книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Нетрудно убедиться, что из условия совокупной замкнутости операторов А и L следует полнота пространства Н AL .

Правая часть уравнения (1) предполагается из В, т.е. f Е В . Пусть в пространстве В для каждого натурального л определены линейные функционалы //( /) = / *'?) (/) (i = \ , .. . , п) , / Е В . Задача, рассматриваемая в этом параграфе, заключается в пост­ роении устойчивого алгоритма приближенного решения опера­

<5 . При этом знание самого элемента ]' не предполагается. Заметим, что ранее задача рассматривалась в основном при

предположении, что элемент / задан в В =F. В § 21 рассмотрен частный случай, когда H = F и оператор А равен тождествен­ ному оператору. Полученные там результаты здесь обобщают­ ся на более широкий класс задач. Кроме этого, мы получаем конечномерные аппроксимации для построения приближенно­

некоторая непрерывная функция. Оператор L -d^ldx^ есть

которых абсолютно непрерывна, dqu j d x Е L 2 [а, b] (q> 1).

171

Тогда в качестве системы функционалов /,( / ) можно взять зна­ чения непрерывной функции / (х) в узлах некоторой упорядочен­ ной сетки {X/} Е [a, b] (i = 1 , . . . , п) . Предполагается, что

« / - Я , = / ( f - f ? d x < b \

а

2.Дополнительные условия и вспомогательные утверждения.

Вдальнейшем нам потребуется выполнение (ср. § 21) условия

аппроксимации: для любого / Е В

псоРб О

Положим для и, vED

п

(ы, и)„ = 2 к,у lj{Au) lj{Au) + (Lu, Lv)G, i,j- 1

где кц (/,/ = 1, . . . , n) образуют положительно определенную мат­ рицу. Справедливы следующие утверждения (предполагается, что п достаточно велико).

имеют асимптотически эквивалентные нормы.

3. Определение приближенных решений методом невязки. Пусть

U f= {и Е D: А и = /} непусто. Тогда, как показано в § 1, условием

WLu-gWo = inf \ \ L u - g \ \ c

и е Uf

172

Возможность выбора такой функции 0 следует из соотношения

Ри(м) < II/ - / IIF + т\ |Ш ||,

которое является следствием условия аппроксимации (6). Тогда

всегда U Q Ф ф .

Приближенным решением задачи (1) назовем любой элемент ив £ Us , для которого L -норма минимальна среди всех формаль­ ных решений:

Заметим, что среди формальных решений задачи (1) могут со­ держаться такие элементы, которые не сходятся в HAL (и даже

В силу леммы 42 этим же свойством обладают и \ир \. Поэтому по-

173

следовательность{ир} слабо компактна в Н Пусть щ - слабый предел этой последовательности (при необходимости надо перейти к подпоследовательности). Так как операторы Л и L непрерывны в HAL >то они также и слабо непрерывны. Поэтому

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как их и и2 являются решениями задачи (8), то

т.е. u\ - и2 £ NL . Далее, очевидно, что

< к к хМп IIи г - и 2 1я < 2 к к хМпв.

Теорема доказана.

За м е ч а н и е . Множество решений UQ может состоять и более чем из одного элемента. Однако если NL = {0}, то множество при­ ближенных решений состоит, очевидно, из единственного элемен­

та: Ue = {ив) .

4.Сходимость приближенных решений в H ^ i . Пусть

Не = { и е и в : WLu-gWc < rn *е),

где е > 0 - некоторое число. Обозначим Д (6,и, е) = sup \и-и\. и е 0е

174

Величина Д(5, п, е) характеризует погрешность приближенного ре­ шения задачи ( 1).

Т е о р е м а 83. Имеет место предельное соотношение

т.е. метод (8) приближенного решения уравнения ( 1) сходится, причем устойчиво, относительно возмущений правой части ( 1), погрешности дискретизации и погрешности решения вариационной задачи (8).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть и - произвольный элемент

< b+Q+rn(\\Au-f\\B + 1Ш1в).

Если \\Au - f\\ в равномерно по и ограничена, то из предыдущего неравенства следует, что

IIИм —/ ||в при достаточно больших п равномерно по и ограниче-

175

на. Приведенные рассуждения достаточны для обоснования (10). Из (9) следует также, что

Рассматривая неравенства (10) и (13), видим, что метод, опре­ деляемый (8), является регулярным и, следовательно, сходится (теорема31).Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Как непосредственно следует из (11), справед­ ливо соотношение

хотя приближения к / задавались в пространстве F, причем в диск­ ретной форме.

З а м е ч а н и е . Условие согласования требует, чтобы

lim rn II (II в = 0.

и6 О

Подпредельная величина стремится к нулю при п -*°° и фиксирован­

ном / Поэтому можно рекомендовать брать достаточно большое число функционалов л. Однако это может привести к соответст­ вующим вычислительным трудностям. Чтобы избежать нежелатель­

ных последствий, необходимо слегка сгладить элемент / таким об­ разом, чтобы элемент £, малый лишь по норме Fy был ограничен достаточно разумной величиной по норме пространства В. Для этой цели можно использовать различные процедуры. В частности, алго­ ритмы сглаживания, рассмотренные ранее, позволяют добиться та­

няет процедуру решения задачи, но ожидаемый вычислительный эф­ фект может окупить дополнительные затраты.

Изучим вопрос о нахождении приближенных решений методом регуляризации. В связи с этим определим параметрический функ­ ционал

Фа [w;/ ] = pl(u)+OL \\Lu-g Нс, u€D,

где а > 0 - параметр регуляризации.

Нетрудно показать, следуя схеме доказательства теоремы 81, что при любом <*>0 существует и единственно решение UQ GD

176

вует и определяется однозначно.

Можно показать, что функция р„(а) = Рп(и%) является непре­ рывной, строго возрастающей. Тогда, если уравнение р„(а) = в разрешимо, то корень этого уравнения, очевидно, определяется однозначно.

А

т.е. ив Е Ue . Утверждение доказано.

С л е д с т в и е . Если выполнены условия теоремы 85, го в силу теоремы 83 имеет место предельное соотношение

п-* °°, 6 -►О

5.Сформулируем условия, при которых уравнение

Решение и°° задачи (16) существует и определяется однозначно. Это следует из общих рассмотрений, проведенных ранее.

Аналогично предыдущему определим элементы щ Е NL такие, что

Тогда уравнение (15) имеет единственный корень OLQ > 0. Доказательство проводится в точности но схеме доказательства

теоремы о сходимости метода р (теорема 25).

З а м е ч а н и е . Если NL = { 0) и число функционалов // беско­ нечно, то решением задачи (16) будет UQ = 0, а (18) принимает

ВИД II/ Ilf > 5, т.е. фактически ошибка в задании правой части уравнения (5) должна быть достаточно малой по сравнению с за­

данным приближением / . Таким образом, требование (18) в силу условия m > Q асимптотически выполняется всегда.

6. Численные алгоритмы определения приближенных решений. Обозначим через S линейный оператор, действующий из HAL в евклидово пространство КИв соответствии с правилом

Su = (/ (Ли), . . . , 1п(Аи))тч и Е D.

Пусть г ~ Su для некоторого и £ D. Пользуясь схемой доказатель­ ства теоремы 81, можно показать, что существует единственный элемент и,. Е D такой, что

Л

Пусть, далее, щ Е UQ -любое решение вариационной задачи (8). Обозначим T Q =(/1 ( A U Q ) ,..., /„ ( A U Q ) ) т . На основании леммы 37

и теоремы 72 построим элемент иГв , удовлетворяющий условию

(19). Тогда,очевидно, Pn(utQ) =р„( м0),

II Liir || G < || Lue || с = inf \\LU \\g .

и G и в

Следовательно, элемент urQ является также решением задачи (8), т.е. и,-в Е UQ. Приведенные рассуждения доказывают справедли­ вость следующей теоремы.

Т е о р е м а 87. Решения вариационных задач (8) и (14) мож­ но искать в форме решения интерполяционной задачи (19).

178

Для дальнейшего потребуем выполнения некоторых дополни­ тельных условий. Именно, будем считать, что область определения оператора L плотна в G, а область значений оператора L*, к нему сопряженного, совпадает со всем Я, т.е. уравнение L g = и разре­ шимо (необязательно однозначно) при любом нЕ Я. Кроме того, мы считаем, что функционалы U{Au) представлены в виде (со­ гласно теореме Рисса),

L'gi = */■

Тогда функционалы lt(A и) , очевидно, представимы в виде li(Au) = (git LU)g , и е D.

Используя теорему об ортогональном проектировании, отсюда по­

лучаем, что элемент L u r , где йг - решение задачи (19), предста­

вим как линейная комбинация элементов g j (j = 1, ..., п) . Пусть

п

ты квадратной матрицы Г. Заметим, что элементы hk всегда мож­

но выбрать линейно независимыми. Элемент L u r ищем в виде

п

ходимо удовлетворяют системе уравнений Г На = г , где а = {a i ,...

..., а,,)1. При этом \\Luy ||£ = а 1 На. Отсюда, используя теоре­

му 87, получаем, что элемент g e = L u e , где ив Е U 0 —множеству решений задачи (8), также представим в виде, аналогичном (20):

п

go = Lu0 = 2 7jhj.

179

вектор 7 = ( 7 1 ,..., я„ ) т является решением задачи квадратичного программирования

Решение задачи (21) определяет численный алгоритм для нахож­

Аналогичные рассуждения справедливы и применительно к отысканию решения задачи (14). Именно, можно записать

(<*Я + Н Г тк Г Н ) а = Н Г тк 7 .

Если Г = Е, то вектор а а определяется из более простой системы уравнений

( а к ' 1 + Н ) а а = 7,

при этом г а = 7 - а к ' 1а 01. Если система векторов { Л7} линейно не­ зависима, то, обозначая Ъа = Н а 01, имеем

( а Г 1 + Г г к Г ) 6 “ = Г тк 7 у г« = ГУ*.

В частности, при Я = Я, т.е. когда элементы hj взаимно ортонормированы, вектор а а определяется из уравнений

(а Е + Г г к Г ) д а = при этом га = Гяа .

180