книги / Микромеханика композиционных материалов

и =

.

*+<*!

03) йг + (<г3 — о2 +

Ке

^

[ ( « 2

+

ш3) *— («, +

*ВзЬ+«.,] [ ( ^ 2

+

*

.

2+в,

+

2ш23)

+

Ке т

т [ [(«2 +

Шз)г+Ш1 — («2 +

Ш3)2] [(а2 + 0Э) е й

+

+ ( ®

3 ~ ° 2 + 2 й г*з) & ]

=

4 ~ < а 2> <®2>

+

- у (° э )(е э )

+

4 " <<Т2Э> (?» > •

(1.45)

имеем

(е,) =

2„ (о,) +

г12 <о2> +

2,3 (<Тз> +

2,3 <стм),

(е2) =

г2, (®„> +

г22 (ст2) +

(а3) +

г2в <агз>.

(1.46)

(%) =

г3, (а,) +

232<а2> +

г33 <03> +

г*, (ам),

(Тгэ) =

г„ (сг,) +

г«2 <0г) +

г03 (°з) +

г» (о23) .

Между введенными параметрами г1к =

и техническими постоян­

ными существуют связи

212=

“

М2

_

УЫ —

у 2

--------- *212И»

213= —

У31 _

— Vз1211,

12

___ _ Л,2|212»

г

= -^И -= .

Ег

212213

__ _ ^31212»

— >КЫ2\2'

г,в

^29

В случае плоского (плоскость хгОх3) деформированного

состояния

(е,) =

0, (о^ — |У21 (ст2) -{- 'Уз!(егд)

(о2д).

Деформации

в

плоскости

будут

(ег) =

(2 22 ~Ь У212 2^ )^ 2) +

(г23 4* ^31221) (^з) 4* (^20

^ 1221) (°2з)»

(е3) =

(2-32 +

у г& \) Ю

+

(*зэ +

ч31г31) (<У3) +

(236 — ^в1г31) (о23),

(V») =

(2С +

*а1г6|) <<*а) +

(263 + ^31261) <°з> +

(2бб — ^б1г61) (а23). (1.47)

Внося эти выражения в формулу (1.45), получаем второе

представле­

ние энергии

1

_1_

1

4 г

) ^

+

2

Е.

+ 4 ( с ^ - Т Г (а- >2- ( - % - +

Ы +

+

( ^ 7

+

^

г )

ы

<^> +

(- Й -

+

^

- )

<а23>- (1-48)

Здесь

1*26

_ - .

1*за

_

-

П

226*

~п

230*

и2Я

0*3

Для

орторомбической и

гранецентрированной

решеток следует

по­

ложить

(ы^в =

0;

цзв =

0; VС1 = 0.

Для тетрагональной

структуры

к

этим соотношениям

необходимо добавить

равенства \ 21 =

V3^; В2= Е 9.

° в

“

2 (1 +

у23)

(1'49>

Средние смещения при поперечном сдвиге

с

учетом

условий пе­

риодичности (1.36) ищем

в

виде

однородной

функции

(и2 +

ш3} =

= 1(723)

2/2. Заменяя

под интегралом

смещения на средние

значения

и используя первое представление энергии в виде V =

(у^)

(а^),

находим

о

_

,

,

« +

0/0а

023 _

<<Тг5>

я +

г +

( 1 - 0 0 /0 о

'

Для

определения

податливости заменяем

в

(1.42) ааз на

<а23) и

представление энергии

(1.48)

для простейших структур,

получаем

в первом приближении

1

1 < 1 - 0 к + (1 + * 0 0 /С а

/ 1 е т

С°з " С ?

* + С+ (1 -0С /С а

(о2) =

(а3) =

(а),

(е2) =

<е3) = <е>.

Состояние среды определя­

ется функциями ср (2) и ф (2) согласно

формулам (1.31). Краевые ус­

ловия

на площадках

контакта определены первым уравнением (1.35)

и соотношением

(1.41). Комплексные потенциалы ищем в виде

Ф а ( г ) = В ,

^ ( 2) =

0, Ф(г) =

-§-. 'Р(г) = ^ - Д

„ - / м

2 + (» „ -!) 0/0.

2 — Е + < + (1 -0 («„ -

О 0/0, •

Второе представление энергии (1.48) и (1.42) определяет эффек­

тивное значение упругих постоянных

( / = 4 0

2 - е + < + ( 1 - 0 ( * а - 1 ) 0 / о а

2 < 1 - 0 < х - 1 ) + ( х - 1 + 2 0 (*а - 1)0/0а 'е>

~

^(в>*

',53

^У121 2|

Это уравнение дополняем соотношением (1.49)

рО

* + С+ ( 1 - 0 0Юп

Е 2

(& = ■2(1+ у2з) =

О

(I — Ох + (1 +хС) СЮа

(1.51)

и равенством \>°2 =

-щ- •

Путем

исключения неизвестных

постоянных приходим

к

искомой

формуле

__1___ ,

х + 1 (

2 + (ха - 1 )0/0п

2С ( 1 - Си/иС-

))

ч

Е\ “

Е°1

80 '2 -С + х С + (1-0 (к в-1)(?/а

х + С+ (1 - с “0/0о )•

которая

эквивалентна следующей:

(1.52)

1

_

,

_!_ !

2 (1 - 0

(х - 1) + (жп

- [ ) ( х - 1 + 2 0

о/ва

^2

2-С + хС + (1 - 0 (ко-

1)0/во

т

‘ 80 I 2 — 4- «Г -4- п — п (и

П пт

+ 2 х(1— О + (I + &х) 0/0,1

(1.53)

* + ?Ч-(1-0<3/0

"]■

Поперечные эффекты находим по формуле (1.51) с использованием

выражений для

модуля упругости

(1.52) или

(1.53):

, _!_/2 с

- О к + ( 1

+ е«)о/о„

^

Я°

8С

~ * + " С + (1 - 0 0/0о

_

2 ( 1 — Р ( х — 1 ) +( х а — 1) (х — 1 4 - 29 0/0^

(1.54)

2 -

Б + «С +

(■ — Щха — 1)аюа

/*

лагая

г =

т0= ее'**,

по формуле

(1.11)

получаем

Фа Ы — Фа М

= 0.

(2.Г)

Решение задачи в приближении однородного взаимодействия во­

локон в локальной системе координат имеет вид

2

/-

1 1 + » > (Сг + е - ^

<“ »

1 - 0 1 / 0

7.

Здесь

<72 =

гУа\ где

а — внешний радиус

волокна;

гЛ

1 — <7а

^

«1 =

Т + Ч Г

с

<«.. - 1<Н )

1 + 0|/0

(2.3)

20

(1 + 0 0 * + 1_{;

1 _

1

1 1 - С + < 1 + 0 0 /< 3

с?2

е?з

0 1 + С+ (1 — О О/О® '

1—0^/0 V

_

гкп—1

/ еа

\*Л—1

Ф р м -

2агп

°

акп-\

+ С(1т")

•

1+ с?/°

^

а

+ ч2<‘я- ‘>)(1 +о2/о)

’

,2) м

_ ____2 5 1

' - ° Ъ

а V

Гу,

г * " -'

г

1 - О Ц О

Л

Ф

“

1 + С*/0 ^

[ С

+ С

1 +

02/0

( “ >)

_]'

_

1 д2(л—1)

даны

ранее.

Прира­

где Ок — ^ — --2^ - 1) 0а- Остальные обозначения

щение энергии приведенного элемента

в этом

приближении

д,1/ = 21асси

Ьа

\2^

X

, + Л г ) 2 л ( кп- 1

,

\

1 +

°1/0

/ ^ 5

С"- * { ‘

- х

(к" ~

1 -0 2 /0

\2-

X

(2.5)

1 + 02/0

)

2 (кп— 1) •

=з т л ап

(п — 1) пп + &1Ппа п

( л п — 51ПЛ а )2

капиллярность

составляет ц =

0,4 ч- 0,5, поэтому

под знаком

сум­

мы

1—02/0

_

1— 0^/0

1+ оуо

”

1+. суо

'

Приближенная

формула

модуля

сдвига,

достаточная для

ин­

женерных

расчетов,

принимает вид

^13 __

^12

~ 1

+ п 2{п

1 _

С2/0

\ 2 51Плс

I + (1+ос}/е )

^12

®12

X Ъ2- ?

п

1 -с у /с \2|

(2.6)

1+

0^/0 / ]

где

0? =

1 -д * —»

„

1+ ^(я-1)

^

е„ = ва= а

[1 +

< Р - Л ] • <27>

о°2 /

1 - о ? /а

\

0 \ 1 -

X

°12

°12

П

Е+(1 + О0?/О /

На рис.

14 приведены результаты вычисления

612/0 во втором

приближении

для тетрагональной

структуры

(п =

4)

при

Са/0 =

= 25. Кривые 1 —7 соответствуют <7, равному

0; 0,2;

0,4;

0,6; 0,8;

0,9; 1,0.

Предельные значения модулей сдвига для

стеклопластиков

(6а/0 =

25) в случае л = 4 и п =

6 при различном объемном содер­

жании заполнителя I, построены на рис. 15. Здесь кривые Л 3 и 2, 4

соответствуют л = 4, д = 1, <?= 0

и л = 6, <7= 1, <7 = 0.

Влияние

Фа (т) +

С

ы - е2'® [т„Фа (т0) +

(т0)] = 0, т„ = ее(* (2.9)

В приближении однородного взаимодействия между волокнами

Фа (2) =

Л,

У 0 (г) = 1?Я> Ф(*) =

С, ЧЧг) = - р - 0 .

8С5 {1 — Р <1 — 4е) (Уа — V)»

Еа1= $ ( 1 - д * ) Е а + ( \ - $ Е

+ (1—Я2) (2 -Н - х ? )+ (1 -а (ха—1+2?*) 0/Са’

(2. 10)

V»! =

<1 —

е?2) V —

С (1 — 9г) (-V — V..) X

х + 1 -

?’ [2 - Е + *Е-2(1-9С/Йа]

(I - <?>) (2-

С+ ХО + (1 -

о (Ха- 1 + 2дг) 0/0в '

В случае равномерного поперечного растяжения (о2) =

(ст3) — (о),

(е2>==(ез ) = ( 6)» разрешающие функции в первом приближении

Фа {г)~А,

внешней поверхности отдельного волокна (1.35)

и в его полости (2.9),

а также используя первое представление энергии, получаем

2 (1 — Я г) +

(ха — ! +

2<72) О/0а

°

(СТ)

( 1 _ ^ )(2 _ С +

^ )

+

(1 _

С) (Ха_

1 +

2<72)0/0а ‘

Второе представление энергии приводит к искомым формулам

02

1

V*.

__ I____ у

Е °

*з°

Е \

^

80

А

Г2 (1 — 0

(1 - ^ ) ( х - 1 ) - 1 - [ ^ И - 1 ) ( х - 1 ) + ( 1 - 0

(*-1)

(к - \ +

2 д*)]0 [0 а

I

(1 _<,*) (2— С+ «&) +

(1 — 0 («д— 1+

2»*)С/0Л

+

Ч ( 1 - 0 ( 1 - ^ )

Х +

2Й1+ХО (1 + ха^ ) С/Са+

3<7- (1 - «> ) ( 1 - 5)* ( 1 - 0 /0 ,,)

' 3?* (1 ~Ч2)(1 -

0

(1

- < ? / 0 в) + <1 -

т

(х + 9

+

$<1 -

0 (1 +

* У >

(2.11)

Аналогично

формуле (1.52)

находим

второе

эквивалентное соот-

1

1

1

“Ь яг.

*

~

Е$ ~

+

2 ( 1 - й (1 — Ч 2) ( X - 1) + [С (* + И ( * „ - 1 ) + 0 - 0 ( к - 1) X

ч2) (2 -

Х(*в - 1

+ 2Ч2)]0/0а

т

0/0

.(2. 12)

(1 -

Е + х«

+

(1 -

0

(х

-

1 +

Формулы для

определения коэффициента

Пуассона строим анало­

гично соотношениям

(1.54) и (1.55)

V02

1

1

Г21

Е °,

Б?

+

40®,

80

и.2

^1

**и23

2 ( 1 - 0 (1 - 9 а) ( * - ! ) + [С (* + ! ) ( % - 1)+ (1 — С) (к — 1) X

X (на - 1

+ 2^)]0/0а

,(2.13)

'

(1 -

**) (2 — С + К ) +

(1 -

О <*а -

1 +

2<7а) 010а

„о

,__ 1_

^2 3 ____У21

Ео -

+

80

Х

2$ (1 — 0 (1 — <7а) х + 2С (1 + * 0 (1 +

\ Я г) 0Юа +

3?* (1 - д*) ( 1 - О X

[

X (1- 0 Ю а)

3?»<1 -

?а) О -

У (1 -

0/0а) - К 0 -

У (I + ха^>00а+(1 -<?*К(х-К) '

2 (1 - У (1 - Ч 2)

(к - 1) + К (*+ Ч (*„— 1) + <1 -

У ( * - I) X

(2.14)

(1 -

<П(2-

X (х -

1 +

2?*)] ОЮ

И - ХО + (1 -

У (*, — И - 2Ч2) 0/0а