книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Из лемм 12 и 13 следует, что уравнение (7) всегда имеет, и при­ том единственный, корень, который мы обозначим через aR (см. рис. 1). Выбор параметра регуляризации а из уравнения (7) будем называть критерием у (принцип квазирешений) .

RvL

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть OL- OLr . Используя экстремаль­ ное свойство элементов uR , получаем

IILUR -g\\G =R = vL +(R - v L).

Покажем, что значения параметра aR ограничены сверху. Обозна­

и, рассуждая как при доказательстве теоремы 3, из неравенств ( 10) выводим требуемые предельные соотношения (8). Теорема до­ казана.

4.Итак, выбор параметра регуляризации по одному из крите­

риев - р, ^ или у — обеспечивает усиленную сходимость получае­ мых решений к решению основной задачи. При этом надо апри­ орно задавать либо требуемый уровень невязки А, либо величи­ ну R. Нетрудно видеть (см. рис. 1), что задание одной из этих величин, например А, эквивалентно заданию величины

R = R(А) = || ЬиА - g \ \ G>

если элемент й А определен в соответствии с критерием р, или величины

R = Д(А) = || L UA - g ||G ,

если элемент йА определен в соответствии с критерием <р; при этом функциональные зависимости R = R (А) и R =R (А) взаимно однозначны. Аналогичная связь имеет место и между методами выбора параметра по критериям р и <р.

Сформулированные утверждения являются непосредственными следствиями доказанных ранее лемм 12 и 13.

З а м е ч а н и е . Пусть аА определен в соответствии с крите­ рием 0 и А vA. Тогда аналогично теореме 17 доказывается

Те о р е м а 17а. Если параметр аА определен в соответствии

скритерием р, то

а - VA

Имеют место также теоремы:

Т е о р е м а 18а. Если аА определен в соответствии с крите­ рием ф, то

R-+ML

§8 . Метод невязки

иметод квазирешений при точных данных

1.Пусть задано значение А > рА. Определим множество

UA = {wGD: \ \ A u - f ||F <A>.

Условие А > рА обеспечивает непустоту множества UA\ именно, элемент w, решение основной задачи, очевидно, содержится в UA. Более того, множество Uf CUA .

Рассмотрим вариационную задачу: найти элементы иА G UA

Положим

UA ={UA GUa : VL (A)=\\LUA - g\\G).

Л

Очевидно, UA есть множество всех решений задачи ( 1). Опреде­ ление элементов иА G UA составляет суть метода невязки.

52

Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть А = JJLAI тогда очевидно, что Uа = £//, и задача ( 1) совпадает с основной задачей.

б) Пусть А Е (рл , vA) и элемент ыА определен в соответствии с критерием р. Зададим произвольное е > 0 и пусть ие Е £/д тако­ во, что || Lu€ - g \\G < J'L (A) + e. Используя экстремальное свой­ ство элемента иА, получаем

Ф<*д[«д] <Ф<*д К ] < Д 2 +<*дО'/,(Д) + е)2 .

Так как II AUA —f \\F = Д, то из предыдущей оценки следует, что

\\1<ид - ^ ||с < ^ ( Д ) + е.

Л

Таким образом, иа —решение задачи (1), т.е. М дЕ (/д . в) Доказывается аналогично а ).

Установим условия, при которых метод невязки дает един­ ственное решение. Пусть оператор L обратим, т.е. однородное уравнение Lu = 0 имеет лишь тривиальное решение и = 0. Тогда при любом А > lxа решение метода невязки единственно.

Действительно, множество UAi очевидно, выпукло. Пусть

ии и2 Е Uа . Тогда

Положим

UR ={uR £ U R : (XA (R)=\\AUR - / | | f >.

53

Очевидно, UR есть множество всех решений задачи (2). Определе-

задача (2) совпадает со вспомогательной задачей (3) § 6, решение которой есть элемент иж .

в) Случай R > vL рассматривается аналогично случаю а) . Установим условия, при которых метод квазирешений дает

единственное решение. Справедлива Т е о р е м а 22. Если оператор А обратим, т.е. однородное

уравнение Аи = 0 имеет лишь тривиальное решение и = 0, то при любом R > pL квазирешения, доставляемые (2), определяются однозначно.

Доказательство аналогично доказательству единственности ре­ шений метода невязки.

Из теорем 21 и 22 вытекает, что метод квазирешений являет­ ся вариационным аналогом метода у. Более того, в условиях теоремы 22 и приR Е (y L , vL ) они просто совпадают.

Заметим, что решения метода невязки при изменении Д в пре­ делах от р А до + 00 и квазирешений при изменении/? в пределах от P i до + 00 полностью исчерпывают множество регуляризованных решений иа при изменении параметра регуляризации а от О до + °°, включая и его предельные значения мим».

54

§9. Свойства вспомогательных функций

1.Пусть при нахождении приближенного решения основной задачи известны/ Е F и линейные операторы А такие, что

и операторы А и L совокупно замкнуты. Эти условия обеспечи­

вают существование и единственность регуляризованных реше­ ний ыа.

Обозначим

где множество UL определено в п. 2 § 6. Так как предполагалось, что UL Ф 0, то существует, и притом единственный, элемент Woo G UL , для которого

vA = \\А Woo - / I I F .

Это утверждение доказывается аналогично теореме 2 о сущест­ вовании и единственности решения основной задачи.

оО

С другой стороны, имеем следующую очевидную цепочку нера­ венств:

Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3 о сходи­ мости р.р., убеждаемся в том, что из (4) и (6) следует требуемое предельное соотношение (3).

С л е д с т в и е . Из соотношений (5) вытекает, что

55

для вспомогательных функций при точных исходных данных.

56

Используя экстремальное свойство элемента иа9 получаем

UA < Р 2(ог) < ^(а) = Фа [м<у] <

<Фа Ы < (Й4+ е)2 + а || Lue —gWfi.

Всилу произвольности е получаем требуемые соотношения (12).

3.Далее считаем всюду, что выполнено условие цА < vA . Тогда при достаточно малом о справедливо также неравенство

UA <VA .

Представляет интерес следующее утверждение.

Пусть в соотношении (13) величина у0 < 00. Тогда задача (2) разрешима.

Действительно, из (12) и (13) следует, что величины \иа \ равномерно по ос ограничены при о: -►0. В силу условия дополни­ тельности равномерно по а ограничены \\иа ||# . Тем самым се­ мейство {ма } слабо компактно в Н. Будем считать его слабо сходя­ щимся в Я к некоторому элементу й0 (при необходимости доста­ точно выделить слабо сходящееся подсемейство), т.е.

при необходимости к подсемействам, считаем, что они слабо схо­ дятся:

дует, что и0 Е D ;Au0 =/0, Lu0 = #о* Используя свойства слабой полунепрерывности снизу нормы в гильбертовом пространстве, получаем из соотношения ( 12)

7о < 00 и из теоремы 3 о сходимости регуляризованных решений

57

вытекает, что элемент й0, построенный при доказательстве лем­ мы 18, является решением следующей задачи: найти элемент й0 Е U, для которого

разрешима.

З а м е ч а н и е . Мы не предполагали здесь априори разрешимо­ сти задачи (2), как это было при формулировке основной задачи, а вывели ее, исходя из поведения р.р. при стремлении параметра регуляризации к нулю. Из сказанного и теоремы сходимости 3 следует

Т е о р е м а 24. Для того чтобы Uf Ф ф, т.е. основная задача

была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы lim 7 (a) < °°. а. -* О

Отметим, однако, что, вообще говоря, элементы и0 не обязаны

котором С решение й основной задачи принадлежит множеству А/с . Построим аналог выбора параметра регуляризации по критерию р.

58

Именно, предположим, что известна оценка сверху меры несовме­ стности р А, т.е. известна величина цА > рА и задан уровень А:

цА + hC + Ь < А < vA .

Рассмотрим уравнение для определения параметра регуляри­ зации:

В силу лемм 16 и 17 уравнение (1) всегда имеет единственный корень аА > 0. Выбор параметра регуляризации из условия (1) будем называть критерием р. Справедлива

Те о р е м а 25. Пусть параметр регуляризации аА выбран

всоответствии с критерием р. Тогда имеет место предельное соотношение

т.е. достаточной малости А, 6 и £ = рА - р л , величины | иА | равно­ мерно по этим параметрам ограничены. Следовательно,

Из этих соотношений, рассуждая как при доказательстве теоре­

59

уровень невязки А > hC + 5. При h < 5, т.е. когда .погреш­ ностью аппроксимации оператора А можно пренебречь по сравнению с погрешностью задания элемента / , естественно полагать А = 5.

З а м е ч а н и е 3. В общем случае при применении критерия вы­ бора р необходимо априорное знание сферы Мс , которой при­ надлежит искомое решение основной задачи. Это, конечно, затруд­ няет применение критерия р на практике, если не выполнено усло­ вие И < 5. В п. 3 будет предложен модифицированный критерий выбора р (обобщенный критерий невязки), свободный от указан­ ного недостатка (см. также [13]).

2. Построим аналог выбора параметра регуляризации по кри­ терию ip в случае приближенного задания данных. Будем считать, что рА = 0, vL > 0. Зададим А = \fl{hC + 6) и будем предпола­ гать h и 5 настолько малыми, что выполняется условие А < vA .

Рассмотрим уравнение для определения параметра регуляри­

то из неравенства треугольника и условия аппроксимации имеем

60