книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Если имеется к измерений вектора/: f \ , . . . , /*, то за основную примем следующую гипотезу: в качестве априорной плотности вероятности вектора состояния м при i-м измерении принимается апостериорная вероятность вектора и после i —1-го измерения. Тогда, используя (11), получаем

Piifi\ U) Pi_ 1 (и \fj_i)

порядка п и т соответственно, м0 —заданный вектор размерности п, А —матрица размера тХп, то (12) дает уравнение

Сделаем следующие предположения. Пусть H = G =Rn nu= (и ь •. •

. . . , u n) T, II и 111 = к 2 +Мг +•••+«»•

1Л-п

Предположим, что А задается прямоугольной матрицей размера m X и, т.е. соответствующий оператор действует из в R m. В

91

качестве F возьмем пространство R m, наделенное нормой \\f\\P =

Нетрудно видеть, что величина а2/к характеризует точность векто­ ра j k, полученного по результатам полного эксперимента, заклю­ чающегося в к последовательных измерениях вектора /.

Тем самым установлена полная аналогия между детерминиро­ ванным байесовским методом, изложенным выше, и последова­ тельной байесовской регуляризацией, сводящейся к последова­ тельному решению уравнений (13).

Обозначим в (16) <х = о2 /к. Тогда уравнение принимает вид

(аС + А тРА) ик = A TP f k +аСи0,

и, следовательно,

ик = (аС + А тРА)~1 (аСи0 +ATP f k).

Если повышается точность эксперимента или беспредельно увели­ чивается число измерений вектора /, т.е. к -►<», то а -*0. Естествен­ но поставить вопрос о вычислении пределов матриц

а(аС + А тР А у 1 С, (аС+АТРА) ~ 1 А ТР, а -+ 0.

Для упрощения решения этого вопроса считаем Р = Е (единич­ ная матрица). Пусть

Ra - (аС + A TA)~l А т, Zot=a(aC + A TA y i С.

где N = АК~Х.

92

Легко видеть, что

Za = а К ~1QT (аЕ + A) -1 QK,

и, следовательно,

Нш Za = K - ' Q TEn_rQ,

0L О

где

4 -Г = diag{0, О, . . . , О, 1. 1 , . . . , 1 >,

гп—г

lim (aE + N TN y l N T =N*,

а -> О

где N + - псевдообратная матрица к матрице Ж в смысле МураПенроуза (в § 24 этот факт будет следовать из более общих рас­ смотрений). Поэтому

lim Ra = l T lN +.

0L-+ О

А

Итак, оба предела найдены. Замечая, ч т о / -►/ при а -^0 (по ве­ роятности) и используя полученные выше предельные соотношения дляЯ а и Za , получаем (по вероятности)

lim uk =K~1 N +f + K~l QTEn_t QKu0. Of* 0

Если r = л, TO lim а -►О

ра м0, характеризующего априорное состояние изучаемого объекта. В этом случае uk N*f.

§ 15. Принцип оптимальности невязки для уравнений с нелинейными операторами

1. Пусть U и F - полные метрические пространства. Рассмотрим задачу приближенного решения уравнения

где оператор А определен на непустом множестве DA C U и дейст-

93

вует из Uв F . Обозначим

ратов, т.е. является элементом и Е Ол , для которого pF (Ай, f) = = рА. В случае разрешимости ( 1) в классическом смысле цА = 0. В дальнейшем существование обратного оператора Л "1 не предпо­ лагается. В противном случае он может не быть непрерывным или определенным на всем пространстве F. Таким образом, задача ре­ шения уравнения ( 1) в общем случае является некорректно постав­ ленной. Пусть U = {u€:DA: pF (Ли, f ) = цл } Фф.

Далее строится устойчивый метод решения уравнения ( 1) при минимальных априорных требованиях. Это подразумевает сле­ дующее:

а) алгоритм решения ( 1) с приближенными данными не исполь­ зует никакой количественной информации об искомом решении; б) стабилизирующий функционал выбирается не априорно, как при формулировке основной задачи, а из естественного условия аппроксимации исходного оператора А, которое легко выписывает­

ся во всех известных случаях.

ции оператора А. Функционал £2 (и) —некоторый оценочный функ­

ционал. Заметим, что получение оценок типа (2) является класси­ ческой задачей теории приближенных методов и легко выполняется

обычными средствами анализа.

Далее считаем, что U f = U П D Фф. Так как условие и Е Д как правило, включает в себя требование некоторой ’’гладкости” эле­ ментов и, то Uf можно назвать множеством ’’гладких” решений уравнения (1). Очевидно, что задание другого D приводит к иному множеству ’’гладких” решений.

При мер. Пусть на множестве D задано семейство ’’проецирую­ щих” операторов Р, определенных на D при любом h > 0 и со зна-

94

чениями в D, удовлетворяющих условию

lim ри (и.Ри) = 0, м Е Д

и - о

Будем предполагать, что известна также оценка

Pv (uyP u ) < ^ ( h ) £2(м), м е д

Определим аппроксимирующее семейство операторов, полагая

А - АР на Д Тогда имеем

pF (А и, Л и) < /Сри (Ри. м) < A^fo (А) £2(м), м б Д

т.е. условие аппроксимации (2) выполнено при f (A) =A' f 0 (A). Заметим, что оценки типа приведенной для величины ри (и. Ри)

(и Е D) широко известны в теории приближений для различных классов пространств и множеств.

Определим множество ио формальных решений задачи ( 1):

Ua = ( u e D : P p ( A u J ) < U h ) Щи) + рА + 5 } ,

где вектор о = (5, h, £) характеризует точность приближенных дан­

Для построения устойчивых приближений предлагается следую­ щий принцип оптимальности: выбирать такиеиа Е ио, для которых

Легко видеть,что этот принцип приводит к выбору в качестве при­ ближенного решения задачи ( 1) таких элементов из множества формальных решений U0, которые имеют минимально допустимую невязку. Поэтому естественно предложенный способ построения приближенных решений задачи (1) назвать принципом оптималь­ ности невязки.

2. При приближенной реализации принципа оптимальности не­ вязки нет необходимости искать элементы иа, в точности являю­ щиеся решением этой задачи. Поэтому предположим, что определе­ на последовательность {е„} 0 при п -+°° и каким-то способом указаны элементы и к Е Ua такие, что

95

где вектор к = (6, Л, £, е„) характеризует уже и точность решения оптимизационной задачи (3).

соответственно. Без ограничения общности считаем их сходящими­

96

Т е о р е м а 45. Пусть выполнены условия теоремы 44 и, кроме того, функционал 12 (и) полунепрерывен снизу на D. Тогда мно­

жество Sl-минималъных решений непусто: ПФф.

Напомним, что вещественный функционал <£ (и) (и Е £>), назы­ вается полунепрерывным снизу на Д если из соотношений

Без ограничения общности их можно считать сходящимися: ип -*и,

Из (10) следует, что элемент и принадлежит множеству 12-мини­ мальных решений задачи ( 1). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Если уравнение (1) имеет единственное реше­ ние и Е Uf, то, очевидно, оно же будет и 12-минимальным реше­

нием. Множество U одноэлементно также в том случае, когда пространства U и F линейны, оператор А также линеен, множест­ во D замкнуто и выпукло, а функционал 12 (и) строго выпуклый, по крайней мере, на множестве Uf (при этом, естественно, предпо­ лагаются выполненными все условия теоремы 45).

Утверждение теоремы 44 существенно уточняется.

Из (7) и ( 11) следует соотношение £2(м0) < т, которое вместе с доказанной в теореме 44 принадлежностью и0 Е Uf приводит к заключению,что и0 Е U. Отсюда вытекает требуемое утверждение.

З а м е ч а н и е . При доказательстве теоремы 46 фактически показано, что справедливо более сильное предельное соотношение:

4. Далее предположим, что пространства U и F - рефлексивные банаховы пространства.

Т е о р е м а 47. Пусть оператор А слабо замкнут на D, функцио­ нал £1 (и) слабо полунепрерывен снизу на Du из соотношений

un Е D,

множество ^-минимальных решений Uнепусто.

З а м е ч а н и е . Оператор А называется слабо замкнутым на D, если из соотношений

вытекает и0 Е D, Им0 =/о- Вещественный функционал (и) назы­ вается слабо полунепрерывным снизу на D, если из соотношений

Согласно условию теоремы последовательности {и„ } и {Аип } ограничены в U и F соответственно, а так как эти пространства реф­ лексивны, то эти последователоности и слабо компактны. Считаем

стве следует \\Аи - f\\F = рА, т.е. и Е Uf. Из условия слабой полунепрерывности снизу функционала £2 (и) и соотношения (13)

98

вытекают оценки £2(й) < Иш £2(ип) < т,

п —* °°

Ал

т.е. и € U, что и требовалось. Теорема доказана.

Условия теоремы 47 выполнены, например, если множество D замкнуто и выпукло, оператор А линеен и непрерывен, функцио­ нал £2 (м) - полунепрерывный снизу и выпуклый на D.

Переходим к доказательству следующего утверждения.

Т е о р е м а 48. Пусть выполнены условия теоремы 47. Тогда для элементов ик Е ио%удовлетворяющих условию (4) .имеет мес­ то соотношение

lim inf а (| и* (м - ик) | + к-* 0 и е и

+ \ Г ( А и - А и к)\ + \ П ( и к ) - т \ + \ \ Аик - П Р - ц А } =0, (14)

где и* и f* - произвольные линейные функционалы в U и F соот­ ветственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из соотношений (17) получаем

кО

Из (15) и (16) следует слабая компактность семейств ик и А и к в U

слабой замкнутости оператора А и свойства полунепрерывное™

тоо

Из произвольности выбора подпоследовательности {ит} вытекает (14). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Если рА = 0, то теорема 48 справедлива без предположения о рефлексивности пространства F. Более того, F можно в этом случае считать просто нормированным пространст­ вом.

Пусть F удовлетворяет условиям Ефимова-Стечкина, т.е. из слабой сходимости элементов и их норм следует сильная сходи­ мость. Тогда утверждение теоремы 48 допускает некоторое усиле­ ние: имеет место соотношение

Пусть выполняются условия теоремы 48 и, кроме того, функ­ ционал 12 (и) = \\Lu - g\\G (где L - оператор, действующий из U в рефлексивное банахово пространство G) имеет область определе­ ния DL Э D. Если оператор L слабо непрерывен на D, то, как не­ трудно показать, функционал 12 (и) = \\Lu - g\\G слабо полуне­ прерывен снизу на D. Рассуждая точно так же, как и при доказа­ тельстве теоремы 48, можно установить, что справедливо соот­ ношение

+ |g* ( L u - L u K) |) + |\AuK- f \ \ F - vA + | ||Lu K-g \\G - m | } = 0,

где g* —любой линейный функционал на G.

Если F и G удовлетворяют условиям Ефимова-Стечкина, то

Отметим, что условия Ефимова—Стечкина выполнены, напри­ мер, для всякого гильбертова пространства, а также для банахо­ вых пространств типа Lp (р > 1).

5. Из приведенных ранее соотношений не видно, будет ли иметь место сильная сходимость приближений в основном пространстве U. Следующая теорема дает достаточные условия для такой сходи­ мости.

Т е о р е м а 49. Если пространства F и G удовлетворяют уело- виям Ефимова-Стечкина, 12 (w) ^ \\Lu—g\\G (и G D), операто­

100