книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Т е о р е м а 33. Для всякого к-регулярного приближенного метода решения основной задачи можно построить по крайней мере один регулярный приближенный метод.

4. Из исследований, проведенных в предыдущих параграфах, следует, что:

-метод регуляризации Тихонова регулярен;

-методы, основанные на критериях р, у и \р выбора параметра регуляризации, регулярны;

-метод невязки и метод квазирешений (точные данные) ре­ гулярны;

-методы, основанные на критериях типа р выбора параметра регуляризации, регулярны;

- методы, основанные на критериях типа выбора параметра регуляризации, /:-регулярны при k = \fl .

В дальнейшем будет рассмотрен еще ряд регулярных и ^-регу­ лярных приближенных методов решения основной задачи и ее обобщений.

§ 12. Теория точности регулярных методов

1.Наряду с построением регулярных приближенных методов

решения основной задачи важной проблемой является оценка их точности. Обозначим рА (и) = IIA u - f II//, wED. Ясно, что Мл (и)^Мл для любого иЕ£>. Оценим уклонение IIА и - А и 0 11^ , где и Е D, UQ Е Uf. Справедливо соотношение

Тем самым доказана

Л е м м а 21. При любых wE D и и0 Е Щ справедлива оценка (1 ) . Если D - D a l . то справедливо равенство (2).

Далее рассмотрим некоторый ^-регулярный приближенный метод R 0 решения основной задачи.

Так как рА < IIA u —f IIр V ME£), то существует неотрицатель­ ная функция 6j( о) -»0 (а-*0) такая, что

цА < sup цА(и)<цА +е,(а).

и G U а

72

Применяя лемму 21, получаем утверждение:

Л е м м а 22. Для любого к-регулярного метода R aвыполняется

при самых общих предположениях относительно данных основной задачи (в частности, операторов А и L ) .

К сожалению, аналогичную оценку для уклонения значений оператора L получить не удается, так как, вообще говоря, мно­ жество приближенных решений Ua не обязано содержаться в не­ известном нам множестве Uf. Поэтому здесь мы довольствуемся значительно менее сильной оценкой.

Действительно, из второго условия (6) § 11 следует существова­

Справедливо утверждение:

Пусть величина vL = 0. Тогда для любого ^-регулярного прибли­ женного метода R a справедливо соотношение

лярных методов, вообще говоря, не имеет места. Для получения дальнейших результатов поэтому ослабим меру точности прибли­ женных решений.

73

Пусть линейный оператор В , определенный на DAL и действую­ щий из Я в банахово пространство V, удовлетворяет условиям:

—В -дополнительности;

МА = {0 » ;

—оператор В усиленно подчинен операторам-4 и L .

Тогда назовем Вчюгрешностъю некоторого А;-регулярного приближенного метода Ra величину

Следующая теорема показывает, что ^-погрешность приближен­ ного метода очень просто выражается через оценочную функцию ыв (е,Л ).

Доказательство оценки (10) непосредственно следует из опре­ деления оценочной функции.

3. В дальнейшем мы дадим целый ряд применений (10) для оценки точности различных ^-регулярных методов, а сейчас выяс­ ним некоторые простейшие свойства оценочной функции.

Обозначим

M€yR={u<EDAL: WAuWp < е ,

и будем считать, что операторы А и L совокупно замкнуты на всем множестве DAL (а не на множестве Z), как предполагалось раньше).

При сделанных предположениях относительно оператора В и совокупной замкнутости операторов А и L на множестве DAL (которые в этом параграфе мы предполагаем выполненными) справедлива

\\Bu\\v <Ув(е2 +Я 2)1/2 <°°,

74

т.е. функция сов (б, R) действительно определена при всех е > О, R >. 0. Пусть lun}GMeR (я = 1 , 2 , . . . ) - максимизирующая после­ довательность такая, что

ограничены и, следовательно, слабо компактны в Я, F и G соот­ ветственно. Без ограничения общности можно считать, что они

условие усиленной подчиненности оператора В и переходя в (11) к пределу, из установленных фактов выводим, что на элементе h достигается требуемый максимум.

Л е м м а 24. Оценочная функция сов (е, R) обладает следую­ щими свойствами:

т.е. элемент А0 принадлежит ядру оператора Л и, следовательно, по условию, ядру оператора В. Но оператор В усиленно подчинен операторам Л и L и, следовательно,

0 = lim \\Bh€' - B h 0 \\v = u B( e \ R ) .

e'-+0

Из произвольности подсемейства {hci) получаем lim coB (e,R) =0,

75

Обозначим

Ал B ( U 0 , Uk) = Ад (£/„, Uk) + AB(Ua, Uk).

Непосредственным следствием лемм 22, 24 и теоремы 34 является Т е о р е м а 35. Пусть задан некоторый к-регулярный метод

R a. Тогда

§ 13. Вычисление оценочной функции

1. Для эффективного построения оценок ^-погрешности ^-ре­ гулярных методов необходимо дать способы вычисления оценоч­ ной функции сов (е, R ) . Далее рассматриваются как точные методы вычисления оценочной функции, так и построение мажорирующих функций, точных по порядку. Пусть пространство Я сепарабельно,

а множество D^ плотно в Я. Предположим, что существует систе­ ма DAL (/ = 1, 2, . . .), плотная в Я и А*А-ортотональ­ ная, т.е. (Auh Aitj) = 5#, где 5/у - символ Кронекера. Кроме того, пусть квадратичные формы WAuWp, \Lu\\2G и \\Bu\\2v (простран­ ство V предполагаем также гильбертовым) представляются в виде:

что соответствующие квадратичные формы спектрально подобны.

Относительно чисел gf и Хгпредполагаем, что существуют некото­

При указанных предположениях вычисление оценочной функции сод (е, R) сводится к решению бесконечномерной задачи квадратич­ ного программирования, так как

76

через Г ломаную, составленную из отрезков прямых, соединяю­ щих последовательно точкиPt.

Л е м м а 25. Ломаная Г задается возрастающей выпуклой функцией.

Доказательство непосредственно следует из свойств фуНК-

ЦИИ^СХ).

Теперь можно дать следующую геометрическую интерпретацию

77

если gm < R 2 /e2, то

°>в(е’Ю = [^2(Лт +1 “ Xw) +

справа и снизу. В силу условия теоремы требуемый индекс щ всегда существует. Если gm =R2 /е2, то прямая g =R2 /е2 пересе­ кает ломаную Г в точке М= (Xm-Sm) и, следовательно, оов (е,Я )

сломаной Г . Это условие дает (6). Теорема доказана.

За м е ч а н и е . Всегда

Xw e2 < a>2B(e,R)<e2\ m+

Тем самым формула (5) является асимптотической при

/ - мнимая единица.

Пусть А =Е - тождественный оператор в L2 [—я, я ] ,

78

и {ww(x)} (/1= 0, 1, . . . ) —ортонормированная B L2 [ - 1, 1] система многочленов Лежандра. Так как система {м„(х)} полна в L2 [-1 ,1 ],

точности представления экспериментальных кривых соответствую­

79

После несложных вычислений убеждаемся, что gQx) = А1+2к, где к = а/(2(1 - а)), а = In р/ln г. Воспользовавшись (7), получаем

и пусть {е,} - полная ортонормированная в Я система собственных

Полагая здесь щи] = £2, получаем А,- = д - 1/0 +2*) = МГ1»и сле­ довательно, £(А) = А1+ 2к. Таким образом, в рассматриваемом слу­ чае справедлива оценка (7).

Пусть С: V F - линейный вполне непрерывный оператор и >4 = С5. Легко проверить, что если В-{С*С)К (к > 0), то 1(A) =

=А^1+2к)/(2к). Если взятье = С*, то1(A) = А2.

Пр и м е р 5. Рассмотрим задачу решения эволюционного уравнения

du

с неограниченным дискретным спектром, действующий из Я в Я. Будем предполагать, что задача (И ) разрешима и Им(Г) II# < R. Положим Аи = м(0), Вы = u(t), Lu - и(Т) , и пусть ( с о , ) - полная ортонормированная в Я система собственных элементов опера­ тора S :

80