книги / Микромеханика композиционных материалов

[*-™+ - $ [ V- »Г- К м ^ *■-«] - °-

оа < « - < о ь; тег,

(Т) — к т (т)]+ + [Х т (т) - Ут(т)]“ = !т (т), # а < О < » „ ; т 6 /,

где Со = Оов*',

/» © = V (1- пх0уп) (Лтпт" +Атл ;

Л > 0

Решение системы (8.60) строится по аналогии с полученным в гл. 5:

остальные обозначения соответствуют ранее введенным. Вспомога­

тельная функция У (г) является разрешающей согласно ит = Ут (г) + + Ут (г). Функция Х т (г) определяет только коэффициенты разложе­ ния перемещений в волокне согласно (8.58) и (8.59).

Для построения строгого решения следует удерживать ряд последую­ щих членов Атп для различных т. Построение решения методом сшив­ ки функции рассмотрено выше.

161

Формулы для эффективных упругих постоянных в первом прибли­ жении найдены в виде

Остальные обозначения соответствуют ранее введенным. Из сравнения формул (8.33) и (8.61) следует, что 0* играет роль приведенного модуля сдвига неоднородного волокна. Если в ячейке п волокон из имеющихся N имеют межфазные одинаковые по размерам и ориентации тре­ щины, то приближенное значение упругих постоянных по аналогии с формулой (8.41) будет

Здесь Р - Е - у •

Для среды со структурой общего вида с N волокнами, когда п одинаковых по размерам и расположению дуговых трещин радиусом а0находятся в матрице, приближенные формулы для модулей стро­ ятся аналогично соотношениям (8.53):

162

предельное состояние, связывающее критические средние напряжения с параметрами структуры рассматриваемой среды, непосредственно определяется формулой (8.30) при подстановке конкретных значений упругой податливости.

Рассмотрим влияние анизотропии волокон на эффективные харак­ теристики и особенность напряженного состояния у кончика трещины. Постановка этой задачи, краевые условия и разрешающие функции приведены в виде формул (5.32)—(5.35). Искомое решение — (5.36). Коэффициенты разложения Ртп связаны с коэффициентамиразложе­ ния вспомогательной функции X (г) формулой (5,39). Функция X (г) определена соотношением (5.53), раскладывая которое в ряд по сте­ пеням а, находим коэффициенты Ртп

материала с трещинами и волокнами, обладающими цилиндрической анизотропией:

дуля для волокон с цилиндрической анизотропией общего вида и изотропным включением малого радиуса е а. Напряжения у кон­ ца симметрично расположенной трещины при действии (а1а) определя­ ются рядом

251П -5 т

рК т (* * ё т )'

Здесь р — расстояние от конца трещины; КтГ($0, §т) — функция па­ раметров структуры, устанавливаемая решениями (5.36). Как видно, в этом случае напряженное состояние у конца трещины имеет клас­ сическую особенность.

§ 7. ПРОДОЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ

В задаче о продольном растяжении основной интерес представляют напряжения между волокнами и матрицей вблизи концов разорван­ ных волокон. Двухмерный анализ состояния позволяет выявить влия-

163

яие разности коэффициентов Пуассона на локальное распределение напряжений вблизи трещины.

Пусть двоякопериодическая простая структура находится в со­

однородное растяжение вдоль ориентации волокон без учета взаимо­ действия компонентов, так что плоскости = сопз! не искривлены в процессе деформирования, и плоское состояние для заданной разнос­ ти смещений на поверхностях контакта. Разность смещений обусловле­ на различием поперечных эффектов в первом состоянии.

Решение задачи для первого состояния определено соотношениями (1.33); второе состояние выражается через комплексные потенциалы

где Ап, Вп — коэффициенты разложения соответствующих функций

Пусть связь на участке г 6 е0между волокном и матрицей ослабле­ на трещиной, расположенной симметрично4 #„/2 < Краевые усло­ вия на межфазной границе примут вид

(“г + ш„)+ —уаг<е,) = (и2+ 1'Иэ)- —V? (г,).

Здесь учтены смещения, вносимые компонентами при их растяжений без учета взаимодействия согласно формулам = х1 <вх >; и2 + ш3 = = — (е!>. Условие (8.64) преобразуем к уравнению относительно производных по $

В соответствии с условиями аналитического продолжения функ­ ций и их связи с напряжениями и смещениями граничные уравнения (8.63) и (8.64) преобразуются к функциональным соотношениям. Для этого представим искомые функции интегралами Коши:

Краевое условие (8.65) запишется через искомые функции в виде

[К.Ф. (т) - Са/СФ (т)]+ + [Фа (т) - хОа/ОФ(т)Г = 20аК - V)(0,).

Если воспользоваться формулами Сохоцкого—Племеля для инте­ грала Коши, то это выражение приводит к интегральному уравнению

165

Однородное решение уравнения (8.68) выражается через функцию Племеля

166.

Разложение подынтегральной функции при &-»-0 имеет вид

Кез(2> = 775)

Стягивая контур I к берегам разреза и используя равенство

у - (т) = —р,+ (т), получаем искомый интеграл

ь Ь (« • 4 + * ” 4 - ! + т ^ т ) •

Коэффициенты полинома Я (г) находим с учетом равенств (8.62), раз­ лагая функцию Фа (г) по степеням г. Отсюда Не60 = Ь0,

167

Последнее условие для определения Ь0, Г0 следует из равенства нулю главных членов в разложении напряжений на внешней границе при­ веденного элемента (1.37). Это приводит к недостающим связям между

постоянными Не Ь0 = —

Средние нормальные напряжения на плоскости х1 = сопз* полу­ чаем осреднением напряжений, найденных без учета взаимодействия волокон с матрицей, и напряжений при плоском деформированном состоянии

и (1.39) совпадают. Когда контакт между волокном и матрицей отсут­ ствует #о = 2л, ц = 0, третий член в (8.77) пропадает.

Поперечный эффект находим исходя из основного предположения

Для среды с простейшей структурой и симметрично расположенной трещиной, учитывая плоскости физической и геометрической симмет­

где контур Ь, — параллелограмм периодов решетки.

168

Разбивая I. по сторонам параллелограмма (см. (1.16)), получаем

Аналогично выводится формула для суммы нормальных удлинений;

— у ф К“г — 1иг) * — (“з + 1’«э) = —2 (8,) (у21 —■УМ). (8.81)

Деформируя контур Ь в окружность равновеликого круга, непо­ средственно путем несложных операций находим систему уравнений для определения эффектов Пуассона:

(8.83) согласуется с формулой (1.40); если контакт волокна с матри­ цей полностью отсутствует, то <7= 0, и поперечный эффект равен ко­ эффициенту Пуассона матрицы.

Определим концентрацию напряжений около концов трещины. Формулы для напряжений преобразуем с учетом связи между потен­

где р — расстояние от конца трещины.

169

Когда р 0, напряжения осциллируют с возрастающей ампли­ тудой, что является ее недостатком [84]. Указанный эффект исчезнет, если напряжения рассматривать вблизи межфазной границы, когда трещина расположена в одной фазе.

Действительно, при Оа = О, иа = к, (5 = 0 осцилляции исчезают; формула в этом случае имеет классическую особенность вблизи кон­ цов' разреза.

Представляет интерес среда, в волокнах которой есть несколько трещин на межфазной границе.

Пусть волокно в среде имеет две симметрично расположенные оди­ наковые межфазные трещины, координаты начала и конца которых

Решение задачи строится п добно рассмотренному выше. В при­ ближении однородного взаимодействия разрешающие функции имеют вид

Постоянные определяются из аналогичных уравнений, в которых пара­ метр' </ заменяется на

Упругие постоянные для среды

,« О - 0 ( т а - т ) 3 0?.

Рассмотренная модель представляет интерес для исследования разру­ шения материалов после предварительного нагружения растяжением линейно-армированного слоя перпендикулярно к ориентации воло­ кон. Методом индукции можно показать, что в случае симметрично расположенных п трещин указанные формулы сохраняют вид

170