книги / Микромеханика композиционных материалов

Т а б л и ц а !

ваются асимптотические решения, близкие к длинноволновым возму­ щениям.

Для предварительных расчетов и оценок эффективных упругих постоянных армированных материалов в табл. 1 и 2 приводятся при­ ближенные данные для наиболее распространенных компонентов [3, 11, 32, 42, 77].

Г Л А В А 1

МАТЕРИАЛЫ С ОДНОРОДНЫМИ ВОЛОКНАМИ

В данной главе рассмотрены модели, ограничения и методы ме­ ханики упругих тел, необходимые для получения количественных оценок эффективных упругих постоянных и внутреннего поля на­ пряжений в волокнистых материалах с однородными изотропными волокнами. Классическим примером таких материалов являются стек­ лопластики при кратковременном нагружении или в условиях низ­ кой темпер атуры,ткогда не проявляются неупругие свойства матрицы.

Детальное исследование упругого состояния в задаче о продоль­ ном сдвиге материала необходимо для получения в явном виде связи эффективных упругих постоянных композиционной среды с упаков­ кой волокон в ее структуре, а также выявления сущности предлага­ емого метода усреднения и учета взаимодействия многих тел, избе­ жав при этом громоздких выкладок, возникающих в других состоя­ ниях.

§ 1. СТРУКТУРА II ПРОСТЕЙШИЕ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНО-АРМИРОВАННОЙ СРЕДЫ

Основу волокнистых материалов составляет прядь более, или ме­ нее выпрямленных волокон. По технологическим причинам пряди предварительно закручиваются на некоторый угол вокруг продоль­ ной оси и объединяются в нити, содержащие несколько тысяч волокон. Нити в свою очередь являются основой для создания ровниц, лент или тканей с двумерными или пространственными схемами переплете­ ния. Технологии, в которых волокна не подвергаются ткацкой обра­ ботке, менее распространены1.

Важно отметить, что ткацкая переработка вследствие появления локальных напряжений при изгибе и кручении волокон ведет к не­ избежному снижению эффективности в использовании прочности и жесткости волокон в изделиях. Основным конструктивно-технологи­ ческим элементом любой структуры волокнистых композиционных ма­ териалов является прядь волокон, связанных между собой в монолит­ ное тело с помощью матрицы из полимеров, металлов, керамики. Поэтому исследование эффективных характеристик и внутреннего по-

1 Примером такого материала являются стеклопластики СВАМ, предложенные А. К. Буровым и Г. Д. Андриевской.

12

где п — вектор нормали к 5 ШП; в дальнейшем величины, относящие­ ся к волокну, отмечаются индексом а, к матрице — без индекса. Уравнения, справедливые для обоих компонентов, не отмечаются индексами.

В идеализированных линейно-армированных материалах структу­ ра определена взаимным расположением волокон, что оказывает вли­ яние на характер взаимодействия компонентов в поле напряжений и объемное содержание связующего и заполнителя. В реальных струк­ турах, например стеклопластиков, наблюдаются разброс диаметров волокон и хаотичное расположение их центров. Распределение рас­ стояний между смежными волокнами в стеклопластиках, изготовлен­ ных с помощью метода непрерывной протяжки, представлено на рис. 2 в виде ступенчатой гистограммы. Эти данные получены путем обработ­ ки около 2000 замеров расстояний под микроскопом [11]. По оси ор­ динат отложены плотность вероятности Р (х), а по оси абсцисс — рас­ стояния между волокнами х. Вблизи оси ординат результаты не дос­ товерны из-за недостаточной разрешающей способности микроскопа.

14

Наибольшее число замеров, как это следует из поведения гистограм­ мы, приходится на область в пределах до одного микрона, поэтому подавляющее количество волокон равноудалено друг от друга. От­ метим, что такая равноудаленность волокон является одним из важ­ нейших факторов для построения моделей структуры. В плоскости взаимное размещение центров волокон определяется двухмерной функцией распределения, поэтому другим таким фактором будет рас­ пределение углов между тремя смежными волокнами. Ступенчатая гистограмма на рис. 3 получена по результатам предыдущего опыта. По оси абсцисс отложены значения углов % между центрами трех смежных волокон, а по оси ординат — плотность вероятности. Наи­ большее число замеров падает на область %= 2л/6, соответствующую равным расстояниям между волокнами гексагональной структуры простейшего вида. Существенное число конфигураций, как видно из гистограммы, наблюдается также при %= 2л/7 и %= 2я/8. Отметим, что число конфигураций с % = 2л/4, соответствующей тетрагональ­ ной упаковке, весьма незначительно.

Рассмотрим геометрию простейших регулярных упаковок, когда элементарный объем содержит только одно волокно. Элементарная

обладают свойствами трансляционной симметрии, согласно которой при

15

*3

*

о■€V* /ф|

1. Структура, образованная косоугольной решеткой, при Ь ф 1 уГо, Ф л/2, называется моноклинной (рис. 4). Она обладает наимень­ шим числом плоскостей симметрии и порождает наибольшее среди рассматриваемых упаковок число независимых упругих постоянных для армированных сред, т. е. общий случай анизотропии.

2. Случай Ь Ф 1 и а = л/2 соответствует орторомбической струк­ туре (рис. 5). Другая, эквивалентная рассматриваемой по числу упругих постоянных упаковка получается при Ь = 1 и а Ф я/2, а ф л/3. Она называется центрированной орторомбической, и вмес­

и со2 (рис. 6). Введенные структуры соответствуют среде с ортотропной анизотропией.

ные направления в среде эквивалентны, и получается частный слу­ чай тела с ортотропной анизотропией (рис. 7).

версально-изотропной анизотропией с наименьшим числом сущест­ венно независимых упругих постоянных.

Определим предельное объемное содержание волокон в приведен­ ном элементе для двух последних структур. Относительное объемное

где Р = (0*651п а — площадь параллелограмма.

Наиболее плотная упаковка в волокнистой среде простой струк­ туры достигается при касании волокон сторон ячейки, когда Ь = 1 и 2а = ©!*,

больше, чем при тетрагональной упаковке. Отметим, что при равном ^ расстояния между волокнами в тетрагональной структуре почти на 10 % меньше, чем при гексагональной упаковке. Поэтому взаимо­ действие между волокнами при тетрагональной структуре будет наи­ большим по сравнению с другими упаковками армированной среды при фиксированном объемном содержании заполнителя.

В сложных структурах каждый приведенный элемент содержит несколько волокон различных или одинаковых диаметров (рис. 9). Взаимному расположению волокон в такой ячейке может соответст­ вовать определенная группа симметрии.

17

§ 2. ПРОДОЛЬНЫЙ с д в и г

Объем среды, удаленный от граничной поверхности или торцов волокон так, что возмущение в напряженном состоянии от них затух­ нет, будет находиться в двухмерном (плоском) напряженно-деформиро­ ванном состоянии. В этом случае принятое разделение состояний (см. рис. 1) будет строгим в пределах допущений, согласно которым на границах приведенного элемента могут быть заданы только осредненные компоненты тензора напряжений.

Рассмотрим случай, когда объем находится в состоянии чистого сдвига в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих параллельно волокнам, при действии касательных напряжений <т1а и ст13. Остальные напряжения положим равными нулю. Три уравнения равновесия (1.1) в любой точке матрицы или волокна сводятся к ра­ венствам

= иг. Касательные напряжения определяются через введенную функ­ цию согласно формуле

Здесь и везде в дальнейшем знаком «штрих» отмечается производная по аргументу; напряжения на наклонной площадке, нормаль к кото­

18

где (Ийв — производная по дуге 5, перпендикулярной к введенной нормали. При дифференцировании г используется равенство

Формулы (1.8) — (1.11) относятся к обоим компонентам волок­ нистой среды, поэтому индексы опущены.

В условиях совершенного контакта (1.6), выражая смещения и напряжения через функцию ср (г), получаем бесконечную систему функциональных уравнений

Фа (*) + Фа О) = ф (Т) + ф(г) (Т 65гап).

Ос [Фа (т) — ф„ <т)] = О [ф (т) — ф1т)1.

Уравнения записаны в локальной системе цилиндрических координат

Для замыкания системы уравнений необходимо задать средние на! - ряжения (о12>, <<т13) или средние углы сдвига <у12>, (?1з)-

Если расположение волокон произвольно, то решение задачи сводится к бесконечной системе уравнений, зависящих не только от упругих постоянных компонентов, но и от параметров структуры. С помощью ЭВМ можно получить численные данные для более простых конфигураций волокон. Однако наибольшую ценность представляют результаты в виде замкнутых аналитических выражений.

При двоякопериодическом размещении волокон возможны даль­ нейшие упрощения задачи, так как смежные объемы находятся в экви­ валентном напряженно-деформированном состоянии. Последнее тре­ бование сводится к условию двоякой периодичности напряжений в

Поставленная задача впервые была решена с помощью эллиптичес­ ких функций 111]. В дальнейшем она рассматривалась различными ме­ тодами [37,,.701.

Ниже предлагается новое решение, полученное на основе мето­ дов усреднения и учета взаимодействия многих тел [14, 21]. Из фор­

19

Составим удельную упругую энергию приведенного элемента среды. Используя формулу Стокса для преобразования интеграла и условия (1.8), получаем

\= | <о21((сг12) 51П а — <о,з>соз а),

2+ 0»

= — со, <а1Э>.

2

Поэтому энергию, согласно теореме об эквивалентных состояниях [21], представим в виде

Это соотношение назовем первым представлением упругой энергии. Учитывая плоскость симметрии для всей среды х±= сопз1, получаем линейные уравнения связи напряжений и деформаций для моноклин­ ной структуры (см. рис. 4):

<7,2) = ^ < а 12} + -Ь М стц),

( 1.20)

<Т1з) = ^ - ( ^ ) + ^ Г (а1з)

20