации. Для средних смещений имеем

30