книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

где L tu

(i = 1, ..., n)

-

операторы, действующие из U в G, с об­

ластями определения

DLf 2 D. Легко видеть, что если множест­

во А выпукло и замкнуто

в Еп, то таким же будет и множест­

во

А*.

Следовательно,

однозначно

определен вектор-параметр

а £ А *, для которого

inf

|| а -

а* \\с =

|| я -

в* Нс,

а е л

*

где а* € Е„

- заданный

пробный

вектор-параметр, a Ik ||£ =

=

(Сд, а ) , где С —квадратная положительно определенная матри­

ластью

определения D i o = D, подчиняющий L t (/ = 1, ... ,и), а

также

L о-сглаживающее семейство S$ (0 > 0). Определим в со­

ответствии с методом регуляризации функционал

Фв[в]вРо(^1и6;4 ? ) + в11в-в* Нс,

aGA,

где а > 0 - параметр регуляризации, йь = S$u.

Рассмотрим

задачу отыскания таких

векторов аа £ А, для

которых

inf Фа [д]

= Факс*] = та .

(10)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В условиях теоремы функционал

P c (Z, [ ;

а ], g )

= IIL [иь ; д ]

- £ || Q .является непрерывным и

выпуклым

на А. Отсюда следует, что для любых д 1 и д 2 из А

справедливо неравенство

Цд1— д2 2

1

. 1

2

Гд! +д21

И ~

< ■!*«[«1] + 4

1л 1 - ф “ 1—i — J

(11)

s

ряет (10). Теорема доказана.

Т е о р е м а

60.

Пусть выполнены условия теоремы 59 и пара­

метр регуляризации а = а ( 6) выбран таким образом, что

1

2

п

0, 8 ->0.

------ (6 +

| | / , Л - i , M | | F ) + a

Vo"

/ = 1

Тогда имеет место сходимость

lim

а

- а,

'а = яа (б)*

5 -

0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

Фа Ы

<

Ф*[2],

а >

0,

( 12)

т. е.

\\aa - a mlie

< ~ z \ \ L [ u b;a]--g\\G + IIа - лг* Нс

<

V л

< - р г ( 5 +

2

1 а , 1 1 | 1 / [ м б ] - ^ « | | с ) + | | д - а *

ILc-

V а

1 -1

lim

\\a-a* \\с < II а - а* Нс

(13)

6 —

0

семейства. Пусть

lim ап = а. Из ( 12) следует, что L [й; Ъ ]

= g,

И— Оо

т.е. а 6 А. Из

(13) тогда вытекает, что а = а. Следовательно,

lim \\а —а\\с - 0. Теорема доказана.

6 - 0

Заметим, что

не требовалось линейности операторов L,

(/ =

Фа ( м] = \ \ u - u \\н + U \\LU \\G

( 1)

строится линейный ограниченный оператор

= (ctL*L + Е) " 1, ко­

2.

Пусть £ \ (0 < Х о < Х < ° ° ) - спектральное разложение опера­

*(Х)

(2)

sup----------—

х (1 + аХ2)

Действительно, так как

оо

<ЛО )

Н М « “ II = f

7, . ТТ № х « .и ).

х0

(1 + аХ)2

ТО

||I „ S J |2 =sup

(1 + аХ)2

и для ограниченности оператора

при а > 0 необходимо и до­

Обозначим £ = и - и,

Д ( а , 6 ;й)=

sup

|| Ь^йа - L^u ||,

MU II <6

До (cc,u) = \\LypS aH

- L ^ ||,

Ai (ос, S) =

sup

|| L^Sa u - L ^ S ^ u ||,

MU II <6

Л е м м а

31.

lim

До (а;й) = 0

V H EZ)^.

а -*• О

Действительно,

,

л ч

г

<*2 \ 2 <р(\)

л л

До (а; и) =

f

--

^

(dE\U, и).

К

(1 +аЛ)2

Так как и Е

, то /°

(X) (dEKи, и) < 00 и, следовательно,

lim

/

ip(k)(dExU, M) = 0.

N -► 00

JV

Так как

Д5 ( a ; w) < a 2jV3

max

</>(Х) + / <p(X)d(Zi\£, й),

< \ <N

N

буемое.

Следствием соотношений (3) и леммы 31 является

Т е о р е м а

61.

Для

того чтобы выполнялось соотношение

lim

Д ( а , 6 ;м) = 0, м Е Д , ,

(4)

а, 6

О

необходимо и достаточно, чтобы

lim

,

lim

</>(Х)52

(5)

Д 1(а, 6)=

s u p ----------- — = 0.

а,б -> о

а ,6 -> о \ (1 + аХ)2

З а м е ч а н и е .

Пусть </>(X) = Ха (0 < а < 2) (этот случай доста­

Ха

1

sup

CL~° (2 - о)2- ° о

V (1 +<*Х)2

4

lim

-' = 0.

Of, 6 - ►

О y f a

Легко

видеть, что условие lim

— = 0 является достаточным

6 -►о

сс

Т е о р е м а

62.

Пусть и Е Я: || и -

и ||//< 5 ,

lim

sup || L^S^it - g\\c = 0, gEH.

<x,6 -►0 $

7огдя u E D ^

и L^u- g.

Таким образом, по сходимости регуляризируюшего алгоритма

можно судить о гладкости элемента м.

Д о к а з а т е л ь с т в о . \\иа - и \\И-+0, когда а, 5 -*0 для лю­

бого и Е Н. Так

как Ь ^йа ->g, то, используя замкнутость опера­

тора/,^, получаем и Е

=g. Теорема доказана.

3.

Легко

видеть, что величины А (а, 6;

и) и Д0 (а;

и) зависят

от выбора элемента и Е D^. Пусть множество М С Цр. Обозначим

А (а, 5 ;/lf) =

sup

А (а, б;м),

й е м

,

Д0 (а;Л/) =

sup

A0 (a;w);

U G

М

легко показать, что

А (а, 6;Л/) < А0 (а;Л/) + А! (а, 6).

(6)

Т е о р е м а

63. Если a= a(5 ) >0таково,что

lim А(а, 6; Л/ )=0,

го гяоге

6 -> о

lim

Д0 (а;Л/) = 0.

6 -►о

Если lim Ао (a; М) = 0, го существует такое а = а (6) ->0 (5 -*0),

ск —*0

ЧТО

lim

А (а, 6;Л/) = 0.

6 -►о

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно,

А (а, 6 ;М) > А (а, 0; М) = А0 (а;Л/).

(7)

Отсюда следует первое утверждение.

Для

доказательства

второго

утверждения

достаточно выбрать

а = a (5) -►О

(6 ->0) так, чтобы

lim

5

— = 0. Тогда

6 -* о

a

lim

A0 (a;M)=l im

Ai (a, 5) = 0

6 —►о

6

О

и в силу (6)

lim

A (a, 5; М) = 0. Теорема доказана.

ь

►о

^

Л е м м а

32.

Если множество М = {и Е D^: \\ L^u ||

} , го

величина А (а, 5;

Л/) > R.

Д5(а;Л*)= sup

«>

а 2Л2

f

—----- — </>(Л)(<//ГАм,м) =

и е м К

О+ а Х у

а2 \ 2

R 2 = Л 3

= sup ----------- Г

\ (1 +аХ)г

ния оператора L

В этом отношении весьма важна следующая

Т е о р е м а 64.

Пусть М = г { й Е Dv : || Ьфй || <R} 9 ф(к) -

Иш

ф(\) = 0.

(8)

Тогда

Нш А0 (а;

) = 0.

До (а:Мф)=

sup

~ a2\ 2ip(k)

(dHku,u)<

f

— — ——

и е Мф

\ 0

(1 + а \ у

<i nf

I

max

<х2\ 2(р(\)

у (X)

) 7

I

-------------------

+

sup ---------

l R2 -*0, а - * 0,

/V

|

(1 + а \) 2ф (X)

\ >. ыф( Х)

\

в силу условия (8). Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что выполнение

(8) также и необходимо для

того, чтобы

Ит

Д0 (а; Мф) = 0.

1. Пусть L -

линейный замкнутый оператор, семейство Sa =

= (Е + а/,* ! ) ”1

(а > 0), В - линейный оператор, действующий

из Н в V и подчиненный оператору L. Тогда, очевидно, при опре­

Ит || Вай

- Ви || у = 0

VwG£),

где Ва = BSa,

м Е Я : II и -

и ||//< б. Таким образом, для вычисле­

сов (6, Я; Т) = sup || Тй - Ви || к ,

где { = Й? - й, II £ II н < д , й е и я = { и е D: || Lu ||G

. Оче­

inf сов (5, R \ Т) - со (8 , R; Topt) .

( 1)

т

оптимальным, а величину

сов (5, R\ Topt)

- оптимальной по­

грешностью вычисления значений оператора В на классе UR .

Определим оценочную функцию

wB (6f / 0 = sup||&i || у,

и ED: ||и ||я < 6 ,

\\LU \\G <R.

и

coB ( b , R: T) >uB (5, Я).

(2)

h Е D:

|| h IIя< 6 ,

|| Lh ||G

для которого сов (5, R)

= || ВИ || у.

Очевидно также, что (-И)

Е D, о>в (6, Я)

= || В(-И) || у.

По определению величины оов (6, R;

Т)

имеем

сов (5, R\T)> sup

|| Ти - Ви || v >

i и

> max

{ sup

II Bh -

T (И + £) || v , sup

|| В (-/? )- T(-h + £) || у } ,

?

i

^

А

А

А

А

А

А

справедливы

следующие

где и -

и =

£,

и Е UR , || £ ||// < 6. Но

легко проверяемые оценки

sup

|| Bh - Т (h +

|| v ^

II

~ Тв || у у

£

sup

|| В (-Л) - T(-h + ft

|| к >

|| В ( -К)-Тв || V9

£

где в —нулевой элемент из Я. Следовательно,

соя(6,Д ;Г ) > т а х

{ ||Д й - 7 в ||к .

II Bh + Тв ||у ) .

Так как 2Z?А = Bh -

Тв +

(5А + Г0),

то, используя неравенство

треугольника, получаем

2 || Bh || у < || Bh -

Тв || у + || Bh + Г0

||к <

< 2 т а х ( ||Я й - Тв \\у>

||Яй + Г 0 ||к),

каким бы ни был элемент Тв. Таким образом,

G>B (b,R;T)>\\Bh\\v = o>B (d,R)

\fT.

сохраняется.

З а м е ч а й - ие 2. Если оператор А ФЕ и

= 0, т.е. рассматри­

Topt = #<xopt [82], где семейство операторов

определено выше.

Естественно возникает

3 а д а ч а. Найти квазиоптимальный алгоритм Tq opt

(или оп­

тимальный по порядку), для которого погрешность

со* (б, R \T q opt) = О ( сов (б, R) } .

(3)

9. В . А . М орозов

129

по принципу невязки. Пусть ид =

и. Тогда II

- и II#< 6 и,

следовательно,

\ \ и - и ь Ия < 26 .

(4)

имеем

II «в - u \ \ H2 + a(S)\\Lu6 ||д < || м - м ||^ + а (5) || Lu ||^

<

< 5 2 + а (5) || L U \\2G =|| иь -Й '||2/ + а ( 5 )||1 Й ||2;,

т.е. \\Lub \\G < || Lu ||G <Я . Поэтому

II Lub - L U \\G <2R.

(5)

Из оценок (4), (5) и определения оценочной функции сов (е, R)

тогда следует, что

\\вйв - В й \ \ у < 2 ь>в (6 , К ) 9

(6)

Построим сглаживающий алгоритм

на базе метода невязки.

Пусть йь Е D —какое-нибудь решение вариационной задачи

\\Lu6 ||G =

inf_ \\LU \\g , D= { u e D : \ \ u - S \ \ H < 8 } .

и е D

Существование

(а если ядро NL = {0} ,то и единственность) реше-

А

А

А

25 и поэтому снова имеет место

ва треугольника ||

—м ||//<

оценка (6).

Построим сглаживающий алгоритм S% на базе метода квазире­

шений. Пусть йд Е D — решение (очевидно, единственное) задачи

inf II и - й\\н = || иь - й \\И,

U GUr = {veD :\\Lv\\G < R } .

и