книги / Микромеханика композиционных материалов

эффективный коэффициент теплового рас­ ширения среды со сплошными сферическими включениями

<Р> = Р - ( Р - Р а ) с 'З^А + 40[^о+ (1 -0 А ]

(9.20)

Определим коэффициент теплового рас­ ширения среды с полыми сферическими включениями в том же приближении. Состояние во включении с радиусом полос­ ти А, будет

«? = — 2 ( \ - 2 ч а) В г - % +р„вг. и% = 0.

а; = — 2ЕаВ +

2О : - 2ЕЛВ ----- Л О.

Состояние прилегающего к включению участка матрицы

Составленные функции подчиняем условиям

о° = 0, г = Я,

а° = аг, = иг, г = а.

На внешней поверхности приведенного элемента полагаем равенство нулю средних напряжений на его границах. Опускаем простые, но громоздкие преобразования системы алгебраических уравнений; иско­ мый коэффициент теплового расширения преобразуем к виду

— 16^Аа0аб остальные обозначения известны ранее.

191

Изменение (р> при различных равных 0; 0,9; 0,95 и 0,98, для стеклопластика (характеристики его компонентов см. в § 2 этой гла­ вы) с ростом объемного содержания включений 5 показано на рис. 79 (соответственно кривые 1—4)\ кривые Г —4’ соответствуют компози­ ции эпоксидной матрицы с включениями шариков из алюминиевого сплава (Еа = 7,1-104 МПа; ча = 0,33; (5а = 2,6 • 10—51/° С) при ука­ занных размерах.

§ 4. ПОПЕРЕЧНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД

Рассмотрим материал с гексагональной или тетрагональной струк­ турой при наличии поперечного постоянного во времени теплового потока. Температура в каждой точке компонента материала будет гар­

лопроводности Фурье, поперечные компоненты вектора потока тепла -^2, <7з, направленные по одноименным осям координат, связаны с тем­

шенного контакта — равенство температуры и нормальных к межфаз­ ной поверхности составляющих вектора теплового потока:

где и — коэффициент теплопроводности.

Эти условия, выраженные через разрешающие функции, эквива­

Кроме указанных равенств, должен быть задан средний по ячейке тепловой поток. Эти условия, как легко видеть, аналогичны для разре­ шающих функций в задаче о продольном сдвиге (см. § 2 гл. 1), где сле­ дует заменить Оа ча, О -* к. Используя эту аналогию, непосред­ ственно составим формулы для эффективных коэффициентов теплопро­ водности армированной среды с двумя видами упаковок волокон. В большинстве случаев достаточно ограничиться вторым приближе­ нием, поэтому имеем

,) ф ( , _ ь' - ^ ^ р р . х

где

К 1 + Б + О —0 х / \ . 1 -С + (1 + & т л ;

192

ча и и — коэффициенты теплопроводности волокна и матрицы;

остальные обозначения известны.

Для материалов с полыми волокнами эффективные коэффициенты теплопроводности составляются аналогично выражению

Формула (9.24) построена с учетом отсутствия теплообмена через по­ лость в волокне; с ростом температуры в полости возникнет также кон­ вективный теплообмен циркулирующим воздухом, поэтому попереч­ ная теплопроводность возрастет.

Волокна бора имеют неоднородную поперечную теплопроводность, изменяющуюся по радиусу г от центра волокна. Для экспоненциаль­ ного закона роста или падения вдоль радиуса теплопроводности воло­ кон ка = х0еал, где х0 — теплопроводность подложки (сердцевины) волокна; а — положительный или отрицательный показатель неод­ нородности волокна; интегральный коэффициент поперечной тепло­ проводности для сред двух видовкупаковок определяется формулой (9.24). Здесь

х0 = аа; а — радиус волокна; вид и свойства функции Цт (х) рассмот­ рены в § 1 гл. 3.

Подобным образом устанавливается внутреннее температурное по­ ле в рассматриваемых структурах волокнистых материалов; основные формулы легко составляются по результатам гл. 1—4.

Высокое различие теплофизических характеристик компонентов приводит к мало совместимым композициям при наличии градиентов температурного поля. Это вызывает интенсивную концентрацию внут­ реннего температурного поля у межфазных границ. В качестве при­ мера мало совместимого композиционного материала при градиенте

торых близки к алюминию. Для сравнения проанализируем темпе­ ратурное поле и эффективные характеристики стеклопластиков

193

со сплошными и полыми волок­ нами. Полагаем, что полость является термоизолятором.

Распределение температу­ ры в микроструктуре ориен­ тированно армированного от­ дельными волокнами стекло­ пластика с матрицей из фе­ нольных смол при поперечном градиенте Температурного по­ ля вдоль оси Оха (92=й=0) пред­ ставлено на рис. 80 (5=0,324). Сплошные кривые характери­ зуют температурное поле в среде с гексагональной упа­ ковкой волокон, штриховые— тетрагональной. Значение раз­ ности температуры Т — Т0, где Т0 — средняя температура ячейки, отсчитывается по оси ординат; в центре волокна тем­ пература условно принимает­ ся равной нулю. По оси абс­ цисс в увеличенном масштабе

отложено расстояние от рассматриваемой точки до центра волокна. Меж­ фазная граница показана в виде четверти окружности большего ра­ диуса. Радиальные штрих-пунктирные прямые характеризуют рас­ пределение температуры в однородной анизотропной среде, теплофизи­ ческие характеристики которой эквивалентны эффективным характе­ ристикам данной армированной среды. Верхняя прямая построена для среды, теплопроводность которой равна эффективной поперечной теп­ лопроводности стеклопластика с полыми волокнами при коэффици­ енте капиллярности ц = 0,7; средняя — для 9 = 0,5; нижняя — для 9 = 0. Истинное распределение температуры в структуре для тех же 9 представлено соответственно кривыми 5, 3, 1.

Распределение температуры н а межфазной границе показано соот­ ветственно кривыми б, 4, 2. Здесь отсчет температуры ведется по ра­ диальному направлению от точки на границе волокно — матрица до кривой; масштаб отсчета приведен на рисунке. Некоторое искажение кривой вызвано влиянием смежных волокон. Как видно, для данного объемного содержания 5 роль упаковки мала; отклонение от распре­ деления температуры в однородном анизотропном теле может быть существенным в волокне.

На рис. 81 приведены данные расчетов распределения температу­ ры в структуре при 5 = 0,736. Видно более сильное влияние смежных волокон и вида упаковки на распределение температуры. Здесь обо­ значения соответствуют рис. 80. В точках сближения волокон наблю­ дается возмущение в температурном поле. Вычисления проведены при таких значениях теплофизических постоянных: ха/х = 3; Са/С5 =

194

= 0,51, где Са, С8 — удельные теплоемкости при постоянном давле­ нии волокон и матрицы.

$ Распределение температуры в композиции полимер — алюминиевые волокна, для которых ха/х = 634; Са1Са = 0,6, представлено кривыми на рис. 82 при С=0,736. Все обоз­ начения соответствуют рис. 80. Из рис. 82 следует, что вблизи меж­ фазной границы возникает высокий градиент температурного поля, при­ водящий к высокой концентрации поля. Для избежания путаницы в кривых данные для <7= 0,5 не на­ несены. Данные для кривых испы­ танного поля очень отличаются от данных для средних полей.

Введение теплопроводящих во­ локон резко повышает и интеграль­ ные характеристики теплопровод­ ности; на рис. 83 сплошные кривые указывают на изменение х2/х с рос­ том объемного содержания стекло­ волокон и волокон алюминия в по­ лимерной матрице при поперечном потоке тепла. Кривые 1—3 построе­ ны для стеклопластика при ц, рав­ ном 0; 0,5; 0,7; кривые 4 отражают эти значения для композиции с алю-

195

§ б. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Многокомпонентные (гибридные) материалы рассматриваются как совокупность в одной структуре волокон с различными физико-меха­ ническими свойствами. Необходимым условием для выявления эф­ фективных свойств таких материалов является полный набор всех сортов волокон в одной ячейке среды. Если микроструктура материала может быть получена двоякопериодической трансляцией данной ячей­ ки, то температурное поле и все характеристики при постоянном в пре­ делах ячейки поперечном продольном тепловом потоке устанавливаются или путем применения двоякопериодических функций, или, что более эффективно в данной задаче, методом последовательной регуляри­ зации. Для полых волокон необходимо сформулировать условия теп­ лообмена внутри полости. В структуре общего вида при решении по­ ставленной задачи существуют три интегральных коэффициента теп­ лопроводности — ха, *з и х23. Коэффициент продольной теплопровод­ ности редко применяется при расчетах конструкций и в первом при­ ближении определяется по закону простой смеси. Строгое опреде­ ление коэффициента продольной теплопроводности требует применения специального математического аппарата (см. гл. 13,14).

В материалах с простой регулярной структурой удается получить приближенные значения эффективных параметров, пренебрегая ос­ циллирующим взаимодействием между волокнами. Для сред со сплош­ ными волокнами

N

его объемное содержание. Эта формула согласуется с приближением для двухфазного материала (Ы = 1), которая дает удовлетворительное согласование с более точным решением при С = 0,7.

Эффективный коэффициент теплопроводности среды с полыми во­

196

Если средний по ячейке тепловой поток пренебрежимо мало из­ меняется в пределах нескольких смежных ячеек структуры среды, то с помощью эффективных коэффициентов теплопроводности устанавли­ вается распределение осредненной по ячейкам температуры по всей конструкции. Истинное распределение температуры в микроструктуре среды пропорционально осредненному по выбранной ячейке теплово­ му потоку Т — {ц) к (х2, *з), где функция к (хъ х3) определяет изме­ нение температуры в пределах ячейки в составляющих компонентах материала.

Если пренебречь перераспределением температуры во времени в пределах одной ячейки, т. е. полагать, что процессы теплообмена про­ ходят в ней за дифференциально малое время, то полученные результа­ ты могут быть распространены и для нестационарной теплопроводнос­ ти композиционных сред. Естественно, что время релаксации, в тече­ ние которого истинное распределение температуры во времени будет приближаться к указанной модельной схеме, остается неопределен­ ным. Отдельная задача возникает при действии высокоградиентного температурного поля, когда в пределах ячейки поток не постоянен.

Распределение во времени осредненной по ячейкам структуры температуры (Т ) при указанных ограничениях устанавливается урав­ нением теплопроводности

(9.27)

I »» У<Г)

’Г <с) (Р) дхйдх3 '

Здесь Ь— время; (с) и <р) — приведенные теплоемкость при постоян­ ном давлении и плотность композиционной среды. Последняя опре­ деляется законом смесей

Определить теплоемкость (с) при известных эффективных харак­ теристиках композиционных сред несложно, если пренебречь теплоем­ костью пространства в порах и трещинах. Эффективная теплопровод­ ность армированных сред со структурой общего вида определяется сим­ метричным тензором теплопроводности второго ранга. Поворотом осей координат вокруг оси Охх тензор приводится к главным осям, и число существенных компонентов тензора снижается до трех. В реальных структурах волокнистых материалов, получаемых методом свободной укладки, структуры близки к гексагональной, поэтому различие меж­ ду компонентами тензора поперечной теплопроводности весьма мало и можно принять ха ~ к3

В материалах, при формовании которых применяется технологи­ ческое давление, теплофизические характеристики зависят от упаков­ ки, определяемой поверхностью технологической оправки и давле-

197

нйем. Для этих случаев желателен структурный анализ материала при типовом технологическом процессе, чтобы установить преимуще­ ственную ориентацию элементов структуры и ее плотность.

На границе материала средняя температура должна быть подчине­ на соответствующим краевым условиям, однако вблизи края введение; приведенных коэффициентов теплопроводности, упругости и других неправомерно, поэтому необходимо исследование краевого (или кро­ мочного) эффекта с построением модели структуры края, характерного для заданного процесса изготовления материала.

§ 6. ПОПЕРЕЧНАЯ ДИФФУЗИЯ В ПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕДАХ

Пусть армированная среда находится в поперечном потоке моноэнергетических тепловых нейтронов; частицы движутся по прямой до столкновения их с ядром, после чего возможен как процесс погло­ щения частицы ядром, так и процесс рассеяния; эти процессы носят вероятностный характер [7]. Примем вероятность взаимодействия между частицами и ядрами среды в единице объема, равной макро­ скопическому поперечному сечению р = р0 + !■**• где р0 и р* — со­ ответственно сечения поглощения и рассеяния частиц. Введем обозна­ чения: И = р*/3р2 — коэффициент диффузии нейтронов; о — скорость распространения нейтронов; п — число частиц в единице объема про­ странства. Поток частиц Ф = пи согласно условию баланса моноэнергетических нейтронов определяется уравнением [7]

где <2 — число частиц, возникающих в единице объема пространства в единицу времени. В (9.28) используется предположение слабого из­ менения р и Ф на расстояниях порядка средней длины свободного про­ бега частиц. При этих предпосылках вектор потока 3 удовлетворяет закону Фика ^ — —й &гай Ф. Условия, при которых применимо урав­ нение (9.28), нарушаются вблизи межфазных границ; для уменьше­ ния погрешности вводится экстраполированная граница. Действи­ тельно, решение уравнения (9.28) дает лучшее приближение к точно­ му, если, например, на свободной границе тела (волокна) П потребо­ вать

Здесь п — вектор внутренней нормали к граничной поверхности. Отметим, что скорость распространения моиоэнергетических нейтро­ нов V сх. 2200 м/с; значения сечений поглощения и рассеяния частиц Ро и р* определены для большинства элементов Периодической си­ стемы Менделеева.

В случае установившейся стационарной диффузии поток моноэнергетических нейтронов в однородной среде определяется уравнением

(9.30)

198

при заданных условиях на границах. Пусть каждая ячейка армирован­ ной среды содержит одно волокно; координаты центра тп-го волокна определим формулой

где Ь ^ 1; а — угол решетки. В рассматриваемом приближении при­ нимаем непрерывными функции тока и потоки нейтронов вблизи меж­ фазных границ, поэтому

помещаем на отрицательной полуоси х2 на «бесконечности». Элемен­ тарные решения уравнения (9.30) имеют вид

е-кгХг-к 3Хь_ е-Агсо8(0-ф) _ 2 б‘Л(^-Ф)

п

Здесь к2 + 1к3 = ке1(р; <р — угол между направлением локального по­ тока и осью хг\ кг = р0Ю\ К (&) — модифицированная функция Бес­ селя первого рода п-то порядка, возрастающая на бесконечности. В соответствии с этим представлением полагаем, что общий поток ней­ тронов в матрице разделяется на набегающий и рассеянный потоки; поток, набегающий на включение, расположенное в начале декартовой системы координат, можно представить в виде разложения

где г, 0 — локальные полярные координаты в рассматриваемой ячей­

ке с началом в центре волокна; Коо— постоянные, зависящие от номе­ ра ячейки. Рассеянный включением поток ищем в виде затухающих на бесконечности решений уравнения (9.30)

Здесь Аоо — постоянные; К} (6г) — функция Макдональда, асимпто­ тическое поведение которой при удалении от включения будет

* / < * > - / 5 - « “ * + •••

Распределение поля в волокне найдено в виде

199

где

(9.36)

Здесь штрих обозначает производную по аргументу.

Из краевых условий на контуре г = я волокна согласно соотноше­

ниям (9.32) имеем Л^0 = — г7-Уоо. Пользуясь принципом суперпозиции, набегающий поток (9.33) представим в виде суммы рассеянных пото­ ков вида (9.34) от всех волокон, за исключением рассматриваемого:

части равенства, преобразуем с помощью теоремы сложения модифици­

т. е.^макроскопические свойства композиционной среды. Полагаем, что эти параметры изменяются по экспоненциальному закону при

200