книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

даны их приближения / и g такие, что

I I I I I - ^HG < г'

где величины б и т характеризуют точность приближений этих эле­

ментов. Заметим, что элемент / не обязан удовлетворять условию разрешимости основной задачи и, следовательно, может быть лю­ бым элементом бокрестности элемента / .

Обозначим для краткости решение регуляризованной задачи ( 1) § 2 при / = / , g = g и фиксированных значениях остальных пара­ метров через иа. Согласно теореме 2 элементы йа € D определены однозначно при всех а > 0, и в соответствии с теоремой 4 выпол­ няется вариационное неравенство

(Лиа - / A(W - U<X))F +

Аналогичное неравенство запишем для регуляризованных реше­ ний иа :

ции а возмущенное р.р. более благоприятным образом зависит от возмущений элемента g , чем от возмущений элемента / .

Из теоремы сходимости р.р. 3 и теоремы 9 вытекает

31

З а м е ч а н и е 1. Условие (5) является достаточным для схо­ димости возмущенных р.р. к решению основной задачи и. Далее, при изучении задачи вычисления значений неограниченного опера­ тора (гл. 4) будет показано, что оно необходимо для указанной сходимости.

З а м е ч а н и е 2. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда уклонения р.р. от решения основной задачи по операторам А и L оцениваются следующим образом:

l A u a - A u ^ p ^ 2а 11.у1/ / +6 + х/оГт,

IIL UQI —Lu IIG ^ V e ^ УIIp + 8/ x/cT* + T.

Находя a 0 из условия

получаем a0 = 6. Соответствующие оценки при этом принимают вид

\\Аиа^ —A u i p ^ 2II vil^>6 + т\/б~ + 6 .

Очевидно, а 0 - 62/3. При этом значении параметра регуляризации получаем следующие оценки погрешности:

Способ выбора параметра регуляризации ot0 из условий, анало­ гичных (6) и (8), называется принципом минимума мажорантных оценок. Легко видеть, что этот принцип дает простейшие достаточ­ ные условия сходимости возмущенных р.р. к решению основной задачи и дает оценки точности этих приближений.

2.Рассмотрим случай, когда приближенно заданы не только

элементы / и g, но и операторы А и L. Именно, считаем, что на

DAL заданы линейные операторы А и Z, действующие в F и G соответственно и совокупно замкнутые на множестве D. Пусть

32

выполняются следующие условия аппроксимации операторов А и L : для любого и £ D

удовлетворяют условию дополнительности, т.е. существует посто­ янная у > 0, не зависящая O T U ED и такая, что

\ u - v \ l t > 7211и-Ы1д> VM, I; ЕЯ.

Из предыдущего следует, что если в функционале Фа [и] поло­ жить / = / , g = g, А = A, L = L , то все условия теоремы 2 о су­ ществовании и единственности р.р. будут выполнены. Обозначим их через иа и оценим отклонения значений операторов А и L на

Положим w = в соотношении (1), и = иа в (12) и сложим полученные неравенства. Вводя обозначение г - иа - иа, после некоторых элементарных преобразовамш получаем

IlizIl^ + allZzll*, <

< (Aua - f , (А —A )z)F + ((А - A )u a,Az)F +

+ a[(Lua - g , (.L - L ) Z )G + ((L - L ) u a,Lz)G) ■

Применяя неравенство Коши—Буняковского, условия аппрокси­ мации (10) и воспользовавшись (11), получаем

iAzijr + allZzll^ < h [ lA u a - / lF (l + е) + I ua | +

+ a tlL u a - £ llc (l +e) + a^|Ma |] |z |ftf

3. Условие согласования (17) накладывает определенные огра­ ничения на выбор параметра регуляризации а как функциц возму­ щений элемента / и оператора А. Что касается возмущений эле­ мента g и Оператора L , то согласование параметра регуляризации с ними не является необходимым. Это обстоятельство можно использовать при математической постановке исходной задачи. В частности, постановка ее в форме вычисления значений опера­

что ряд задач, например дифференцирование, может быть сформу­ лирован как в одной, так и другой форме; более того, ряд спе­ циальных операторных уравнений, например уравнение Абеля, допускает обращение, т.е. известен обратный оператор А ~ \ и, следовательно, задача решения уравнения Аи - f может быть пе­ реформулирована как задача вычисления соответствующего неограниченного оператора L = А ~1).

4. Пусть vL = 0 в основной задаче. Как уже отмечалось в след­

В рассматриваемом случае ряд утверждений, доказанных выше, существенно уточняется.

34

Условия теоремы выполняются для корректно поставленных задач, записанных в форме (9) § I .

Оценка (22) носит характер, аналогичный оценкам точности при приближенном решении корректных задач.

§5. Аппроксимация допустимого множества. Выбор базиса

I. Пусть о = 0, т.е. все данные точны. Рассмотрим вопрос о влиянии на точность приближения регуляризованными решениями основной задачи в случае аппроксимации допустимого множе­ ства D. Пространство Я считаем сепарабельным.

Зададим в Я семейство конечномерных линейных подпро­ странств Sn (// = I, 2,. . .) . Назовем семейство {£„} аппроксими­ рующим, если:

В качестве множеств, аппроксимирующих /9, рассмотрим мно­ жества

D „={w'EZ): inf | и 1> |= |г /'- и |} ,

и -о

где и G S n . Корректность этого определения вытекает из следую­ щего утверждения.

Доказательство леммы можно провести по той же схеме, что и доказательство теоремы 2 о существовании и единственности р.р., поэтому оно не приводится.

Эта лемма показывает, что множество Dn обладает определен­ ными аппроксимативными свойствами по отношению к множе­

Таким образом, надо доказать лишь, что и0 Е Dn. Так как Е Z>„,

Этим условием элементы и* определяются, вообще говоря, неод­ нозначно. Поэтому определим оператор проецирования Qn на подпространство Sn следующим образом:

\Q „ v - v\= inf \ y - v \ , v e D AL. у €=Sn

Возьмем в качестве элементов vk проекции элементов ик на под­ пространство Sn> т.е. vk = Qnuk. Известно (см. далее лемму 9), что оператор проецирования на подпространство является непре­ рывным. Поэтому, переходя к пределу по к , получаем существо­ вание элемента v0 = QnUo. Это соотношение влечет равенство Wo =PD VO-

36

имеет решение, и притом единственное.

Доказательство следует доказательству теоремы 2 существо­ вания и единственности р.р. При этом надо учесть, что роль DAL играет подпространство S n, а роль множества —множество Dn.

нение для любого w Е Dn вариационного неравенства Эйлера:

Для оценки уклонения элементов и£ от регуляризованных ре­ шений иа положим v = и£ в вариационном неравенстве (1) § 3,

Преобразовывая очевидным образом ее правую часть и применяя неравенство Коши —Буняковского, получаем

37

Тогда при ип=

где и - решение основной задачи.

Эта теорема показывает принципиальную возможность построе­ ния приближений к решению основной задачи на базе минимиза­ ции функционала Фа [и] на множестве Dn.

Нетрудно показать, что задача минимизации Фа [и] на Dn сво­ дится к конечномерной задаче выпуклого программирования и, следовательно, может быть эффективно решена соответствую­ щими методами [119]

Аналогичное утверждение можно доказать и при условии, что элементы / , g и операторы А и L возмущены. В частности, пусть

и£ ~ решение задачи (4) при возмущении указанных параметров

втом смысле, как это определялось выше.

Те о р е м а 15. Пусть параметр ot = ot(5, /7) согласован с Ь и //, как это требуется в теореме И. Тогда справедливы следующие предельные соотношения:

случай vL =0. Тогда иа =й и соотношения (6) принимают вид

ления элементов //„, т.е. свойствами решения основной задачи и аппроксимирующих пространств Sn (/? = 1 , 2 , . . . ) .

Далее предположим, что известны /*„ 0 такие, что

где йп =PDQ„u.

38

Доказательство леммы 8 опирается на следующую лемму : Л е м м а 9. Для любых и%v ^ D AL справедлива оценка

т.е. оператор PD - сжимающий.

Действительно, как нетрудно показать, чтобы элемент PD U £ D был решением задачи (2), необходимо и достаточно выполнение неравенства Эйлера:

(APD U - Ли, A(z ~ P D U ))F +

Применяя здесь неравенство Коши-Буняковского, имеем (13). Лемма 9 доказана.

т.е. скорость сходимости приближенных решений и£ к элементу

39

и определяется точностью аппроксимации элемента и элементами подпространства S n.

3. Обратим внимание на следующее обстоятельство. В случае vL - 0 основная задача сводится к отысканию решения операторно­ го уравнения

которое можно трактовать как обобщенное ’’граничное” условие. При существовании (единственного) решения и, удовлетворяю­

щего ’’граничным” условиям (18) и уравнению (17), ранее бы­ ло показано, что задача отыскания этого решения сводится к ми­ нимизации функционала

Ф[м] = \\Аи - f\\F + II Lu -g^Q, u€D.

Замечательной особенностью здесь является то, что мы мини­ мизируем функционал Ф[м], не заботясь, вообще говоря, об удов­ летворении элементами множества D ’’граничных” условий (18). Это же обстоятельство нашло отражение в том, что аппроксими­ рующие подпространства S n удовлетворяют лишь весьма общим

40