книги / Микромеханика композиционных материалов

Для нахождения условий, при которых ансамбль композиционных сред находится в эквивалентных упругих состояниях [14, 21], рассмот­ рим удельную упругую энергию выделенного объема

У ~ От> 2 ^ ®тп Ътпп&У' к=\Ук

Используя формулу Гаусса — Остроградского, преобразующую ин­ теграл по объему к интегралу по поверхности этого объема, а также уравнения равновесия (1.1), получаем

где суммирование проводится по одноименным индексам; с1[п — эле­

мент с нормалью п поверхности 5 0, ограничивающей объем V . Для сре­ ды с непрерывными заполнителями, например волокнистыми, необ­ ходимо учесть разность в смещениях на границах контакта компонен­ тов (см. (1.35)). Для определенности рассмотрим матричный матери­ ал, когда поверхность 5 0 проходит полностью в матрице. При выводе формулы (5.2) предполагается отсутствие сосредоточенных и других воздействий внутри компонентов и на границе между ними, поэтому интегралы по внутренним межфазным поверхностям вследствие ус­ ловий контакта взаимоуничтожаются.

Условие троякой периодичности напряженного состояния среды требует трансляционной симметрии от компонентов тензора напряже­

при однородном усредненном напряженном состоянии.

81

Преобразуем интеграл энергии (5.2) по граням выделенного парал­ лелепипеда; на сторонах х1 = сопз! получим

[ Оц (X, + и ,; х2\ х 3) « , (XI + <0,; дгг; х3) йхгйх3 —

Здесь использовались условия трансляционной симметрии (5.3) и (5.4). Если приращения смещений заменить на разность усредненных ве­ личин, то последнее выражение преобразуется к виду

где принято следующее определение усредненных напряжений!

Здесь Зк — площадь грани усреднения.

Щ\ Для установления эквивалентного представления энергии условия трансляционной симметрии (5.4) и соотношения (5.5) будут удовлет­ ворены однородными смещениями вида

Общее представление энергии (5.2) разбивается согласно равенствам (5.6) на сумму состояний

82

Подставляя сюда вместо средних смещений их выражения по (5.9), получаем первое представление энергии

(5.10)

Как видно, строгое в пределах принятых предпосылок представ­ ление энергии в виде произведения осредненных напряжений и дефор­ маций (5.10) получается только для троякопериодических структур при выполнении принятых условий усреднения. Этим и определяется усло­ вие эквивалентного состояния однородной и композиционной сред. Чтобы установить второе представление энергии, рассмотрим общие соотношения упругости для усредненных компонентов состояния. Форму записи закона упругости принимаем с такими техническими постоянными:

+ ^ <0,3> + "3^7^

Коэффициенты, расположенные симметрично главной диагонали’ равны между собой вследствие ограничений на вид упругого потен: циала, поэтому

83

Из общего числа упругих постоянных согласно равенства (5.12) суще­ ственно независимых остается только 21. Второе представление энер­ гии будет

Другая форма записи второго представления энергии получается при замене напряжений через деформации в формуле (5.10) согласно систе­ ме (5.11).

Таким образом, однородная и композиционная среды будут нахо­ диться в эквивалентном состоянии в случае равенства усредненных компонентов напряженно-деформированного состояния, а удельная упругая энергия может быть представлена в виде произведения обоб­ щенных сил на перемещения (5.10).

§ 2. МЕТОД УЧЕТА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МНОГИХ ТЕЛ

Фундаментальная задача механики композиционных сред в целом сводится к краевым задачам математической физики для некоторой совокупности тел, например включений, взаимодействующих с мат­ рицей и между собой. В целом не существует строгого решения задачи для нескольких областей с учетом их взаимодействия. Наиболее прос­ той и очевидный метод сведения данной задачи к исследованию не­ скольких систем бесконечных алгебраических уравнений может быть реализован только численно. Так как системы уравнений надо на каком-то члене обрывать, то это сказывается на величине получае­ мой погрешности. Если число включений велико, а поле напряжений имеет сингулярные точки, то строгий учет их взаимодействия стано-

84

вится малодоступным и для численных методов. Предложенный метод основан на анализе поведения поля напряжений в периодических си­

В данном методе задача о взаимодействии многих тел сведена к решению последовательности краевых задач для усложняющихся об­ ластей [14].

Выделим в неограниченной среде поверхностью 50 объем V^, со­ стоящий из одного включения и участка матрицы3 (рис. 43). Начало координат располагаем в центре тяжести включения или объема. Вво­ дим допущение: структура оставшейся части среды получена двоякоили троякопериодической трансляцией обмена V. Благодаря этому последний находится в поле с заданной симметрией. В системах с ре­ гулярной структурой группа симметрии известна; при нерегулярном расположении включений полагаем, что в первом приближении окру­ жающая данный объем упаковка имеет гексагональную структуру с наивысшей группой симметрии. Допуская существование потенциала взаимодействия или разрешающей функции V, последние строим в виде последовательности V = + IIо + 1^1 + •••> где I/«, — потенци­ альные функции поля на «бесконечности», когда отсутствует взаимодей­ ствие между включениями; — приближение однородного взаимо­ действия между включениями; — приближение однородного поля для объема с усложненной структурой, в котором учтены ближайшие к рассматриваемому включения с учетом их симметрии, т. е. в первую очередь включения, обеспечивающие более высокую симметрию, и т. д. Схема построения потенциала взаимодействия в третьем прибли­ жении представлена на рис. 43.

Если энергия взаимодействия включений не превышает энергию однородного решения, то второе приближение строится путем пере­ распределения поля между приведенными элементами на основе дан­ ных, полученных в первом приближении, когда включения взаимодей-

8 Для наглядности рассматривается плоская структура композиционной среды.

85

откуют только с помощью однородного поля. Отличие этого метода от других даже в первом приближении заключается в том, что решение строится сразу для суммы потенциалов + и о- Это позволяет уже в первом приближении получить результаты, превышающие по своей точности решения, построенные без учета добавки ^/0. Преимущество этого метода наиболее ярко проявилось в приведенной выше (см. гл. 1) задаче о продольном сдвиге, когда удалось в явном виде учесть влия­ ние упаковки материала на его модули и внутреннее поле напряжений.

§ 3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Данный метод построен на основе теоремы об эквивалентных со­ стояниях и рассмотренного выше метода учета взаимодействия многих тел. В методе используются предпосылки, детально рассмотренные в частной задаче о продольном сдвиге (см. § 2 гл. 1). В этом параграфе рассмотрим случай пространственного напряженного состояния.

Пусть в объеме V неограниченной среды содержится N включений. Выделим приведенный элемент с объемом V = г/М, содержащий внут­ ри себя одно включение.

В первом приближении выделенный элемент помещаем в поле од­ нородных неизвестных напряжений матрицы. Решаем краевую за­

дачу о напряженно-деформированном состоянии включения в беско­

нечной матрице при заданных «на бесконечности» напряжениях а%. Пусть напряжения и смещения в матрице при наличии включения бу­ дут

решения поставленной краевой задачи. Это решение будем называть также приближением с однородным взаимодействием элементов. На­ копленная энергия согласно равенствам (5.2) и (5.10)

где 5 0 ограничивает выделенный объем с сохранением относительного

ляет ячейку троякопериодической композиционной среды, внешнее поле слабо изменяется в пределах ячейки, поэтому средние смещения определяются строго формулами (5.9). Дальнейшие преобразования

86

поэтому, заменяя напряжения под интегралом их разложением (5.14), получаем

Решение системы алгебраических уравнений (5.17) определяет напряжения взаимодействия включений в первом приближении через

Для определения упругих постоянных выразим интеграл (5.15) через средние напряжения путем замены под интегралом а1п на сред­ ние (сг,л) и подстановкой вместо смещений и1 в правую часть формулы (5.20):

Сравнивая полученное выражение с (5.21), находим искомые компонен­ ты тензора упругой податливости в первом приближении:

87

Чтобы найти непосредственно упругие модули в первом прибли­ жении, заменим в подынтегральном выражении напряжения а1п на

и смещения иг заменим согласно формуле (5.14):

где постоянные 1/зт.т определены формулой (5.22). Приравнивая пра­ вую часть (5.25) первому представлению энергии (5.15), приходим к системе алгебраических уравнений

2 У5т 1П^%п = (б^п)»

Преобразуем интеграл потенциальной энергии (5.15), заменяя в нем напряжения по формуле (5.27), а смещения и1 — согласно выражению (5.16):

Здесь постоянные В^зт определены формулой (5.18). Если выразить напряжения через деформации в (5.11), получим

где Ецр* — компоненты тензора модулей упругости, симметричные относительно перестановок пары индексов и внутри пар. Используя второе представление энергии, определенное через деформации, и сравнивая результаты с (5.28), находим явное выражение модулей уп­ ругости в первом приближении

В подавляющем большинстве случаев при рассмотрении несиммет­ ричных включений найти податливость более просто, поэтому первый

88

чающую данный и ближайшие соседние элементы. Для нерегулярных структур необходимо рассмотреть все существенно различные конфи­ гурации. Найденное приращение энергии А приведенного элемента ведет к росту модулей, или падению податливости согласно формулам

§ 4. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ

Метод вспомогательных функций разработан [24, 27) для решения задач со смешанными краевыми условиями, когда разрешающие функ­ ции находятся путем разделения переменных и не являются аналити­ ческими функциями комплексной переменной. Метод распространяет наиболее эффективные средства теории функций комплексной пере­ менной на задачи, решаемые способом разделения переменных. Это по­ зволяет найти в явном виде коэффициенты разложения искомых функ­ ций в ряды при наличии особых точек в интервале разложения и полу­ чить в замкнутом виде решение задачи вблизи особых точек.

В ряде случаев решение задач со смешанными краевыми усло­ виями по данному способу менее громоздкое, чем при использова­ нии интегралов Коши. Сущность метода проследим на примере ре­ шения краевой задачи со смешанными условиями применительно к продольному сдвигу одного анизотропного волокна с неограничен­ ной изотропной матрицей при неполном контакте компонентов на участке межфазной границы.

Пусть волокно имеет изотропную сердцевину, рубашку с цилинд­ рической анизотропией общего вида и на внешней границе произ­ вольно расположенную трещину, моделируемую как математиче­ ский разрез бесконечно малой ширины. Обозначим радиус сердце­ вины е, волокна а, координаты точек Ь и а — начала и конца

участка совершенного контакта фаз ае1°ь и ае1<>а Постановка крае­ вой задачи в цилиндрической системе координат г, Ф (рис. 44) сле­ дующая:

дг2 + Т ~ д Г +

хд*и

89

сдвига сердцевины волокна, матрицы и рубашки волокна.

Задача решается методом разделения переменных в виде степен­

Суть метода заключается в выборе таких вспомогательных функций комплексного переменного X (г) и аналитических в такой области, чтобы можно было согласовать функциональные уравнения, вытекаю­ щие из соотношений (5.34) и (5.35). В данном случае выбор функции облегчается канонической областью (круглое сечение волокна) и прос­ тым видом функциональных уравнений (5.37). Введем функцию X (г), определенную внутри и вне круга:

л>0

(5.38)

*™<г>=2 М^Г’ и>а-

я>0

90