книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Покажем, что в определенном ниже смысле приближения иА аппроксимируют множество

ции аА выбран в соответствии с критерием р. Тогда для любых

нительности следует, что семейство р.р. йА ограничено, в простран­

Таким образом, и0 Е Uf. Покажем, что иб Е UR . Действительно, используя слабую полунепрерывность снизу нормы в гильбертовом пространстве, из соотношений (8), ( 11) и ( 12) получаем

\\Lu0 - g \ \ G < \ / 2 Vl> т.е. u0 &UR .

Ал

За м е ч а н и е . Если UR ={ и}9т.е. состоит из одного элемента,

то в условиях*георемы 26 справедливо соотношение

Далее потребуем, чтобы для всякой последовательности { ип } Е Е И такой, что

61

имело место соотношение (сильная подчиненность оператора В операторам А и L)

lim || В(ип - ы0) II г = 0.

п ->00

П р и м е р . Пусть H = F - G= L 2 [a, b] ,А = Е, L n - d nujdxn -

оператор и-кратного дифференцирования, область определения которого D состоит из всех п - 1 раз непрерывно дифференцируе-.

В качестве оператора В можно, очевидно, взять операторы dk/dxk (к =0. 1,. .. ,и - 1).

В общем случае справедлива Т е о р е м а 27. Пусть выполнены условия теоремы 26 и опера­

тор В сильно подчинен операторам А и L. Тогда справедливо соотношение

\о we v R

Доказательство аналогично доказательству теоремы 26.

эффективным. При условии h < 6 можно положить Л = \/2б; тогда выбор параметра по критерию \р не использует наличия таких сведений. Численная реализация алгоритмов выбора р и <р рассматривается в § 26.

3.Несколько изменим условия аппроксимации оператора А.

62

виях можно построить алгоритм выбора параметра регуляриза­ ции, не требующий при применении априорного знания сфе­ ры Мс .

Заметим, что выполнение условия (16) влечет выполнение ранее использованного условия аппроксимации. Поэтому все результаты, связанные с поведением функций р (a), 7 (a) И ? (а ), остаются, очевидно, справедливыми и при новом условии (16).

Рассмотрим следующее уравнение для определения параметра регуляризации:

при достаточно малых положительных значениях параметра а прямую р = ро = рА + hpL + h (см. рис. 2).

63

С другой стороны, при любом OL> 0 имеем h 7 (a) + цА + 5 > р0, т.е. график правой части уравнения (17) расположен выше прямой

р = Ро ■Так как lim 7(a) = pL, то прямая р = р0 является горизон- й “►оо

тальной асимптотой для правой части уравнения (17). Учитьгоая, что правая часть (17) является в силу условий леммы строго убывающей функцией параметра а, а левая часть — строго воз­ растающей и обе функции непрерывны, убеждаемся в однозначной разрешимости уравнения (17). Лемма доказана.

Далее предполагаем условия леммы 19 выполненными.

Выбор параметра регуляризации как корня ^уравнения (17) будем называть обобщенным критерием р.

Т е о р е м а 28. Пусть параметр регуляризации а0 выбран в соответствии с обобщенным критерием р. Тогда, если U0 = UCX(J , TO

а -►О

Д о к а з а т е л ь с т в о . Полагая OL = а0 и используя экстремаль­ ное свойство р.р., получаем после несложных вычислений

Р2(01а) + аау 2(ао)<

< Ы и - f P p +aav2L <(ilA +hv{ + о)2 +ua v\.

Принимая во внимание (17), имеем

(hy + PA +$)2 +аау 2 < (цА +hv, + б)2 + <*„!>[,

мы 3 о сходимости р.р., устанавливаем справедливость соотно­ шения (20).

З а м е ч а н и е . Применение обобщенного критерия р свободно от априорного знания любых количественных характеристик искомого решения й основной задачи. При й = 0 обобщенный критерий р совпадает с критерием р. В случае, если известно, что мера совместности рА =0, естественно полагать рА =0. Если# =0 и D = DALi то легко видеть, что pL -0 . Если к тому же Uf={u}> то vL = WLuWc- В этом случае условия леммы 19 сводятся в основ-

64

ном к требованию, что решение « основной задачи не принадлежит

также свободный от априорного знания количественных характе­ ристик искомого решения. Считаем, что цА =0 ,vL > 0. Предпола­ гаем также выполненным уточненное условие аппроксимации (16).

Для определения подходящих значений параметра регуляриза­

значения заведомо исчерпывают промежуток {рАу РА) при 0 <а<«> .

Из (24) и (25) следует, что график функции <р (а) при достаточ­ но малых а > 0 пересекает прямую = <р0 = 2 (йpL + 5) (см. рис. 3).

дует картина, изображенная на рис. 3. Из нее видно, что (23) имеет единственный корень, больший нуля. Лемма доказана.

Далее предполагаем выполненными условия леммы 20.

Выбор параметра регуляризации а как корня аа уравнения (23) будем называть обобщенным критерием Следующаялтеорема

устанавливает факт аппроксимации множества решений UR реше­ ниями, определяемыми в соответствии с обобщенным критерием <?.

Т е о р е м а 29. Пусть выполнены условия леммы 20 и параметр регуляризации а а определен в соответствии с обобщенным крите­ рием (р. Тогда для любых элементов и*£ Н и G справедливо соотношение

Оценки (29), (30) аналогичны оценкам (8), (9). Рассуждая как при доказательстве теоремы 26, убеждаемся в справедливости соотношения (26).

66

З а м е ч а н и е . Нетрудно видеть, что в условиях теоремы 29 сохраняет полную силу замечание, сделанное после теоремы 26. Более того, справедлива также

Т е о р е м а 30. Пусть выполнены все условия теоремы 29 и оператор В сильно подчинен операторам А и L. Тогда

а "*° UE:UR

Сформулированное утверждение является аналогом теоремы 27. Если множество UR ={ м}, то

lim \\Вйа -B u \\v ^0 .

ст -►О

Условие (24) леммы 20 выполнено заведомо, если h < 5.

ГЛАВА 3

РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

построения приближенных решений, включающий в себя все из­ вестные к настоящему времени алгоритмы.

Пусть d — совокупность точных исходных данных, например d -{ А , / , L , g } 9 da — совокупность приближенных данных основ­ ной задачи с однотипными компонентами, например da ={A, / , L, £ h а= (/г, 5, t, т) - точностной вектор, характеризующий меру погрешности задания приближенных данных da покомпонентно.

Всякое отображение R a, ставящее в соответствие приближенным данным da некоторое непустое множество UaC D, определяет приближенный метод решения основной задачи. Будем писать U(J=Rada. Если выполнены условия

68

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть метод R a сходится; очевидно, что

sup l A u - f l P < p A +A(Ue,u), ие.иа

sup \ \ L u - g ^G <vL + A(Ua,u). u<EUa

Используя (2), отсюда получаем соотношения ( 1). Следовательно, метод R a регулярен, что и требовалось.

Покажем, что всякий регулярный метод R a сходится. Предпо­ лагаем противное. Тогда для некоторого е > 0 найдется по крайней

Рассуждениями, аналогичными приведенным при доказательстве теоремы 3 о сходимости регуляризованных решений к решению основной задачи, устанавливаем, что из (5) следует соотношение lim | ип — и\ =0, которое противоречит (4). Полученное противо-

речие показывает, что метод R a сходится. Теорема доказана. Нетрудно видеть, что условия ( 1) регулярности приближенного

метода R a эквивалентны следующему утверждению: существуют функции /3 1(а) > 0 и /32(о) > 0 такие, что

lim 0! (а) = lim /32(а) = 0

2.Регулярные приближенные методы дают сходящиеся к эле­

менту и решения. Однако иногда требуется определить приближе­ ния к множеству Uf или некоторой его непустой части. Определим

множества f/fc (к> 1) следующим образом:

Uk ={u€Uf: \\Lu -g \\G < k v L) .

69

Отметим, что при к = 1 любой ^-регулярный метод R a является регулярным. Точность его будем определять величиной

А

Т е о р е м а 32. Всякий к-регулярный метод R aслабо сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о . Из оценок (7) следует, что при доста­

точно малых о семейство { sup |м |) ограничено. Из соотношения we иа

дополнительности тогда получаем: семейство

и е и п

Выберем произвольные элементы иаЕ Ua. Из (9), (10) следует, что семейство иа слабо компактно в Я, семейство А иа слабо ком ­ пактно в F , а семейство Ьиа слабо компактно в G. Выделим под-

непрерьшность снизу нормы в гильбертовом пространстве и соот­ ношения (6), устанавливаем:

70