книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdfгде у ( |
)> 0 (7 (0) = 0) - непрерывная строго возрастающая функ |
||
ция на положительной полуоси, |
то для приближений иКУ опреде |
||
ленных согласно (4), справедливо соотношение |
|
||
lim |
infA( | | w - wK\\и + | и - |
ик |) = 0. |
(21) |
к ~*° |
и<=и |
|
|
Доказательство очевидно.
З а м е ч а н и е . Если в теореме 49 операторы А и L линейны, пространства F и G строго выпуклы, множество/)выпуклое, то лег ко показать, что £2-минимальное (здесь Ц (и) = || L u - g ||G (и € /))) решение и определяется однозначно. В этом случае условие слабой замкнутости операторов А и L можно заменить просто их замкну тостью на D (как это следует из известной теоремы Банаха-Сакса).
Назовем функционал £2 (w) слабо полузамкнутым снизу на Д если из соотношений
м „ е д |
сл |
£20 <*>, л =,1, 2, . . . , |
ип -* w0, £2(w„) < |
||
следует, что |
|
|
Wo ^ Д |
12(wo) ^ 120. |
|
Отметим, что функционал 12 (м) |
= \\Lu—g\\G слабо полузамкнут |
|
снизу на Д |
если оператор L слабо замкнут на D. |
|
Полученные результаты справедливы и в том случае, если опера тор А или оператор L неограничен. Условия слабой полунепрерыв ное™ снизу функционала 12(w) и слабой замкнутости множества/) следует заменить одним условием слабой полузамкнутое™ снизу
этого функционала. |
|
|
|
6. |
Пусть в банаховом пространстве U определены проекторы Рт |
||
(т = 1, 2 , . . . ) и для элементов из D имеет место соотношение |
|||
II W—Руп м II и ^ |
II Lu 11^ , |
УП—1, 2, . . . , |
|
где L |
— линейный |
замкнутый |
оператор, определенный на Д а |
гт -* 0 при т -►<». Предположим, что оператор A : U -+F линеен и ограничен, \\А\\ < К. Тогда, положив А т = АРт (т = 1, 2,. .. ), легко видеть, что для любого u S D имеем
\\Ат и - Аи ||F < К || и —Рт и || |
< Кгт || L и || с , |
т.е. условие аппроксимации (2) выполнено. |
|
Рассмотрим случай, когда U = Ь2 |
[а, b] —пространство функций, |
суммируемых с квадратом на отрезке [a, b\, a D — множество достаточно.гладких функций, определяемое ниже. Возьмем на [а, Ъ] равномерную сетку узлов а = х г < х2 < .. x m+l = b и положим
101
для 1 < i < m
u(xi+l)~u(Xi)
Pmu = -------------------- (* -* /) + и (*/), * , < X < X/+ 1.
Xi+l-Xi
Если w(x) дважды непрерывно дифференцируема, то имеет мес
то оценка |
- |
Л |
Ъ - а |
и - Л и и II, |
hr |
II d и |
|
< — |
dx2 |
h = |
|
|
|
т |
|
Очевидно, достаточно считать, что и(х) |
имеет вторую обобщенную |
||
производную в смысле Соболева [88], суммируемую с квадратом
на [а, Ь] . Этим условием определяется множество D. |
|
|
Пусть |
|
|
ь |
|
|
Ли = f k{x . $ )u( $ )d^ |
a < x < b , |
( 2 2) |
а |
|
|
где функция к(х, £)' такова, что |
|
|
' ь ь |
|
|
f f k 2 (x,H)dxdl;<K2. |
|
|
а а |
|
|
Тогда для всех и(х) Е D имеет место оценка |
|
|
Kh2 |
и U |
|
\ А и - А т и \ \ , < |
dx2 |
|
|
|
|
из которой следует выполнение условия аппроксимации (2).
Если интегральное уравнение Ли = f(x) имеет единственное ре шение и(х) Е D, то применима разработанная выше методика и
приближенные решения сходятся, как это нетрудно видеть, в мет-
( 2)
рике пространства W2 [а, Ь] .
Действительно, в рассматриваемом случае гарантируется схо
димость |
приближений |
в норме |
\и\ = (||,4w||^ |
+ |
\\Lu\\2r |
2 |
) ^ 2, |
|
|
|
|
|
ь г |
|
L |
|
|
которая |
эквивалентна |
норме |
пространства W22^ [а, |
6], задавае |
||||
мой равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н«11ш(2) = (Hull? |
+11 I n |
II? |
) ,/2- |
|
|
|
|
|
w2 |
|
^2 |
|
|
|
|
|
|
§ 16. Метод регуляризации для нелинейных уравнений
1. Далее в основной задаче считаем операторы Л и L нелиней ными. Как и ранее, предполагается, что
Uf = { uED: \\Ли - / \\ Р = рА = |
inf IIA v ~ f \ \ F } Ф ф. |
3 |
v < E D |
102
Определим также множество
U = l u e U f : \ \ L u - g \\ G = vL = inf | | I u - / | | c ) .
u €E С у
которое будем считать множеством решений основной задачи в нелинейном случае.
Относительно операторов А и L предположим, что они совокуп но слабо замкнуты на Я, а именно из выполнения соотношений
ип |
м„ |
u0t Аип |
/о» Lun -+ g0 (п “►«>) следует и0 € Я, |
Аи0 = /0, Lu0 = g0. |
|
||
|
Заметим, |
что в линейном случае совокупная слабая замкну |
|
тость операторов А и L являлась прямым следствием их совокуп ной замкнутости. В общем случае это не так.
Аналогом условия взаимной дополнительности является сле дующее условие: всякое непустое множество
Mc = { u e D : \\ A U \\F + \\L U \\G < C }
ограничено и, следовательно, слабо компактно в гильбертовом пространстве Я
Определим параметрический функционал Тихонова:
&а [и)Щ\ Аи - f\\°Fl + ot\\Lu - g \ Q , |
u € D , |
|
|||||
где ox, 02 |
> 1, a > |
0 - |
параметр регуляризации, и поставим зада- |
||||
чу отыскания |
элемента |
А |
Е Я, минимизирующего функционал |
||||
иа |
|||||||
Фа [и]: |
|
|
|
|
|
|
|
ma = |
inf |
Фа [и] |
= Фа [ц,]. |
|
(1) |
||
u€iD |
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
50. При совокупной слабой замкнутости операто |
||||||
ров А и L на D и их взаимной дополнительности задача (1) |
имеет |
||||||
по крайней мере одно решение для любых f Е Я, g € G. |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Выберем |
такую минимизирующую |
|||||
последовательность {ип) Е Я (л = 1, 2, . . . ) , что |
|
||||||
та < Фа [ип\ < та + 1/п. |
|
|
(2) |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
II Аип ||F < |
const, |
|
|| Lun ||G < const, |
(3) |
|||
т.е. { un} E Mc при некотором С < 00 и, следовательно, слабо компактна. Без ограничения общности считаем, что
ип |
СЛ |
л |
СЛ s |
г |
СЛ |
g0. |
(4) |
|
л0, Аип |
-►/о, |
Lun |
|
103
Из совокупной слабой замкнутости тогда вытекает
u0 eD , |
Au0 = f0, Lu0 =g0. |
(5) |
Покажем, |
что элемент и0 является решением задачи |
( 1). Ис |
пользуя свойство слабой полунепрерывности снизу нормы в гиль
бертовом пространстве, в силу (2), |
(4) и (5) получаем |
|||
тос<Фа [и0] < |
Ит |
Фа [ия ] < |
Нш Ф« [ww |
|
|
п °° |
|
п |
°° |
т.е. Фа [и0] = /иа . Теорема доказана. |
|
|
||
Обозначим Ua - |
{ м Е D: Фа [и] = та } . Теорема 50 показывает, |
|||
что при любых а > |
0 определено отображение R а, сопоставляющее |
|||
совокупности данных d = { А, /, I , g) |
множество 0а. Далее мы по |
|||
кажем, что множество |
Ua при а-»0 |
в определенном смысле аи- |
||
А
проксимирует множество точных решений U.
Т е о р е м а 51. Пусть выполнены основные предположения и множество Uf непусто. Тогда множество Uрешений основной зада
чи также непусто. |
л |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть ма Е Ua - |
любой |
элемент. Для |
|
любого элемента й Е Uf имеем |
|
|
|
|
+<* IIL u a - g II 0сг <Фа [ма ] < |
|
|
|
|
<Ф«[ Й] < \\Аиа |
+л \\LU - g iQ . |
|
|
|
Отсюда вытекают неравенства |
|
|
|
|
lLua —g llG <vL , |
II/1 - / II < ц А'° |
+ v°f |
а, |
(6) |
и, следовательно, семейства и01^Аи01 и Lua слабо компактны в пространствах H,F,G соответственно. Без ограничения общности считаем, что
А сл А |
. А |
С Л А |
А |
С Л л |
(7) |
иа ~* и, |
А и а |
-*/, |
Lua |
-+g при <*-►(). |
|
|
|
|
|
А |
а А |
Из условия совокупной слабой замкнутости следует: uED, |
Лм=/ , |
||||
L u - g . Из (6), (7) и последнего факта, используя свойства слабо сходящихся последовательностей в гильбертовых пространствах, получаем
t L u - g llG =vL, |
IU« -/11р = Мл • |
(8) |
|
|
A A |
A |
|
Отсюда следует, что элемент мЕ (/, т.е. ПФф . Теорема доказана. З а м е ч а н и е . В отличие от линейного случая множество U может состоять более чем из одного элемента. Если Uf = {м), то,
очевидно, t/= {м}, т.е. также одноэлементно.
104
2. |
Проанализируем более подробно доказательство предыдущей |
|||||||||||||
теоремы. Из (6), (7), (8) получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
И£ма - g IIG = IIIM - g llG, |
lim IIЛиа —/ |
1^- = \\Au —f IIp. |
|||||||||||
a -+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a -+0 |
|
|
|
|
|
Вместе c (7) эти соотношения дают сильную сходимость: |
|
|||||||||||||
lim |
IIАиа - Л и |
И/г = lim IIL U^ - L U WQ =0 |
|
|
|
(9) |
||||||||
а -+0 |
|
|
|
|
а -*0 |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
для некоторого элемента иЕ U. Отметим, что (9), возможно, |
||||||||||||||
имеет место не для всего семейства иа, а для некоторого его под |
||||||||||||||
семейства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
Определим в качестве меры близости множества Ua регуляри- |
||||||||||||||
зованных решений |
к |
множеству |
точных решений |
U следующую |
||||||||||
величину: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рл |
М А{1( и * , и - v) 1+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
uGUa vGU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ \\Au - |
Av |
\\ р + \\Lu - |
Lv |
t o ) |
, |
и* E Я. |
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
52. |
При |
выполнении |
основных |
предположений |
|||||||||
множество |
А |
|
|
|
|
|
|
|
А |
том смысле, что |
||||
Ua аппроксимирует множество U в |
||||||||||||||
P A L < U * , U ) - > 0 , |
|
а - + 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
е > 0 |
- некоторое число. Опре |
|||||||||||
делим множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Oe[U]={uED: infA (I(м*,м - |
и) | + |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
иес/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ \\Аи - |
Ли \\р + IIL u - L v |
IIG ) |
< е ) . |
|
|
|
|
|
||||||
Достаточно |
показать, |
что |
найдется а = а*(е) > 0 |
|
такое, |
что для |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
А |
всех <хЕ (0,а*] будет справедливо включение Ua CO€ [U] .Пред |
||||||||||||||
положим противное. Тогда? найдутся е0 > 0 и элементы ип = иа Е |
||||||||||||||
Л |
|
|
|
|
|
|
л |
|
/ |
Л |
|
|
|
^ |
Е иап, а„->0 (п-+°°) |
такие, что ип^ О е^ [Ц]. Повторяя основные |
|||||||||||||
элементы доказательства предыдущей теоремы, устанавливаем |
||||||||||||||
существование |
подпоследовательности |
{ и п ) С{ и п} и |
элемента |
|||||||||||
А Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
uE U, для которых справедливы соотношения, аналогичные (9). |
||||||||||||||
Это противоречит выбору последовательности {ц,}. Но тогда при |
||||||||||||||
достаточно |
малых |
значениях |
сс имеем |
Л |
А |
|
( е > 0), что и |
|||||||
Ua СО€ [U] |
||||||||||||||
утверждалось. Теорема доказана.
АЛ
За м е ч а н и е . Если U ={ и }, то очевидно, что
P*AL(Ua,u)= sup |
- «) 1+ |
и е и а |
|
+ l A u - A u l F + \ L u - L u \ G), и*£Н.
105
С л е д с т в и е . Пусть |
на D определен {необязательно |
линей |
|||
ный) оператор В :Н -*V |
(где V - некоторое банахово пространст |
||||
во) такой, что |
выполняется условие, аналогичное |
условию В-до- |
|||
полнительности: |
|
|
|
|
|
у( \\Ви - B v |
\\v) < |
\\Аи - A V II/г + \\Lu-Lv\\Gy |
M, и е д |
(10) |
|
где y( •) (т(0) |
= 0) |
- строго возрастающая непрерывная в нуле |
|||
функция, определенная на положительной полуоси. Если выполне
ны условия теоремы 51, го lim Ав (UayU) =09где
а -*0
AB(Ua, U)= sup inf \ \ В и - В » Ъу .
и€.иа vGU
Вчастности, если В - Е (тождественный оператор в Я ), то не трудно видеть, что в этом случае условие ( 10) достаточно для выполнения условия слабой компактности множества MQ.
3.Пусть вместо точных данных d - { A yf yL yg ) заданы при
ближенные 3 = (Л ,/ , L yg ) такие, что I I / - / \\р < 6, \ \ g - g 11с <т,
а операторы А и L определены на Д удовлетворяют условию сово купной слабой замкнутости, а такжеусловию аппроксимации
\\Аи - Аи |
II/г <h | и |, |
WLii - Lu IIG |
I и I V и GД |
hf t-+ 0, |
||
где, как и ранее, | и |2 = |
\\Аи II jL + \\Lu |
\\2G . |
|
|||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
МСу |
\\А и 11/г+ WLu IIG < Д } . |
|
||||
Используя условие |
аппроксимации, заключаем, что для любого |
|||||
и е й с , |
|
|
|
|
|
|
\\Au IIF < h Iи 1+ Д , |
|
|
|
|||
IILu ll^ |
lw l + Ci |
I |
|
|
||
и, следовательно, |
| и | |
+ 2С\ , т.е. при |
достаточно |
|||
< (^ + 1 ) | и | |
||||||
малых h и t |
семейство { | ц \} ограничено равномерно по иу h и t . |
|||||
Следовательно, |
Мс при некотором С. Справедливо и обрат |
|||||
ное утверждение. Таким образом, множества МСу и Мс слабо ком пактны одновременно. Из этого замечания и теоремы 50 следует,
что множество ,Ua = Я а3 |
определено (непусто) при всех а > 0 , |
если вектор о = (6, hy T,t) |
достаточно мал. |
В качестве меры близости множества приближенных решений
Ua |
к множеству решений |
U основной задачи берем величину |
j3* |
(UaylJ). В общем случае, как легко показать на примерах, |
|
|
(Яа , Д) не стремится к |
нулю при а и а, стремящихся к нулю |
независимо. |
|
|
106
Однако справедлива Т е о р е м а 53. Пусть выполнены основные предположения.
Если |
параметр регуляризации а = а ( 5 , / г ) > 0 |
выбран так, что |
|
5 |
lim |
(6 +/г)/а= 0, |
( 11) |
—о |
|
||
то имеетместо предельное соотношение |
|
||
lim |
0 * (Ua,U) =О, |
|
|
а—О |
АЬ |
|
|
где U0 - Ua .
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу экстремальных свойств регуля-
ризованных решений имеем |
|
фа[^а]<фа[й] |
Q e u . |
Используя условия аппроксимации и применяя разработанную выше технику, нетрудно показать справедливость соотношений регулярности
lim |
sup |
\\Аи- f |
\\F <pA 9 |
<7-0 |
UGU0 |
|
( 12) |
lim |
sup |
\\Lu - g |
\\G <vL . |
a—0 |
uGUa |
|
|
Из |
(12) рассуждениями, аналогичными приведенным при до |
||
казательстве теоремы 52, устанавливаем справедливость требуемо го соотношения. Теорема доказана.
|
З а м е ч а н и е . |
Если \хА = 0, |
то зависимость a = a (5 ,h) |
мож |
но |
уточнить. Именно, можно |
выбрать а = а ( 6,/г), так |
чтобы |
|
(8 |
+/z)/VaT"*0 при |
5, h -►0. |
|
|
Отметим, что если оператор В удовлетворяет (10), то из тео ремы 53 вытекает также предельное соотношение
lim AB(Ua9U) = Q. a —О
4.Как и в линейном случае, приближенный метод Я а, удовлет
воряющий условиям (12), будем называть регулярным. Метод R а назовем 0* L-сходящимся, если выполняется соотношение
Um rALW o,u) = 0, a - 0 AL
где U0 - R 0d9 d —совокупность приближенных данных основной задачи.
Т е о р е м а 54. Для того чтобы приближенный метод R a был /ЗР L -сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он был регуляр ным.
До к а з а т е л ь с т в о . Достаточность доказывается также, как
иР* -сходимость регуляризованных решений в предыдущей тео реме/ Поэтому остановимся на доказательстве необходимости.
107
Пусть метод R а является $*AL -сходящимся. Возьмем произволь
ный элемент иЕ Ua. Используя |
неравенство |
треугольника, полу |
чаем для произвольного v Е О |
|
|
\\Au-f\\F <рА + \\Аи - А и 11/г, |
WLu-g IIG |
+ WLu-Lv \\G. |
Так как левые части этих неравенств не зависят от и, то очевидно, что
IIА и - |
/ ll/г < р А + |
inf |
1и -и|, |
|
|
|
иес) |
|
|
llZ,w - g \\Q < VL + |
inf |
\ u - v \ . |
||
Поэтому |
|
uEt/ |
|
|
|
|
|
|
|
sup |
\ A u - f l F <nA + P (U0 ,U), |
|||
u e u a |
WLu - g IIG < ”L + $A L ( U 0 ,IT). |
|||
sup |
||||
u^U„ |
|
|
|
|
Из этих |
соотношений |
и |
L -сходимости метода R 0 следует его |
|
регулярность. Теорема доказана. |
||||
С л е д с т в и е . |
Метод регуляризации при определенном выше |
|||
выборе параметра |
регуляризации ot=ot(dyh) является регуляр |
|||
ным. Согласование параметра регуляризации с t и т, характери зующими точность задания оператора L и элемента gf не является необходимым.
Укажем еше два регулярных метода решения основной задачи (нелинейный случай). Определим множества
U0 ={uED: IIАи - J II р < рА + h | и \ + 6,
\ \ L u - g \ \ G <vL +f | и | + т},
где |
РА > |
vL > vL и |
(6,/z,r,f,£", Г)- |
Нетрудно видеть, |
что |
любой |
элемент и, принадлежащий множеству решений U ос- |
||
|
|
|
А |
А |
новной задачи, содержится также в и о, т.е. UС Ua, и, следователь но, при любом о множества Ua непусты. Так определенный универ -
сальный метод R 0 является регулярным. |
supA| v | <С, |
Пусть известна постоянная С, для которой |
|
л |
VGU |
Т.е. UEMC- Существование такой постоянной легко доказать: для любого ЙЕ U
\\Аи \\р<Рл + II/ IIF > ИLu IIG < VL + 11^ IIG >
и, следовательно, можно положить C~pA +vL + \\f\\F + II g \\G . Определим множество
Ua = {u ED: \ \ A u - f \ \ F < P A + h C + b9
\\Lu - g\\G <vL +tC + r} y
108
где снова о = (6, h, T,t,% ,? ). «Легко показать, что UCU0 при любом а, т.е. множества Ua непусты. Определенный таким образом приближенный метод R a также является регулярным. Назовем его упрощенным универсальным методом.
Аналогично можно построить приближенные методы типа ме тодов невязки и квазирешений. Однако кы на этом останавливать
ся не будем. |
|
|
|
|
5. |
Возвратимся к проблеме эффективного выбора параметра |
|||
регуляризации в нелинейном случае. Полагаем, что |
иА = 0, т.е. |
|||
задача |
совместна, и |
т = г =0. Пусть иж |
- такой |
элемент, что |
inf |
IILu - g IIG |
= IILuoo - g IIG =VL • |
|
|
i/G£) |
|
|
|
|
Мы предположим, что элемент и«> определяется единственным образом. Это условие можно отбросить, но тогда дальнейший ана лиз сильно усложнится за счет несущественных деталей. Функцио нал Фа [и] рассматриваем при ох = а2 = 2, т.е. в такой же форме, как и в линейном случае.
Обозначим (р (а) = Ф<*[йа ] ( а > 0), где иа - соответствующие решения задачи ( 1). Заметим, что несмотря на возможную неедин ственность решения этой задачи функция <р(а) однозначна при всех
а > 0. |
28. Функция ф(а) непрерывна и не убывает при всех |
Л е м м а |
|
а > 0. Если |
ЦА < v A, то ее значения исчерпывают интервал (Д* , |
г>А),гдерА = inf II A u - f IIF .
ме D
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя экстремальное свойство эле ментов иЕ U, получаем неравенства:
£(а) = Ф<Лй«] < фсЛ«] <
< {iiA + h | и | + 5)2 + av\ V йа 6 Ua ,
из которых при а > а0 > 0 следует оценка
sup _ WLu - g llG <M0 < ° ° .
Пусть также 0 |
> ct0 > 0. Тогда, используя экстремальные свойст |
||
ва элементов иа и щ, имеем |
|||
£(а) < |
1А й$- |
/ |
II р + а II Lu& -g IIQ , |
? (0) < |
II Ай а |
f |
ll2F + 0 I I - g IIЪ |
и, следовательно, |
|
|
|
£(“) - |
?(0) < (a - 0) WLup-g Ilk < | a - 0 \M£, |
||
£OD-3(e)<(0-a)l£25*-*lfc<l«-0IMo •
109
Отсюда следует непрерывность (и даже липшицевость) функции <Д(а ), а та|кже ее возрастание.
Выбирая элемент щ Е£>(е> 0), для которого \\Аие - / II/г < <ДЛ +е, получаем
£(<*) <Фа [“е] <(UA + е) 2 + а \\Lue - g Нс .
Из-за произвольности параметра а и выбора достаточно малых е йз
предыдущего неравенства следует, что lim <Д(а) = р}А . Далее,
а~+0
фиксируем выбор некоторых элементов иа Е Ua. Тогда при всех
а > 0 определена функция р(а) = |
IIА иа - f |
IIF . Так как |
|||||||
|
- ? |
I’ |
+«11 Lu0. - g || а < |
II Аи„ - / |
I £ |
+ а I\Lu„- g PG < |
|||
< |
Н.<4 t/о»- |
/ |
IIjL + а |
II Lua - g |
, |
|
|
|
|
то справедливы условия регулярности |
|
|
|
||||||
\\Айа - / |
II р < v A , |
|
|
|
|
|
|||
. |
„ |
. |
|
I\Ли„ —f |
Ир |
, a -+<*>. |
|
||
« L u a - g |
llG <JUL + --------•= ------- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
V a |
|
|
|
|
Отсюда следует, что при а -+°° |
|
|
|
|
|||||
IIА иа —A Uoo IIр + \\Lua —Luoo IIG |
0 |
|
|
||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||
lim Д(а) = IIА |
- f IIF = vA . |
|
|
|
|||||
ОГ+oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как, очевидно, р(а) ,<<Д(а) |
для всех а, то из предыдущего |
||||||||
соотношения |
следует, что функция <Д(а) принимает значения, |
||||||||
как |
угодно |
близкие к vL . Из непрерывности |
(а) следует, что |
||||||
ее значения |
исчерпывают |
интервал |
( Д^ < |
) • |
Лемма доказана. |
||||
Обозначим vA = \\А |
- |
f \\F. Так как |
|
|
|||||
vA <,vA + h |г/,»|+6,
то справедливо неравенство
vA < v A \ h |Woo I+6,
\ VA |
~ v A \ < h |Moo 1+6. |
Так |
как, с другой стороны, |
Ра < \ \ A u - f \ \ F < h \ u \ + d < hC + 6 V M
то условие леммы jlA < v A выполняется при достаточно малых
hи 6, ecnnvA > 0.
Ле м м а 29. Пусть Q < v L и h и 5 достаточно малы. Тогда уравнение
<р(а) = 2(/*С + 6)2 |
(13) |
.110