книги / Микромеханика композиционных материалов

Используя макроскопические переменные, получаем представ­ ление для среднего по ячейке потока

Преобразуем по Лапласу начальное условие (9.70) и разложим функции в ряды по найденным двоякопериодическим функциям:

Полагаем в (9.79) *1= 0 и сравниваем найденное выражение с раз­ ложением (9.80); найдем

З и - С , * 2 &<МИ0з) + {Р1)]-

Переход к оригиналу совершается с помощью интеграла Римана — Меллина.

В случае слабо изменяющегося диффузионного поля заменяем суммирование в формуле для (?*_/ на интегрирование и с учетом ре­ зультатов § 7 получаем

(9.81) дает точное значение к в приближении слабо изменяющего­ ся поля вследствие 2,==0, ]Ф0. Если внезапно приложенный по­ ток в момент времени ? = 0 в плоскости *1 = 0 не зависит от про­ странственных переменных X и У, то в (9.81) следует принять

211

.4=0, Средний по ячейке поток в данном приближении определен первым членом ряда

(Ф) = с ^ - кх' т 0)+ (р 0)).

Краевые и начальные условия (9,70) после преобразования по Лапласу примут вид

<ф 0> = - 4 - ,

Р

* р—НхI

откуда (Ф) — —

Р

Оригинал функции потока найдем согласно формуле обращения Римана — Меллина

0—Гао

Для вычисления интеграла введем новую переменную

В новых переменных интеграл преобразуется к виду

Подынтегральная функция имеет простой полюс и точку ветвле­ ния в начале координат, поэтому контур интегрирования обходит указанные особенности вдоль вещественной оси (рис. 85). Соглас­ но теореме Коши о вычетах, находим

212

Г Л А В А 10

ТЕРМОГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Композиционные материалы в зависимости от физических свойств составляющих компонентов и условий на межфазных по­ верхностях можно разделить на диэлектрики, полупроводники, проводники и сверхпроводники. Наиболее распространенными ком­ позиционными диэлектриками являются стеклопластики; материа­ лы с волокнами углерода и бора могут быть проводниками и по­ лупроводниками. В практике возможно применение композиций смешанного типа, когда волокна — полупроводники, а матрица — металлический проводник.

Введение волокон в проводящую матрицу приводит к образо­ ванию среды с новыми физико-механическими свойствами вслед­ ствие контактных явлений; путем выбора состава волокон, измене­ ния их ориентации и объемного содержания можно управлять комплексом показателей физических свойств композиционных ма­ териалов. Представляет интерес рассмотреть в феноменологиче­ ском приближении теорию термоэлектрических и термогальваномагнитных явлений, с помощью которой можно установить прави­ ла усреднения кусочно-однородных сред, а также определить усред­ ненные уравнения переноса энергии. Особое значение имеет зави­ симость эффективных коэффициентов термоэлектрических и дру­ гих явлений от характеристик составляющих материал компонен­ тов, их объемного содержания, а также упаковки материала и де­ фектов типа трещин.

§ 1. ТЕРМОДИНАМИКА ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

В средах, обладающих термоэлектрическими эффектами, про­ текание постоянного электрического тока или градиент темпера­ туры вызывает соответственно тепловой поток или электрический ток. Термодинамически равновесное состояние среды при постоян­ ной температуре достигается для однородного электрического по­ тенциала

214

где Цо — химический потенциал частиц среды; <р — электрический потенциал. При наличии градиента температуры вектор полного

потока энергии V складывается из теплового <7 и потока р7 опре­ деляющего конвекцию электрохимического потенциала [67]:

~зг- -ЗГ + - З Г - - 3- у -

г

Подынтегральную функцию преобразуем с_учетом определения

вектора напряженности электрического поля <§ и условия постоян­ ства электрического тока

Здесь производится суммирование по т\ в соответствии с термо­ динамикой необратимых процессов обеспечиваются симметрия ки­ нетических коэффициентов аьт =атА , Скт=стк, а также равенство коэффициентов для побочных эффектов; кроме того, предполага­ ется, что магнитное поле отсутствует или кинетические коэффи­ циенты не зависят от магнитного поля. Из условия положительной определенности матрицы кинетических коэффициентов (10.5) выте­ кает, что ее диагональные элементы акт, Скт положительны, квад­ раты недиагональных членов меньше произведения соответству­ ющих диагональных членов и т. д. В линейной термодинамике необратимых процессов принято, что кинетические коэффициенты не зависят от градиентов температуры и электрохимического по­

тенциала.

В практике уравнение (10.5) используют с другими кинетическими коэффициентами

215

где к1к—компоненты тензора коэффициентов теплопроводности в от­ сутствие электрического тока; о1к — компоненты тензора коэффици­ ентов удельной электропроводности в отсутствие градиентов темпера­ туры; ам — компоненты тензора коэффициентов термоэлектродвижу­ щей силы; в общем случае ^ к^ а и .

Уравнения (10.5) в новых обозначениях примут вид

Здесь производится суммирование по одноименным индексам т и п . Другая форма уравнений вытекает при использовании тензора удель­ ного электрического сопротивления р1к:

В правой части (10.8) первый член представляет тепло, отводимое вследствие теплопроводности, второй — джоулево тепло, третий — тепло Томсона, четвертый — тепло Бриджмена [55].

В изотропной среде все компоненты тензоров кинетических коэф­ фициентов следует принять в виде А1к= Ад1к; в этом случае тепло Бриджмена исчезает.

При наличии магнитного поля в среде, когда кинетические коэф­ фициенты зависят от направления вектора магнитной напряженности

Я, условия симметрии Онзагера заменяются следующими:

Ч т (Н) = Т а тк (— Н).

216

Указанные условия, как и предыдущие, справедливы, если потоки ин­ вариантны относительно обращения отсчета времени; если один из по­ токов при изменении отсчета времени меняет свой знак, то условия симметрии заменяются на антисимметричные равенства относительно перестановки индексов.

Эквивалентное состояние композиционной и однородной анизо­ тропной сред выражается равенством скорости изменения удельной необратимой энтропии выделенного объема и однородной среды [21].

Средние по объему значения термодинамических сил и потоков будем отмечать угловыми скобками. Выпишем согласно уравнениям (10.4) и (10.5) основные представления для скорости изменения необратимой энтропии элементарного объема композиционной среды:

Здесь мы воспользовались представлением осредненных потоков

( к ) = Ьтк { - ± - ± ) + с кт{ ^ ~ ) . ТП

Везде в дальнейшем, если противное не оговорено, производится сум­ мирование по одноименным индексам. Эти соотношения эквивалентны следующим:

температуры в точке отклоняется от Т0 вследствие градиента темпера­ турного поля в этом объеме.

В дальнейшем будем полагать, что кинетические коэффициенты в формулах (10.10), (10.1 1 ) зависят только от средней температу­ ры 7 0, которая в пределах выделенного объема постоянна.

Рассмотрим представление скорости роста удельной необратимой

217

Для определения осредненных величин необходимо найти осредненные потоки и градиенты полей. В задаче об определении диссипа­ тивных характеристик композиционных сред осреднять необходимо сначала потоки; отметим, что в задачах об упругих свойствах сред последовательность усреднения не играла особой роли.

Для этой цели необходимо выразить из (10.11) средние термодина­ мические силы через потоки

< -3 ~ -г) = ^ т щ + и л

С помощью этих соотношений устанавливается связь средних пото­ ков с функциями, определяющими распределение полей в структуре композиционной среды; они дополняют систему уравнений, вытекаю­ щих из граничных и предельных условий задачи.

Интегральные значения кинетических коэффициентов находим приравниванием подобных членов скоростей роста энтропии (10.12) и

(10.14). В этом случае использование ранее рассмотренного способа, когда вводились усредненные величины под интеграл, приводит к более грубым оценкам, поэтому необходимо провести интегрирование по формуле (10.12)..

§ 2. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ВОЛОКНИСТЫХ СРЕДАХ

В линейно-армированной среде с изотропными и проводящими электрический ток компонентами электрохимический потенциал и температура удовлетворяют уравнению Лапласа, если пренебречь нестационарностью термоэлектрических процессов в пределах выде­

ленного объема, так что у 2Т = 0, у 2р = 0, <Ну / = 0, сНу <7 = 0.

Полагаем, что структура среды образована двоякопериодическим продолжением рассматриваемого объема; в среде. существуют только поперечные потоки; система координат ориентируется согласно рис. 1.

218

Вводим комплексную переменную г = х2 + 1х3; искомые функции в каждой точке среды ищем в виде суммы функций комплексной перемен­ ной, удовлетворяющих условиям периодичности поля и структуры, а также однородности поля вдоль волокон

Здесь функции, определяющие поле в матрице6, подчинены ограниче­ нию

к-то волокна. Из условий периодичности функций вытекают равенства

= 0.

Поле в /-м волокне определяем разложением

краевыми условиями на площадках контакта волокно — матрица и соотношениями усреднения (10.15).

Формулировка краевых условий определяется особенностями обмена через границу раздела фаз свободных носителей заряда, при­ надлежащих компонентам среды. Здесь для определенности рассмат­ риваются идеализированные условия термоэлектрического контакта. Другие граничные условия будут рассмотрены ниже. Условия не­ прерывного контакта требуют равенства температуры, потенциала,8

8 Э&есь не выделяется средняя часть электрохимического потенциала.

2 1 9

нормальных к границе контакта составляющих векторов плотности потока энергии и тока на N контурах 1у.

Т?(т)=Т~(т), Ц+(т) = Ц- (х), П-7;(т) = П-](х),

л-У,(т)= я-Т/(г), тб/у! / = 1,2.......N. (10.19)

где п — вектор нормали к межфазной границе.

Для изотропных компонентов определяющие уравнения (10.5) преобразуются к виду

1 ~ — о §гас! |Д.+ Тал §га<1 ^ ,

9 = —стегай ц+хГ2§га<1 ^ .

Последние два условия (10.19) с помощью этих уравнений выражаются через искомые потенциалы

где (1з — элемент дуги окружности. Выше мы полагали градиент тем­ пературы в пределах межфазной поверхности отдельного волокна малым; в дальнейшем пренебрегаем изменением кинетических пара­ метров от повышения температуры в ячейке из-за градиента. Исполь­ зуя выражения сил и потоков через комплексные потенциалы (10.16), приходим на основе краевых условий (10.19) к системе функцио­ нальных соотношений7

2ааТ0ф (т) + 2Т§хф (т) = Т„ (аа + оуау) ф; (г) + Т0(аа — аМ ) Ф/ (т)+

+ (ТоН + ТоХу) фу(т) + (Гох —Т?х7) фу(т).

7 Первых два уравнения не обязательны, но использование их приводит к бо­ лее простым выкладкам.

220