книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Тогда, очевидно,

i

lim

lt (и;) = 0,

/ = 1,2,. .. , n.

oo

Так

как

и) G WL,

то || щ ||^ = 1, и, значит, последовательность

{ Uj } ограничена и слабо компактна в HL .

II и0 Ия = lim

и Uj Ня = 1.

У—~

С другой стороны,

h («о) = (Mo. kj)L =

lim /,■(и,) =

i

*

= lim (M;-,

=0,

I = 1,2,. .. , n.

j -* о0

Далее для любых ut v ED обозначим

(м, v)n = (м, и)/ + (1м, Zu)G, (м, и), =

2 /,■(м) /,• (и).

/ = 1

•Легко видеть, что выражение

(м, и)„

определяет новое скалярное

произведение на элементах

множества D\

тем самым вводится

некоторое предгильбертово

пространство,

которое мы обозна­

чим Нп. Имеет место

II И/+Р -- Wy ||„

о,

/

р —произвольное натуральное число. Тогда, очевидно,

II Luj+p -

Luj ||G ->0,

hiUj+p)-li(uf)-> 0.

i=

1,2,. . . , n, /-*«> Vp.

(3)

Положим

"

t X—

"

mr 1

'

I

Я r

«/ = Uj

+ Uj,

Uj €

Nl ,

Uj

= TV/,.

Тогда (3) можно переписать в виде

II Luj+p-Luj' ||с

- 0 ,

h (Uj+p -

uj) + If (u'j'+p - u'j) -*-0,

f-*°° Vp.

Имеем в силу условий а), б)

и /) но - о, / - « Р.v

нм; ; р -

и; 1Ня< иг ииI («;;р -

и

V

=

Л.

tt

hm

Uj.

Так как последовательность Luj'

сходится в G, то в силу замкну­

тости оператора L элемент

Далее, из (4) имеем

h (ui+p) ~ h (uj)

0,

j->°° vp.

Так как uj E NLjf n >

q, то в силу линейной независимости систе­

мы { к{} каждый элемент м/ однозначно представим в виде

и) =

S

1

м'Дг,

г =

и, следовательно,

2

(d +p - d ) ( К kih~* О,

j-*°° Vр.

г = 1

Но тогда в силу линейной независимости элементов kt

d +p- d - * o <

i ^ ° °

vp,

т.е. существуют пределы

lim

=

г = 1, 2,. . . , л.

/ -*■°°

Полагая и

п

=

2

д Д г, получаем из предыдущего

г= 1

lim

II uj -

и

||7/

= 0.

/ -> оо

Отметим, что и' € NL , так как NL —подпространство Н. Пола­

гая и = и

+ м", из предыдущего

получаем

lim || щ - й \\L = 0.

i

°°

Но тогда в силу линейности функционалов /,-

lim

|| Uj - й

|| „

= 0,

/ -* 00

элемент

uv Е D интерполирует элемент v, если значения U(uv) =

= /*(и)

(i = 1, 2, . . . , и).

1) sv e u v\

2) inf

II Lu ||G = || Lsv \\G,

Иe uv

т.е. среди всех элементов, интерполирующих v,

sv имеет минималь­

ную L -норму.

37. Интерполирующий сплайн sv определяется од­

Л е м м а

нозначно значениями lt (v)

(i* = 1 , . . . , n j , v ЕВ.

Действительно, пусть sv

и sv —два* интерполирующих сплайна

для элемента v ЕВ, т.е.

U (sv) = /, (?»), II Lsv ||G = || Lsv \\G < II Lu \\G,

и E Uv.

Тогда

Следовательно,

l |s « - U||,2 = ||* “ - K B||? < e ||I i i u |lb.

(5)

||

IIG < II LUv HG

(6)

вательно,

слабая

компактность) семейства sу по

параметру

a Е

—

5у

с л

(0, а ]. Пусть

-*> sv в HL приа-*0.

Покажем, что sv — интерполирующий сплайн для

элемента v.

Действительно, переход в (5) к пределу при а -*0 дает

li(sv) = li(v), 1= 1, 2, . . . , / ! ,

(7)

т.е. sv Е Uv. Далее имеем

\\Lsv ||G < Jim

Ills* IIG <

ot -+

0

<

Ш

||L S“

||G < | | I Mu ||g , »„ € (/„ .

(8)

а. -►0

\\LSv \\g =

Urn

II Ls% IIG ,

a

0

сл

что вместе со слабой сходимостью Lsу -►Lsv дает

lim Ls% = LsVi

(9)

a -►0

Соотношение (9)

справедливо для любой слабо сходящейся по­

С л е д с т в и е .

Полагая р (a) = || Sy - v \\}f имеем

lim р (а) = 0.

( 10)

О п р е д е л е н и е . Элемент С

(и Е В) будем называть сред­

неквадратическим сплайном, если:

1) С

принадлежит ядру NL оператора L;

2)

inf

II и - и

||,2 = ||s“ - u ||f .

w<=NL

Среднеквадратический сплайн существует при

Л е м м а

38.

любом v Е В и определен однозначно.

п

функционал <р(и)

Действительно,

= 2 /?(м) положительно

i = 1

Т е о р е м а

73.

Имеетместо соотношение

lim

K - C H L = 0.

Ot -+ оо

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

Ф” [

*

?

; [sZ',v) = \\sZ - v \ \ j .

Следовательно, при любом а > О

11*?-и|1/

<11»~- » ll?

< l i « - » l l ?

V u e N L,

( И)

I I I * S l l b < -

tt-oo.

(12)

a

Из соотношений

(11),

(12) следует, что при а, удовлетворяю­

щем условию

0 <

а < а, семейство

s„ слабо компактно

в Я ^ .

lim || -

v Ilf = \\sv - v ||f < || Sy - и ||, <

(X - * 00

< | |t t - u |||

V w E NL .

Учитывая определение

элемента С и предыдущую лемму, по­

лучаем sv = С , а также

lim || Ls% \\G = 0.

Of

°о

lim p (a) = |U r - и II/.

(13)

Т е о р е м а

74. Если v ED, то

inf НLsu -

L V \\G = II Lsv - Lv HG ,

(14)

и G В

\\Lv\\2G = \\Lsv \\2G + \ \Lv - Ls v \\b.

(15)

(Lsv, L V0) G = 0 VUO ^ ^ O.

(16)

Так как sv — v E F0, то справедливо соотношение

(LsVfLsv ~ L V) G =0.

(17)

Г(z) = (z, w)„ нн

2 Ц(z) /,• (w) + (.Lz, LW)g .

i = 1

Пусть и ЕВ. Тогда, как легко видеть,

Г (z) - Т (s„) = (z -

su, w)„.

. sup

\ f ( z ) - T ( s u)\

(18)

w : || \v I! n < 1

достигает минимума при и ЕВ. Справедлива следующая

Т е о р е м а

75. Решением задачи (18) является интерполяци­

онный сплайн sz .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что

sup

I / (г) - 1 (su) |2 = II z - su || j

+ || Lz - Lsu He-

w: II w ||n < 1

Г(«,)= 2

ll (z)ll (w) + (Lst ,Lw)G,

i -

1

З а м е ч а н и е .

Величина

|| Lsz - Lz ||с =

inf || Lsu - Lz ||G

и G В

определяет погрешность приближения значения Lz

элементом Lsz

и существенно зависит от выбора функционалов //

(/ = 1,. . ., п ) .

I II w ||; - || и\\% | <г% \\и | | |

(19)

(гп -+0 при п -+<*> независимо от выбора и G В) —и условие сог­

ласования:

Г%\\и | | | =

еи в -»-0, л

5 ->0.

Допускается,

что функционалы /, (м) могут зависеть от и, т.е. в

общем случае

// = 1^п\

Заметим, что условие (19)

весьма удобно для проверки и вы­

выборе пространства В.

Л е м м а 39. При сделанных выше предположениях семейст-

во

ограничено при п -*«>, б -+0.

З а м е ч а н и е . Так как подпространство NL конечномерно, то,

очевидно, все нормы в нем эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя вышеприведенное замеча­

ние, достаточно установить ограниченность

} в пространстве Я.

имеем

II *£ Ия <

II ^

- и \\н + || и - й Ия + II и ||я <

< ( lls- -

И II/

+!■* l|S ~ - « ll| ) 1/2 + 8 + II МII// <

<[ll it II/

+

(II Sj llj* + 1М||в ) 2] 1/2 +8 + II м II//<

< [ II « II „

+ ч

« + r2„ (II s~ ||fi + || и IIв )2J1<2 + 8 + II и \\н .

Л е м м а

40.

Если и'

-

проекция элемента и на подпрост­

ранство Nl

, то

Пт

||

- и 1Г/ = ||м' —и \\2Н .

(20)

6 -+ о, п

-> °°

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

|| s£

—м II/

< | | н ' - м ||2 <\\и

- й \\ н2 + г%II и

Mils.

Следовательно,

6

lim

2

if (s~ -

м )<

II и - «||//-

(21)

0, п

/ = 1

Далее,

||u '- u ||/ / < l l s £

- и \ \ н < II s~

- м ||// + 8 <

< (!!* £

-

«II? + >"« lls~ -

м|1в ) 1/2 + 8.

Используя

равномерную

ограниченность ||s~

||fl по п и 5, по­

лучаем

| | м ' - м | | / / <

Иш

2

l f ( s ~ - u ) .

(22)

6 О, п-+ 00 i - 1

\\и - и \ \ н >0

(23)

(случай и - и* будет рассмотрен особо).

Используя ( 10) и (13), получим, что

0 < р 2(а) = || sfi - u \\t< \\s% - и ||/2,

а>0 .

нение р (а)

= р имеет единственное решение а = .

Пусть заданы такие р = рпЬ, что

52 + г2 | | и - и | | | < р 2 < ||s £ - « ||? ,

lim

р„6 = 0.

Т е о р е м а 76. Если snb =s<Lp, то

lim

||s„6 -

и \\L = 0,

6 -> 0, п -*■ °°

т.е. оператор S nb : Snb и = snb является L -сглаживающим.

З а м е ч а н и е .

Если п достаточно велико, так что погреш­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любого и G D имеем

114 -М ||? +<* II Is£ II?; <11 И - И II?

+ ОТII In Hi-.

(24)

Полагая здесь а =

и и = и, получим

Р2 + % || Lsnb \\2G < || и - й ||? + ар || 1м II?; <

< ||м - м ||? / + 4

II и - м Ив + ар ||1 « | | | < р 2 + ар || 1м||?;,

и, следовательно,

llls „6 ||G < III«

II&-.

(25)

Используя (19), получаем

II snf, - м II// <

II snb - и \ \ н + \ \ и - и

||я <

< 5 + ( ||/и6 -

и||? +т2 ||/я6 - й \\%)*/2 <