книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

5. Остановимся на некоторых примерах, приводящих к решению основной задачи.

П р и м е р 4. Пусть Н - L 2 [а, £] - пространство функций, сум-

ъ

мируемых по Лебегу с квадратом: И“ Н я “ / «* (х)dx, 2LD — мно-

a

жество функций из L 2[a, b], л-я производная которых суммируема

сквадратом [88]. Положим

ная задача заключается в вычислении л-й производной на решениях интегрального уравнения (11). Если для любого полинома Рп_ i(jc) степени не выше л - 1 из соотношения АРп_ х = 0 следует, что Рп__1(*) = 0»то выполнено условие дополнительности.

элемент и). Так как допускаются приближения к и из пространства L2 [а, Ъ], то эта задача о дифференцировании является некорректно поставленной.

П р и м е р 6. Снова пусть Н = L 2 [а, Ь]. Положим

Аи=(и(х1) , -----и{хт) ) т, uED,

является, очевидно, некорректно поставленной, так как заведомо нарушается, например, условие единственности (а также условие существования при совпадающих узлах) интерполирующей функции.

т.е. задача сводится к сплайн-интерполяции [70].

2t

Нетрудно дать обобщение задачи интерполирования и на много­ мерный случай. Общая теория сплайнов будет рассмотрена в гл. 4.

Другие применения основной задачи будут показаны по ходу изложения.

§ 2. Аппроксимация решения основной задачи

1. Для построения L -псевдорешений основной задачи необходи­ мо явное задание множества Uf, которое не всегда возможно осу­ ществить. Это затрудняет поиск //-псевдорешений. Естественно попытаться освободиться от указанного недостатка.

Определим обобщенный параметрический функционал Ти­ хонова'.

Рассматривается задача отыскания регуляризованных решений,

Т е о р е м а 2. Пусть выполнены основные предположения (тео­ рема 1)- Тогда при любом а > 0 решение задачи ( 1) существует

иединственно.

До к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно видеть, что справедливо тождество

1^1—5—) 1/ “ |Ч“Г-)1о'"“-ф* г Н <0-

ибо (их + и2)/2 G D. Но тогда \и х - и2 1= 0, поэтому, воспользо­ вавшись условием дополнительности, получаем их - м2Итак, решение ( 1), если оно существует, определяется однозначно.

Существование регуляризованного решения иа устанавливается аналогично теореме 1.

22

З а м е ч а н и е . Очевидно, lim || йа - и \\ц.= О в силу условия

а—*О

взаимной дополнительности.

Теорема 3 показывает, что регуляризованные решения иа при малых а аппроксимируют решение основной задачи. Так как при минимизации ( 1) не требуется знать множество Uf, то определение регуляризованных решений может быть эффективно выполнено.

Для доказательства теоремы 3 требуется ввести следующее опре­ деление. Операторы А и L называются совокупно слабо замкнуты­ ми на D, если из соотношений

пространстве, следует: м0 6 D, Аи0 = / 0, Lu0 = £ 0- Множество D здесь необязательно выпуклое; линейность операторов А и L также необязательна.

Доказательство теоремы существенно опирается на следующую лемму.

Л е м м а 3. Если операторы А и L линейны, а множество D выпукло, то для совокупной слабой замкнутости А и L на D необ­ ходима и достаточна их совокупная замкнутость.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если операторы А иЬ совокупно слабо •замкнуты на D, то они, очевидно, будут и совокупно замкнуты, так как из сильной сходимости элементов всегда следует их слабая сходимость.

Пусть операторы А и L совокупно замкнуты. Покажем, что тог­ да они и совокупно слабо замкнуты на D. Действительно, пусть

23

Покажем, что выполняются соотношения

Пусть z —любой элемент из F. Используя линейность оператора А, имеем

< sup II Vi - Wo II//-^0, i> n

Аналогично предыдущему доказывается соотношение

. л «л

Проводя очевидные дополнительные построения и не вводя новых обозначений, будем считать также, что

Используя условие совокупной замкнутости операторов А и L на D, из соотношений (4), (5) заключаем: и0 €Z), AUQ = / 0, L U0 = = g0. Это означает, что операторы А и L также и слабо совокупно замкнуты.

24

для любого OL> 0.

Таким образом, семейства Аиа , Lua при 0 < а < а < «> ограни­ чены и в силу гильбертовости пространств F и G слабо компактны. Используя условие дополнительности, убеждаемся в том, что се­

Так как норма в гильбертовом пространстве слабо полунепрерывна снизу, то из соотношений (8) —( 10) получаем

нием основной задачи и, следовательно, совпадает с м. Тогда, оче­ видно,

Замечая, что в гильбертовом пространстве из слабой сходимости элементов и сходимости норм следует сильная сходимость, из (9) и (13) устанавливаем, что | ип - и I -*0 (и-*00). Из условия допол-

25

нительности следует также, что йп -+и в Я . Так как последователь­ ность {<*„} О выбиралась произвольной, то аналогичные соотно­ шения справедливы и для всего семейства регуляризованных ре­

Если оператор А к тому же имеет ограниченный обратный, то спра­ ведлива оценка

быть как угодно медленной без дополнительных предположений. Поэтому целесообразно выделение таких случаев, когда можно гарантировать определенную скорость сходимости. Прежде чем переходить к решению поставленной задачи, выведем одно важ­ ное свойство регуляризованных решений (р.р.).

Т е о р е м а 4. Чтобы элемент ua GD был решением регуляризованной задачи, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось вариационное неравенство Эйлера:

26

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть элемент za G D таков, что верно вариационное неравенство

(Aza - /, A(w> - za))F + a(Lza - g, L(vv - zc,))G > 0 Vw G Z>.

(3) Полагая в ( 1) v = za, а в (3) vv = ua, и складывая эти неравенства, получаем | иа — z&| < 0, т.е. Аиа = Лга , Lua = Zza . Используя условие дополнительности, получаем также, что йа = za.

2.Пусть Я - линейное множество. Полагая в (1) v = иа ± w,

которое называется тождеством Эйлера.

Рассмотрим случай, когда D = DA П DL = DAL . Предполагаем, что DAL = Я , где черта означает операцию замыкания. Это условие обеспечивает существование сопряженных операторов А* и Z*.

Пусть на D ограничен один из операторов А или L , например А.

Так как по условию D = Я , то это соотношение равносильно сле­ дующему уравнению Эйлера:

В частности, если .4 = Я, т.е. рассматривается задача вычисления значений оператора L , уравнение Эйлера принимает вид

Если элемент g достаточно гладкий, именно g € Z)^*, то урав­ нение (6) принимает вид

Аналогично в случае, когда оператор L ограничен, для определе­ ния р.р. иа уравнение Эйлера принимает вид

27

Отметим, что уравнения (5) —(10) однозначно разрешимы при любом а > 0. Это следует из их эквивалентности соответствую­ щим тождествам Эйлера.

Следующее утверждение характеризует решение и основной задачи.

кпределу при а -^0 и воспользоваться теоремой 3.

3.В § 2 установлена скорость сходимости значений операто­

ра А на р.р. иа к Аи при условии совместности основной задачи. Рассмотрим общий случай.

Пусть йр Е D - р.р. при значении параметра /3 > 0. В силу теоре­ мы 4 имеем

Этот факт можно доказать также и непосредственно. В самом деле, из экстремальных свойств решения основной задачи при

28

Тогда справедливы следующие оценки:

\\Aua -Au\\F <

(Aza + aAh, A W )F + a(Lzat Lw)G = 0 V w E D.

Согласно теореме 4 отсюда следует, что элемент za доставляет ми­ нимальное значение функционалу

II Az + aAhllF +allLzll^, z ED.

Выбирая в качестве элемента сравнения z = - a h , получаем

II Aza +aAh\\F +all Lza II2G < a 3II LhII2G.

Отсюда следуют требуемые оценки (19). Теорема доказана.

Отметим, что условия (16), (18) заведомо выполнены, если вы­

Достаточные условия, при которых имеют место соотношения (20), (21), приведены в главе 5.

§ 4. Устойчивость регуляризованных решений

1. Мы рассматриваем регуляризованное решение как функцию элементов /,# , операторов A, L , а также множества D.

Наименее трудно дать оценку устойчивости р.р. при возмущении элементов f u g . Будем считать, что вместо элементов / и g за-

30