книги / Микромеханика композиционных материалов

Потребуем, чтобы на участке г — ае1Ь% функция имела

аналитическое продолжение, что приводит к функциональному уравне­ нию

2 (Хтла"еый - Х тпа ^ ш ) = 0.

л > 0

Сравнение этого уравнения и (5.37) приводит к определению связи между коэффициентами разложения функций

Первая формула (5.35) — равенство смещений на участке совершен­ ного контакта — эквивалентна функциональному уравнению для вспомогательных функций

91

Для определения вспомогательных функций имеем систему функ­ циональных уравнений (5.40), (5.44), (5.46) и (5.47). Соотношение (5.46) определяет аналитическое продолжение комбинации вспомога­ тельных функций в интервале разреза; удовлетворяя последнему пре­ дельному условию (5.35), а также учитывая равенства (5.41) и (5.45), находим

Подставляем (5.50) в неоднородное уравнение (5.47) и сводим определе­ ние Х т (г) к решению неоднородной задачи сопряжения [531, которую решаем методом Карлемана [541:

92

Рп(соз -у ) — полином Лежандра первого рода л-го порядка [31]; 60=

=а ^ — угловая координата середины участка с совершенным

Для вычисления интеграла рассмотрим интеграл по замкнутому контуру, охватывающему дугу /. Согласно теории вычетов [29], имеем

где Кез (г) — вычет подынтегральной функции в точке г. Для опре­ деления вычета Нез(0) разлагаем функцию в ряд по степеням г, со­ храняя в разложении только главные члены:

Вычет Кез (оо) определяется главным членом с обратным знаком в разложении подынтегральной функции в ряд по большим т->оо:

93

Заменяем интеграл (5.53) функцией (5.57) и устанавливаем явную зависимость вспомогательной функции Хт (г) от параметров. Расклады­ ваем Х т (г) в ряд по степеням г и приравниваем коэффициенты при оди­ наковых степенях г согласно формуле (5.31). Это позволяет определить коэффициенты Ртп в явном виде и суммировать ряды при значениях аргумента г *= ае™ Если контур области образован кривой, описыва­ емой ортогональными криволинейными координатами, то решение строится путем конформного отображения рассматриваемой области на круг [53].

А

Г Л А В А 6

СРЕДЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Однородная матрица со сферическими включениями — простейшая модель дисперсного или обычного упрочненного композиционного ма­ териала. Если размеры включений не превышают доли микрона, то имеем дисперсно-упрочненный материал, а если превышают указанную величину, имеем материал с включениями, например твердосплавные композиции на основе металлов, керметы, строительные материалы, сферопластики и др.

В данной главе с помощью метода последовательной регуляриза­ ции получен в первом приближении полный комплект упругих посто­ янных сред со сплошными и полыми сферическими включениями.

§ 1. СТРУКТУРА СРЕДЫ

Реальные материалы имеют нерегулярное размещение частиц в пространстве, различные формы и размеры. Модельные структуры бу­ дем строить исходя из трансляционной и поворотной симметрии регу­ лярной среды с одинаковыми частицами. Распределение центров час­ тиц в пространстве представим в виде последовательности векторов пространственной решетки [67]. Простейшую структуру подобного типа образует бесконечный набор параллелепипедов, угловые точки которых определяются вектором

рон параллелепипеда; т , п, р — набор натуральных чисел; сой (к = = 1, 2, 3) — длины сторон параллелепипеда периодов. В более слож­ ных структурах около каждой угловой точки пространственной решет­ ки находится группа включений, что приводит к различным струк­ турам и группам симметрии [63].

Для построения теории эффективных модулей в первом приближе­ нии первостепенное значение имеют определение относительного объем­ ного наполнения среды частицами С, вид упаковки материала сфера­ ми и циклическая симметрия в его структуре. Первый и второй пара­ метры определяют в регулярной структуре взаимное расстояние меж-

95

ду границами частиц, что позволяет оценить степень их взаимодей­ ствия по затуханию функции; последний — симметрию в напряженном состоянии, необходимую при выборе вида функций, определяющих это состояние.

Наиболее простая кубическая решетка = о>3 = ш3 = ш пред­ ставляет собой куб (рис. 45), в углах которого размещены центры одинаковых шаров. Восьмая часть объема каждого шара в узле сетки входит в объем одной ячейки, поэтому на одну ячейку приходится всего один шар. При плотной упаковке шаров радиуса а предельное объем­ ное заполнение достигается, когда сферы касаются друг друга м = = 2а:

(6. 1)

Напряженное состояние в такой структуре будет обладать циклической симметрией в трех взаимно перпендикулярных плоскостях с углом периода а = я/4.

Если в кубическую структуру поместить еще одну сферу в центре куба (рис. 46), так что в одной ячейке будет уже два шара, то плотная упаковка достигается при касании шаров по диагоналям куба. Пре­

96

Рис. 47 Рис. 48

Такая структура называется объемно-центрированной кубической. Циклическая симметрия напряженного состояния в этой решетке бу­ дет определяться и наклоном плоскости симметрии, соответственно изменится угол периода.

Если на каждой грани куба в кубической структуре поместить до­ полнительно по одному шару, половина объема которых войдет в дан­ ную ячейку (рис. 47), то в выделенном объеме будет всего четыре вклю­ чения. Предельная упаковка достигается при условии

(4а)2 = 2(о2, а = <о .

Допустимое наибольшее объемное содержаниз включений

(6.3)

Эта структура называется гранецентрированной кубической. Локаль­ ная симметрия в напряженном состоянии в этой решетке определяется расположением ближайших соседей и эквивалентна таковой в простой кубической структуре.

В гексагональной плотной структуре основание ячейки образова­ но гексагональной сеткой; центры сфер в следующей плоскости сдви­ нуты так, что шары расположены между лежащими в нижней плос­ кости. Каждый шар имеет шесть ближайших соседей в основной плос­ кости ячейки (как в плоской структуре), другие шесть соседей рас­ положены по три — выше и ниже основной плоскости (рис. 48). Пре­ дельная степень упаковки материала достигается при касании шаров друг друга:

(6.4)

97

В этом случае симметрия на­ пряженного состояния характе­ ризуется углом я/3 в основной плоскости, т. е. будет испыты­ вать наиболее высокое измене­ ние при преобразованиях пово­ рота.

Сравнение перечисленных пространственных структур приводит к выводу о фундаменталь­ ной роли простой кубической и гексагональной плотной упако­ вок для оценок границ разбро­ са эффективных постоянных композиционных сред. В куби­ ческой решетке получается наи­ более низкое объемное заполне­ ние при максимальном сближении

включений, поэтому в такой структуре по аналогии с плоской решет­ кой будет более интенсивное, чем при других упаковках, взаимодействие между шарами при равном объемном содержании. В гексагональной плотной упаковке вследствие симметричного окружения напряжен­ ное состояние будет наиболее близким к симметричному относительно любых поворотов. Поэтому по первому приближению можно получить упругие постоянные, наиболее близкие по своему значению именно к. гексагональной плотной структуре. При высоких наполнениях сле­ дует ожидать существенного различия в значениях упругих постоян­ ных подобно тому, как это было выше для плоских структур.

Введем систему сферических координат г, 0, ср естественно свя­ занной с межфазной границей среды (рис. 49)

Разложение ортогональных единичных орт на сфере еГл еэ и ёф, направленных в сторону возрастания сферических координат, имеет вид

ег = е1соз 0 + е2з т 0 соз ф + е3з т 0 з т ф,

Для изотропных включений и матрицы в приближении однородно­ го взаимодействия полагаем, что окружающие включения образуют гексагональную плотную упаковку. В этой микроструктуре эффектив­

98

ные свойства не зависят от выбранного направления, поэтому в при­ нятом приближении направим ось хх так, чтобы напряженное^состояние не зависело от угла ср. Деформированное осесимметричное состоя­ ние в сферической системе координат определяется компонентами [47]

мированном состоянии сферы рассматривалась рядом авторов [50, 72], поэтому для удобств в дальнейшем без доказательств выписыва­

99

Общее напряженное состояние получается суммированием функций (6.12) по всем п. Компоненты вектора перемещения, убывающие .’ с удалением от начала координат, будут

Эти условия дополняются заданием напряжений или деформаций, характеризующих однородное взаимодействие включений.

100