книги / Микромеханика композиционных материалов

Составим условия в среднем для введенных функций согласно фор­ мулам (10.15) применительно к поперечнымтепловым потокам в волок­ нистых средах:

щью теоремы Стокса преобразованы в криволинейные интегралы по

/=1

гая группа соотношений вытекает из условия усреднения поперечных потоков

Формулу для скорости возрастания необратимой энтропии элемен­ тарного объема (10.12) преобразуем с учетом комплексных соотношений

и - ч , = - ъ % - + ъ*«Гз-$г(т)>

поэтому искомое представление будет

В .качестве примера рассмотрим в приближении однородного взаи­ модействия решение задачи для двухкомпонентной волокнистой среды (Ы — 1) с простой гексагональной укладкой волокон. Из условия сим­ метрии вытекают равенства К22=кзз> 022= 022, а22а2з = 0ззазз, кото-

221

рые можно получить непосредственно из решения задачи; в при­ ближении однородного взаимодействия следует принять

(г) = Ахг, (г) = А3г 4 Аь-р ,

(10.25)

где индексом а отмечены величины, относящиеся к волокну; условия в среднем (10.22) и (10.23) приводят к следующей паре уравнений:

+ (1 - О + (1 - о огяЛ* = у ^2 - ад.

(10.26)

Решение системы алгебраических уравнений относительно неиз­ вестных А к, вытекающих из краевых условий (10.21), с учетом ра­ венств (10.26) имеет вид

Ак —сек1 (/, 1*/\) -{- сх/,2 (<7г *?э). ^ 1, 2 ,3,4,

х*=(1 + Е К + 0 - 0 * -

222

Деформируем внешний контур выделенного элемента в равновеликую окружность; интегрированием по (10.24) с учетом (10.14) находим не­ обратимую удельную энтропию выделенного объема и связь кинети­ ческих коэффициентов с параметрами структуры:

Ш (йт) + (Я ь)От) + Укт0ьХ/т> =

^ [<№ (АА "Ь А А) "Ь иаТо-АА -^г- АА1 + 4 (1 —0 оп [(1 +

+ ?) (А А + А А) + СИ!А + А А — А А — А А —А А —ААИ+

(10.28)

где С— объемное содержание волокон; остальные обозначения соот­ ветствуют приведенным выше.

Явное выражение кинетических коэффициентов получается заме­ ной в правой части (10.28) значений А к по формулам (10.27) и прирав­ ниванием подобных членов. Формулы выписываются без каких-либо затруднений, но имеют громоздкий вид, поэтому здесь не приводятся.

Рассмотрим частные случаи: 1) аа= а = 0, а = ай; 2) аа= а =0,

к = кс; 3) оа = о = 0, х = ха.

Согласно (10.28) получаем три идентичные зависимости эффектив­ ных характеристик волокнистой среды при поперечном потоке от со­ ставляющих компонентов при отсутствии связанных явлений:

т. е. равенство (10.29) определяют в первом приближении интеграль­ ные коэффициенты теплопроводности, электропроводности и термоЭДС при отсутствии связанности полей. Из структуры решения и вида формул (10.27) следует, что при отсутствии того или иного макроско­ пического поля в композиционной среде протекают самоуравновешенные токи или потоки. Согласно термодинамическим соотношениям параметр х22 = х33 определяет эффективную поперечную теплопровод­

ность материала при отсутствии внешнего (интегрального) электри­ ческого тока; аналогично определяются и другие кинетические коэф-

223

фициенты. Уравнения полей в волокнистой среде можно представить в виде

Здесь Г и ял — макроскопические переменные.

Внутреннее поле в среде определяется локальными функциями ф(г) и ф (г). Учет влияния упаковки структуры проводится аналогично ранее рассмотренным задачам в гл. 1 и 2; решение за­ дачи в последующих приближениях строится достаточно просто, но имеет громоздкий вид. Отметим, что симметрия кинетических коэффициентов 7Цк = Ккг, бгк— (Укг в композиционных средах с изот­ ропными компонентами соблюдается без явного привлечения прин­ ципа симметрии Онзагера.

Учет влияния кинетических коэффициентов от макроскопической температуры определяется аналитической зависимостью термоэлектри­ ческих параметров каждой компоненты среды от температуры и объ­ емного их содержания согласно установленным формулам.

§ 3. ПОПЕРЕЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ

ВСРЕДЕ С ТРЕЩИНАМИ

Влинейно-армированных средах с непрерывными волокнами к числу типовых дефектов следует отнести отслоение компонентов среды. Если нарушения связи между компонентами материала имеют вид узких трещин, вытянутых вдоль волокон, то при изучении поперечных по­ токов тепла или электричества указанные дефекты в первом прибли­ жении следует принять в виде непрерывных разрезов — трещин вдоль волокон, что позволяет использовать методы теории функций комп­ лексной переменной. Нарушение сплошности материала и контактные явления на межфазной границе изменяют интегральные значения тер­ моэлектрических параметров, что дает возможность оценить дефектное состояние армированного материала.

Пусть в неограниченной волокнистой среде заданы градиенты тем­ пературного поля и электрохимического потенциала. Распределение внутренних полей зададим комплексными потенциалами в соответ­ ствии с формулами (10.14); примем, что элементарный объем армиро­ ванной среды содержит N волокон, обладающих различными термо­ электрическими свойствами; матрица представляет собой однородный изотропный материал. Краевые условия на площадках совершенного контакта компонентов сводятся к равенству температуры, потенциала, нормальных составляющих плотности электрического тока и потока энергии согласно функциональным уравнениям (10.20). На участках с несовершенным контактом (т € 10) возможно возникновение туннель­ ных и других эффектов. Для контакта волокно—полупроводник—про­ водящая металлическая матрица всегда существует барьер, обуслов­

224

ленный состоянием контактирующих поверхностей. В системе волок­ но—диэлектрический зазор (трещина)—проводящая матрица возни­ кают сложные контактные явления, искажающие вольт-амперные ха­ рактеристики композиционных материалов. В предельном случае широких зазоров ток и температура претерпевают разрыв, поэтому, полагая высоту барьера бесконечной в местах нарушения сплошности, приходим к условию равенства нулю нормальных к границе составля­ ющих векторов плотности тока и потока энергии

— о (л"§гай) р + Т0ок (п егас1) у- = 0, т 6 /0»

(10.30)

— ал (л §гас!) р + Т\у. (п §габ) у - = 0.

Краевые условия и условия двоякой периодичности полей дополняем соотношениями (10.21) и (10.22) для средних значений. Когда зада­ ются другие характеристики наблюдаемых величин, то они преобра­ зуются в соответствии с первым представлением скорости энтропии

( 10. 11).

Выделим приведенный элемент, включающий некоторую область прилегающей к волокну матрицы и волокно. Функции, определяющие поле в матрице, ищем в виде суммы функций

где о); (г) и (г) определяют поле вблизи поверхности волокна, а функции фо (г) и фо (г) задаются в виде рядов (10.15) и удовлетворяют условиям трансляционной симметрии поля. Введенные функции долж­ ны быть сшиты на границе контакта приведенного элемента с окружаю­ щей средой, т. е. заданы условия непрерывности функций и их про­

изводной.

Используя условия апериодичности С'функций, нетрудно соста­ вить алгоритм решения поставленной задачи; практическое осуще­ ствление этой программы очень громоздко. Более простым является метод последовательной регуляризации, изложенный выше.

Рассмотрим для определенности случай среды с несложной струк­ турой, когда волокна имеют несовершенную связь с матрицей. Тем­ пературное поле представим согласно формуле (10.14) в виде суммы функций

где г, О' — локальная система цилиндрических координат с началом на оси волокна.

225

Функцию и (г, Ф) для матрицы представим в виде суммы решений

л=1

Здесь — комплексные коэффициенты; а — радиус волокна. Температурное поле в волокне представим аналогичным разложе­

нием

я = 1

Электрохимический потенциал в матрице

л=1

потенциал волокна

Задачу решаем методом вспомогательных функций; введем согласован­ ную с решениями (10.31)—(10.34) систему функций

л > 0

226

Введенные функции для изотропных однородных компонентов сов­ падают с разрешающими функциями комплексного переменного.

В полярной системе координат радиальные составляющие векторов потоков

Удовлетворяя этим условиям, приходим к системе функциональных, уравнений

Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что равенства (10.38) будут удовлетворены, если справедливы соотношения

*.Ю-Х.(-т)- у а(г) = ? а ( ^ ) , Х(г) = х(^). У(г)= У(4).

227

Решение остальных функциональных уравнений строится с учетом свойств функции

а° ~ (оо+ оНно+ х)-Г„(стА + оа)> :

228

+(9 — °4 ) То( х „ а а — х о аа а) б (а а1.)- 1 ;

® 1 = 9 — “ 1 — (9 — « 1 ) К (а 0а 0 + а а ) — х „ — х ) 1 Г ‘б —

Остальные обозначения соответствуют введенным ранее. Запишем условия усреднения для введенных функций:

При вычислении интегралов полезно воспользоваться разложением функции V (г) в степенные ряды согласно (10.27). Простые преобра­ зования дают

229

Результаты интегрирования функций У (г) и Уа (г) следуют из при­ веденных формул при заменах в правых частях с^-^соо, о^-^ад,

Я - + — 8-

Система уравнений, устанавливающая связи между параметрами § и Я и средними потоками, непосредственно получается из уравнений (10.44):

Здесь учтена связь между постоянными (10.41); параметры А<$у В<$у Сор, Оар зависят от термоэлектрических характеристик компонентов, их объемного содержания, а также размеров и ориентации трещин, определяемых углами Ф0 и 0, и имеют громоздкий вид, поэтому здесь

они не выписываются в явной форме.

Уравнения для определения кинетических коэффициентов выте­ кают из соотношений (10.12), (10.14), (10.24) и (10.35):

Более простые, но менее строгие формулы для определения кинети­ ческих коэффициентов могут быть получены при замене в формуле ско­ рости роста необратимой энтропии (10. 12) распределенных потоков на

их усредненные значения. Для этого приближения уравнения (10.47) упрощаются, двойные интегралы преобразуются в криволинейные ра­ нее вычисленные интегралы (10.45), поэтому

230