книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

нения Эйлера

u £ ) = (uE + A *A yl (A*f+au*), ui2) = (uE'+A*Ayl (A*f + au<l)) =

т.е. р-ичное семейство тесно связано с исходным регуляризованным семейством. Нетрудно видеть, что при и* = Uf справедливо тож­

дество и ^ = Uf,p> 1.

Далее будем рассматривать только случай р = 2.

Построим сетку {ay} (J = 0, . . . , N) такую, что а; + 1 = тоу; т& \ 9тФ 1, задает ’’шаг” сетки. Эта сетка обычно называется гео­ метрической [143] и часто используется при практическом приме­ нении метода регуляризации. Так как при т « 1 справедливы со­ отношения

Формула (4) показывает, что элементы вторичного регуляризованного семейства на геометрической сетке приближенно можно вычислить непосредственно по элементам исходного семейства, Аналогичные выражения можно получить для произвольного р-ич- ного семейства регуляризованных решений.

221

2. Пусть в (1) вместо точных данных d = { Л, / } заданы приб­

лиженные d = { A , f }. В §4 показано, что существует а = а (о) та­

кое, что и ^ = UQ\O) сходятся в Я к решению м/ основной зада­ чи при о = (/г, 5) -> 0. Так как на практике 5 и h конечны, то, за­ давшись некоторым ’’подходящим” значением параметра ot = а , можно в его окрестности построить геометрическую сетку по а и вычислить элементы м /1^ (/ = 0, . . . , N) . Интуитивно представля­ ется правдоподобным выбрать такое значение j = / 0, для которого достигается

min ||ы}+} - u j l ) ||Н)

/

т.е. наиболее гладкое по параметру о: регуляризованное решение. Это соответствует факту существования регуляризованных реше­ ний, концентрирующихся около искомого решения м/.

роко используется в практике решения неустойчивых задач. По идее он близок к известному правилу Рунге при решении задачи численного интегрирования [116].

Можно с уверенностью лишь сказать, что этот способ выбора параметра соответствует приближенной минимизации нормы вто­ рого члена разложения (3). Это замечание дает возможность даль­ нейших обобщений указанного способа выбора, что легко сделать на основе представления р-ичного регуляризованного семейства решений (3). При определенных условиях можно доказать сходи­ мость вторичного регуляризованного семейства к решению основ­

Метод выбора квазиоптимального значения параметра исполь­ зуется для дополнительного уточнения значений параметра, опре­ деленных на основе теоретически обоснованных критериев, таких, как критерии р, <р, у.

3. Пусть Я = Rn, F = R m и || м ||я = (См, м), где С —положитель­ но определенная симметричная матрица. Тогда регуляризованное решение имеет вид

иа = (аС +АТА)~1 (Л7/ + аСи*),

где / —некоторое приближение к / . Назовем оператор Ra = (аС +

+ А ТА)~ХА Т оператором обработки. Если / — случайный гаус­ совский вектор, M f = /, М££7 = о гЕ т , £ = /■ - / , где Е т - единич­ ная матрица порядка т, то при выборе параметра а естественно стремиться к минимизации как невязки М || (Л /^ - Е) f ||^ , так

222

и M\\ Ra %Нс* Целесообразность удовлетворения первого условия очевидна и не требует дополнительных разъяснений. Второе усло­ вие означает, что оператор обработки Ra должен быть выбран та­ ким, чтобы наилучшим образом подавлять воздействие ошибки в правой части уравнения. Ясно, что одновременное удовлетворе­ ние обоим этим требованиям невозможно. Поэтому представляет­ ся разумным выбор параметра регуляризации из компромиссного условия минимума по а выражения

M\\(ARa - E ) f \ \ m2 +M\\RQ$\\l.

Можно показать, что второе слагаемое здесь монотонно убывает. Так как первое слагаемое монотонно возрастает, то численное определение параметра, удовлетворяющего предложенному крите­ рию выбора, не вызывает затруднений. Вместо минимизации ука­ занного выражения по а можно воспользоваться условием выбора параметра как решения уравнения

M\\(ARa - E ) f \ \ 2m =M\\ Ra %\\h.

Смысл этого условия очевиден.

Численная апробация изложенных способов выбора параметра регуляризации применительно к задаче построения сглаживающих сплайнов осуществлена в [118].

§ 28. Исследование адекватности математических моделей 1. Пусть рассматривается задача решения уравнения

проявлениям (характеристикам) некоторого физического объекта, то меру несовместности можно считать мерой адекватности мате­ матической модели (1) изучаемому физическому явлению. Имен­ но, будем говорить, что модель (1) f -адекватна, если дг4 ( / ) <

В ряде случаев представляет интерес изучение величины рд ( /) как функции/ Е Q С F. Тогда величина

Мй (Q) = sup \iA ( /)

характеризует меру несовместности (адекватности) (1) на классе

223

ществование элемента иЕН, на котором реализуется (2), не не­ обходимо) . Пусть элемент / задан приближенно, т.е. известен эле­

элемент / фиксирован. Можно говорить о Q- (или F-) состоятель­ ности, если модель (1) состоятельна для любого / Е Q (и ли/ Е F ) .

224

множество U8 Фф при всех достаточно малых 6. Таким образом, модель (1)/-состоятельна. Теорема доказана.

Отсюда следует эквивалентность понятий /-совместности и /состоятельности.

3.Будем говорить, что модель (1) f -разрешима, если Uf={u€

ЕЯ : А и - ^ Ф ф . Ясно, что /-разрешимость влечет /-совмест­ ность (и/-состоятельность) модели (1). Однако обратное, вообще говоря, неверно, что можно легко обнаружить на простых приме­ рах. Будем говорить также о Q-разрешимости (1), подразумевая под этим/-разрешимость для всех/ Е Q.

Те о р е м а 103. Пусть Q - множество разрешимости для мо­ дели (1). Если модель (1) F -совместна (или F -состоятельна) , то

замыкание Q совпадает с F, т.е. Q = F.

непрерывность снизу нормы в гильбертовом пространстве и непре­ рывность оператора А в слабой топологии, получаем, обозначив

Отсюда следует, что Ли0 = /, т.е. модель (1) /-разрешима. Теорема доказана.

Теорема 104 легко обобщается на общий случай основной задачи.

5. Вычисление меры несовместности д ^ ( / ) необходимо не только для оценки адекватности математической модели (1), описывающей физическое явление, но и при применении ряда ре­ гулярных методов решения (1) или, в обшем случае, основной

iif = II/ \\т Ф 0,. в то время как при A h - hE и любом h > 0 вели­ чина Да —0.

Как следует из теоремы 101, устойчивость по возмущениям пра­

откуда следует требуемое соотношение.

6.Далее рассматривается задача построения по любым прибли­

женным данным 3 ={Ayf } таких значений д а> которые удовлет­ воряют условию сходимости

lim va =HA (f),

о~*О

т.е. условию устойчивой аппроксимации меры несовместности

при возмущении исходных данных d = { A yf ) . Значение д ст может рассматриваться как приближение к оцениваемой мере несовмест­ ности д^ ( / ) . Заметим, что /-разрешимость задачи (1) не предпо­ лагается. Любой метод построения устойчивых аппроксимаций

226

Пусть / ' G F - элемент с минимальной нормой (нормальное ре­ шение) среди всех решений уравнения A*g =А */• В силу экстре­ мального свойства элемента f a имеем

1 1 Л * ( / а - П И я + а l / « l 2Н < « Wf'Wb,

Из этих соотношений регулярности согласно основным результа­ там (§ 2) следует, что

Иш /а = /'.

а-* о

Таким образом, справедлива Л е м м а 55. Имеет место равенство

где / ' - нормальное решение уравнения A*g - А */• Определим следующие функции параметра а:

Функция у (а) является непрерывной строго убывающей функ­ цией, причем

Далее предполагается, что \\А*/\\н>0. Так как, очевидно,

228

Из приведенных выше утверждений следует Л е м м а 57. При достаточно малых о> 0 уравнение

имеет единственный корень аа .

7.Поставленную задачу вычисления приближений к нижней

грани функционала (2) решает следующая

но в лемме 57 в соответствии с принципом невязки. Тогда

lim Ио =»а (Л.

о~+О

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть / ' - элемент с минимальной нор­ мой, являющийся решением уравнения A *g =А * / . При любом а > 0 имеем

метода вычисления нижней грани функционала (1) по приближен­ ным данным d . ^

т> п. Тогда и есть л-мерный вектор, / есть m-мерный вектор.

229

Следуя методу В.В. Воеводина [121], выполним разложение

A =QDR,

где 0, R - ортогональные матрицы, D - двухдиагональная мат­ рица, последние т—п строк которой нулевые.

Тогда уравнение для определения f a принимает вид

(aQQT + QDRRTD TQT)fa = QDRRTD TQTf.

При указанных заменах, как легко проверить, справедливо соотношение

p(a) = lD V *-*)l« •

А

искомые приближения д а определяются по формуле

До = И*“"-*1т.

Заметим, что указанный подход дает значительный выигрыш во времени решения задачи.

Уравнение (5) целесообразно записать в следующей эквивалент­ ной форме:

/ r ,(a)-(2Al*lM)-, >

( 6)

Д(а)зр(1/в).

Функция R (а) строго выпукла вверх и непрерывно дифферен­ цируема при а > 0 (см. § 26). Для решения (6) тогда применим метод касательных Ньютона, который сходится при любом выборе начального приближения.

где D - матрица порядка п, О - матрица размера ( т - п) X и с ну-

230