книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Л

2

I

<J2U 2

TV

Л ч

2

A

2

eО

<

a 2 +

U

/=1

+ h 2?

X^v

i-N + l

7*

Так

как 2

и}

О, W-*00, то можно выбрать такое 7У=УУ(а),

что

*=ЛГ+1

N

lim N(p) = +°°,

lim

— а 2

= 0.

а-*0

ст-^О

^JV

*таков, что ряд 2

с2 сходится.

/ =

1

Тогда

({Г}, {uf )c,{%}$ оптимальное приближение определяет­

ся по формуле

*4>pt

2

\ с }

f ,

о2 + Xjcf

л/Х/

' ’

/=1

а погрешность этого приближения -

по формуле

Л 2

2

eo p

t

{£}' ) -

2

о2 с2

о2 +

/=i

А

и стремится к нулю при а-*0.

Пусть система {е/}

конечномерна (размерности 7V). Отнесем к

классу {м/}дг все псевдорешения, для

которых и2 < С 2 (/ = 1 ,...

...,А А ),

где

постоянная

С априорно

задана. Тогда

{ |} а)-оптимальное решение задачи

(1)

является решением регу-

ляризованного уравнения

Оx E+A*A) u=A*f

при а = <*opt = о2/С2. При этом

N

а 2С 2

е$Р*««/>лг,Ш 5) =

2

—

■ '

2 .

»=1

о2 + X, С2

Д2 ({«/},

< П ) =

,

sup

e2pt( u , a

ue { u /},

*е{*}

где класс {£) Q (£ ) j

• Аналогично определим величину

A2({«/},U >S )=

sup

е5р,(и ,{ ? } ;) .

Т е о р е м а

96. Цусгь

{иг } = ( щ } кр щ

2р/(2к+1)

■M(t)оо

< /?2 р /(2 к + 1 ) 1

= { £ £ { £ } - •

2 а ^ Я / ( 2 к ^ 1 ) < 0 4 к Я/ ( 2 к + \ ) ^

где к > 0 ,

1, <7 ^

1 —некоторые постоянные, причем —+ — = 1.

Р Я

A({w/}^ ,

Ш *

) < С ка 2к/(2*+1)Д 1/(2к+1) ,

(1 3 )

где С \ -

1

(2к)2к/(2к + 1\ Оценка (13) неулучшаема.

2к+1

Д о к а з а т е л ь с т в о .С о г л а с н о (9)

о

,

00 o j g f x y

где £2 = и2/Х? к . Рассмотрим функцию

c r V x 2K

Х > 0,

а 2 +£2Х2к+1

’

с числовыми

параметрами

о 2 3* 0, g 2 > 0.

Легко

показать,

что

max ^(Х) = ^(Хтах) = С 2 о 4к/(2к+1) ^ 2/(2к+1)(

\ > О

гдеХщах = (2к О2/^ 2) 1 /(2 к + ,). Следовательно,

e o p t ( « / ,? ) < C 2

2

а/4к/(2 к+ 1) О/2/(2к + 1)

/=1

Применяя неравенство Гёльдера, получаем

. г р , ( « л й < с н £

f

/=1

Отсюда следует (13).

Пусть

Uf = Ujei,

где м7* = \ “ Я 2, £ =

£ / £ ,

таково,

что

Л/^2 = а2 = ^

j X f K+1R 2K 2K +1) . Л тко

проверить, что

щ Е

е (и/К>

причем

eopt {uf ,$) = CKo2*l(2K" ) R l « 2K+l\

т.е. оценка (13) неулучшаема. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Пусть р -

1, q = °°. Тогда { £} ~ = {£}£, и, следо­

вательно,

Д « и Д '.

{ | } ^) < Ск Q2k/<2k+1)^ ! /(2кт1 >.

(14)

Пусть р = 2к + 1,

=

2к +1

---------- ; обозначим

2к

{uf ) k Huf ) pK={ur :

2

(» 2/Xf ) 2 < К 2} ,

Ш 0 = Ш

‘' ={?:

2

о2 < о2}.

/= I

Тогда из (13) следует оценка

) < С к о 2<£« а*+ ,>Л, « 2“+ ,>.

(15)

(1) классу {uf ) к .

Л е м м а 51. Если U f = A * h , h E F , II h II/г <Я ,

то Uf G {щ } к

при к = 1/2. Если Uf = (А*А)Кw,

Я, то Uf Е

при любом

ственно.

{uf)*K={uf : U f - { A * A ) Kwy w ^ H ,

З а м е ч а н и е .

Пусть

\\w\\H <Я }. Легко

видеть, что класс {uf}*K компактен в Я при

любом к > 0 . Определим квазирешение ик

задачи

(1) как реше­

ние задачи

\\Аик - / \ \ р =

min

\ \ A u - f \ \ F .

U<E{uf ) к

Здесь считается, что возмущение £ не случайно. Полагая

д ( { « /Я ,< Ш ) =

, . . s u p , , .

Uf^{uf yK, ^ U ) a

где {£}£ ={%6 F :

II |

11* < а ) , можно показать, что

А ({И/}; М}*а ) < ( 2 о 2кД )1/(2к+1К

(16)

Сравнивая

(15)

и

(16), замечаем, что порядки оценок сов­

падают, однако постоянная в (15)

меньше, чем в

(16), по край­

ней мере для к = 1/2,1,2.

5.

Рассмотрим

проблему эффективной реализации

( { Г } , U f ,

{ £ h ) -оптимальных

приближений

(12).

Определим

элемент

uq opt

f \

fi

(17)

'=*

u2 + / j

({Г}, иf ,{£}а) -квазиоптимальным при­

который

будем называть

ближением,. Заметим,

что

для реализации

(17)

требуется знать

V A,(S2 + /7 )

у/%

Т е о р е м а

97.

Пусть выполняется

принцип линеаризации.

Тогда

М Лйк opt -

Uf II

pt( uf>{%} £ ).

(18)

1

Г

o2fi

+f?

F i b ) * —

—

+ — ------- —

И

.

d*+/i*

(32 + л2)2

Следовательно,

Л 2 у*2

^ И и , о Р* - и / 1 1 и ^

£ F 2 & ) < 9

2 — ^

-------- .

f= I

i = ' h t f 2 + f h

Теорема доказана.

Если Uf Е { Uf) l , то, учитывая (14), можно

С л е д с т в и е .

получить и оценку

точности квазиоптимальных

приближений:

М II uq opt -

uf IIН2 £ 9 СКг (а 2кЯ )2/<2к+1>.

а класс

регуляризаторов ( Г ) =

= (Г :

Те{- - otXf 2 кet-} ,

а > 0 -

параметр. Тогда

\ 4 к

+ 1 _ 2

. л

2ч2к„2т,2 л 3

е1к (“/.? )=

Z

Л/

О/

+ Of

Л/

&•

(о + Х?к+1)2

'= 1

где, как и выше, gf

=Uj'KJ2li. Положим

X4,c+1

X2*

Х >0.

<p(k) =

Ф (X) =-------------

(а + Х2к+1) 2

(а + Х2к+1)2

Имеем

max <р(X) = С 'а - 1 / ( 2 к + 1) J

max ^ (X) = с"а2к^ 2к+,\

\

л

где

(4к +1)(/»к + 1 )/(2 К+1)

С' =

(4к + 2)2

2к/(2к +1)

\

2к + 1

/ \

#с + 1

/

точно выбрать a =

по формуле (20). Точность этих приближе­

ний совпадает по порядку величин о и R с точностью оптимальных

приближений.

З а м е ч а н и е .

Вычисление ( { Т£ }, { } к, { £ } 0)-квазиопти-

видеть, что

€тп ( иг Л) - 2

+ cr

i = i (a + X,)2

/=1 (a + X/)2

Б удем считать, что м/ Е { Uf) к, £ Е

{И стТогда

2

/ |.\

S

W

.

2

£

X«?V

—

е?’

(wr, £) =

2

----------(а + Х/)2-

+ а

2

----------

а

/= i

/= 1

(а + Х/)2

*(Х )< — , \К Х )<

Ска 2к~2,

0 < к < 1,

4а

Х2(к_1),

к > 1 ,

«

Х.о?

а 2

2

- ' ■■-■ < — ,

i=

1 (а + Х,-)2

4а

>2 к „ 2

OL2KCKR 2 , 0 < к < 1,

а 2

X; gt

2

»= 1 (а + X,)2

а 2Я2,

к > 1.

/ = 1 (а + X*)2

4а

а2 2

— i

=а2кСкЯ2.

/=1

(а + X,)2

Остается заметить, что при к >

1

Игл

2

№

= £>2

R 2.

<х -* о

i = 1 (а + X/)2

Используя полученные выше оценки, имеем

а2

( a2KCKR2, 0 < к < 1 ,

4 а (<м/ > « Л £><, )<— + 1

4а

[ а2/?2,

к > 1.

“ optO )= . 2

f l

exp {\jt}ftei.

af+ff

J = l

В заключение ’ отметим* что

проведенный

анализ справедлив

и в том случае, когда элемент

/ случаен;

необходимо только

потребовать, что

= 0, и заменить везде /}2 на M f *. В случае,

когда А = Е, задача I совпадает с задачей оптимальной фильтрации

случайного процесса /

[2].

Фа [м] = IIЛw - / !£, + а \\и ll£, а > 0 ,

(1)

на пространстве векторов и = (их, . . . , ип)т S R n и

к определению

14. В.А. Морозов

209

вектора и, llu \\2С =(Си, u)Rn,/ = ( / 1, . . . ,fmy € . R m.

Евклидову

норму в Rn и Rm обозначаем соответственно II • ll„, б • llm .

Далее рассматриваются следующие три способа выбора парамет­

ра регуляризации а:

р(а) =

II Аиа - f IIw = ер

{принцип невязки):

(2)

у (а) =

II иа 1с = еу

{принцип квазирешений) ; (3)

<р{а) = р2(а) + а у 2(а) = е^

{принцип сглаживающего

фун кционала).

(4)

Величина ер характеризует задаваемый уровень невязки и опре­

деляется

методом невязки. Величина еу определяется

методом

области, в которой находится искомое решение. Величина

прак­

тически выбирается из тех же соображений, что и величина ер .

В § 9 доказано, что функции р(а), у{а) и <р(а) непрерывны при

а > 0, при этом р(а) и <р(а) строго монотонно возрастают, a

7(a)

ньютоновского типа для отыскания корней уравнений

(2)—(4).

Далее приводятся такие модификации этих уравнений, к которым

методы ньютоновского типа всегда применимы.

2.

Положим R (а) = р( 1/а),

F{a) = <р(1/а),

а > 0.

Справедлива

следующая лемма (s -

показатель степени).

Л е м м а 53. Функции R s(ot), ys{ot) и

F S(OL)

являются

убываю­

щими выпуклыми вниз функциями при любом s >

0 и возрастаю­

щими выпуклыми вверх функциями при - 1 < s <

0. Если s < - 1 ,

то рассматриваемые функции могут менять направление выпук­

лости.

С -

К ТК, где

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выполнив

разложение

К т — верхняя

треугольная матрица,

и о б о з н а ч и в = KuaiN =

= АК~1, найдем:

р(а) = II Nxa -

/

II,,,.

у(а) = II

II„,

y>(a) = II Nxa -

/

II l, + a II

I I .

(5)